Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие
.pdf
Равенство (3.41) доказано.
I
Формула (3.44) дает возможность вычислять в конкретных случаях взаимные индуктивности по одному лишь взаимному расположению контуров.
В качестве примера определим внутреннюю индуктивность
прямого провода радиуса
R. Пусть по проводу протекает ток I.
Энергия и индуктивность связаны соотношением
2
W
(3.46)
L
Энергию, сосредоточенную в объеме
м
.
2
0
dV, выразим через ее
плотность:
2
H
dW dV
где в цилиндрической системе координат
,
м
2
(3.47)
dV rdrdadz.
Выражая напряженность магнитного поля из первого уравнения Максвелла и интегрируя (3.47) по объему цилиндра единичной
длины, получим соотношение для энергии. Подставив его в (3.46),
получим
R
I
Lrdrddz
0
24 24
832
RR
000
21
3
4
2
R
.
8
Это внутренняя индуктивность прямого провода. Заметим, что
она не зависит от радиуса провода.
Определим теперь взаимную индуктивность двух витков, находящихся в одной плоскости (см. рис. 3.8).
Поток, создаваемый большим контуром, равен
I
BS R
12 2 1 0 1
2
R
2
2
2
,
откуда
I
2
R
.
2
B
20
2
91
Из выражения
М
I
12 12 2
I находим
М
12
12 1
22
2
R
0
2
R
.
Контрольные вопросы
1. Запишите уравнения для электрического поля в проводящей
среде. Сопоставьте их с уравнениями электростатики.
2. Каким образом можно приспособить аналитические решения задач электростатики для решения задач в поле проводящей
среды?
3. Запишите уравнения магнитостатики.
4. Получите уравнения магнитостатического поля из уравнений Максвелла.
5. С какой целью вводится векторный магнитный потенциал?
6. Запишите закон Био – Савара в интегральной и дифференциальной форме.
92
4 Общие свойства переменного
A
электромагнитного поля
4.1 Монохроматическое поле,
метод комплексных амплитуд
Для радиоэлектроники переменное электромагнитное поле
представляет основной интерес. Мы будем изучать установившиеся
процессы, которым свойственны гармонические во времени колебания. Тогда всякую изменяющуюся во времени скалярную величину можно записать в виде
cos( )
т
t
и соответственно всякий вектор записывается как
AA t
— круговая частота гармонических колебаний; — фаза.
где
cos( ),
m
Это величина, характеризующая состояние процесса в начальный
момент времени.
Поля, изменяющиеся по гармоническому закону, называются
монохроматическими. Для их исследования очень часто применяют
хорошо известный из теории цепей метод комплексных амплитуд
(МКА). Он также называется символическим методом.
МКА основан на применении формулы Эйлера. С учетом ее
любую комплексную скалярную или векторную величину можно
представить в виде
()
jt
AAe A t j t
etjt
mm
()
jt
mm
cos( ) sin( ) ,
cos( ) sin( ) .
Тогда
Re
и Re
A
.
Известно, что если решением дифференциального уравнения
является комплексная величина, то решение включает действительную и мнимую части этой величины. Таким образом, получив
93
решение в виде комплексной величины, необходимо в конечном
j
Aj
j
j
j
j
j
A
j
j
j
j
ответе взять только ее действительную часть.
Применение МКА во многих случаях помогает значительно
упростить решение дифференциальных уравнений, так как дифференцирование комплекса по времени эквивалентно умножению на
:
A
.
t
Интегрирование сводится к делению на
.
Представим комплексные величины в виде сомножителей:
и
AAe
m
n
,
где
mm
и
Ae
mm
e
t
e
m
— комплексные амплитуды.
Применение понятия комплексной амплитуды позволяет во
многих случаях избавляться от временной зависимости.
4.2 Уравнения Максвелла
в комплексной форме
Используя МКА, заменим в уравнениях Максвелла (1.1) и (1.2),
записанных в дифференциальной форме, векторы поля комплексными представлениями:
где
kz
EEe
mm
HHe
mm
,
kz
EEe HHe
t
mm
, ,
— комплексные амплитуды векторов поля.
t
Теперь можем записать:
rot rot ;
dE
HE HEjE
(4.1)
dt
rot rot .
EEjE
dH
(4.2)
dt
94
Сократив на
j
j
te
, избавимся от временной зависимости и пе-
рейдем к комплексным амплитудам:
В формуле (4.3)
rot ;
Hj jE
mm
rot .
EjH
j
mm
— комплексная диэлектрическая
(4.3)
(4.4)
проницаемость.
Обозначим
Отношение
, ,
tg
тогда .
— тангенс угла диэлектрических по-
терь.
Мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости
характеризует ток проводимости и электрические потери в веще-
0
стве: если потерями можно пренебречь, то
.
Аналогично получим:
,tgj
— потери на пе-
м
ремагничивание.
Уравнения Максвелла, таким образом, будут иметь вид:
для комплексных векторов —
rot ,HjE
rot ;EjH
(4.5а)
(4.5б)
для комплексных амплитуд —
rot ,
HjE
mm
rot .
EjH
mm
(4.6а)
(4.6б)
Эти уравнения дополняются еще двумя:
div 0;E
(4.7)
div 0.H
95
(4.8)
Уравнение (4.8) не вызывает сомнения, так как получено из
j
j
div 0.B
его:
А вот уравнение (4.7) требует доказательства. Приведем
div ; div ; div ;
div div 0;EE
Так как выражение в скобках не может равняться нулю, следо-
вательно,
div 0.E
tj
j
jj j
div ; div ;ED
j
;
E
div 0.E
j
1
4.3 Волновые уравнения
Получим из уравнений Максвелла уравнения отдельно для
и отдельно для
в (4.5а):
Обозначим
Так как
div 0E
H . Из равенства (4.5б) выразим H и подставим
HE
rot rot ;EE
grad div .EE E
22
, то
k
, где k— волновое число.
22
1
rot ;
j
22
2
0.EkE
(4.9)
E
96
Проведем аналогичные действия относительно вектора H:
А
22
Выражения (4.9) и (4.10) — это уравнения Гельмгольца.
Для комплексных амплитуд они выглядят следующим образом:
22
EkE
22
HkH
mm
mm
0.HkH
(4.10)
0;
0.
4.4 Средний баланс энергии
электромагнитного поля
4.4.1 Среднее значение характеристик поля
(4.11)
(4.12)
Поскольку гармонические колебания электромагнитных полей,
представляющие интерес для радиоэлектроники, являются быстропеременными, обычно имеют дело с их усредненными во времени
энергетическими характеристиками.
Переходя к комплексным величинам, необходимо иметь в виду
следующие соотношения:
Re( , ) Re( ) Re( );
ab a b
1
AAA
*
где
вектор Пойнтинга определяются по формулам:
— комплексно-сопряженная величина.
Соответственно энергия магнитного и электрического полей и
11
м
28
2
HHH
*
,
2
2
;
(4.13)
11
э
28
2
HEE
97
2
;
(4.14)
1
EE HH
4
,.
(4.15)
Понятия «среднее» и «среднее за период» у гармонических
сигналов совпадают. Найдем среднее значение вектора Пойнтинга:
T
1
ПП.
ср
T
dt
(4.16)
0
С учетом равенства (4.15)
1
Пsin,.
EH EH E H E H EH
** **
4
(4.17)
Комплексные векторы поля задаются в виде
()
jt
m
E
(4.18)
,
EEe
()
jt
m
H
.
(4.19)
HHe
Подставим соотношения (4.18) и (4.19) в формулу (4.17) и затем в (4.16). Рассмотрим каждый из четырех получившихся интегралов в отдельности:
TT
11
EH dt E H e e dt
TT
00
mm
j
()
jt
EH
0.
Равенство нулю этого интеграла обусловлено наличием аргумента с удвоенной частотой. Аналогично обратится в ноль интеграл, содержащий произведение двух комплексно-сопряженных величин:
T
1
T
**
EHdt
0
0.
Третье и четвертое слагаемые в подынтегральном выражении
(4.16) освобождаются от временной зависимости:
TT
11
TT
00
EH dt E H e dt E H e
mm mm
jj
() ()
EH EH
98
;
(4.20)
T
p
p
1
T
EHdt EH e
0
mm
j
()
EH
.
(4.21)
Таким образом, среднее значение вектора Пойнтинга определя-
ется выражением
Пsin,.
ср
EH e e EH
4
mm
1
()()
jj
EH EH
С учетом формулы Эйлера
1
EH
ср
2
,cos( );
mm E H
ПRe, Re,.
ср
22
11
EH EH
(4.22)
Чтобы найти среднее значение вектора Пойнтинга, нужно
определить реальную часть комплексного вектора Пойнтинга.
Аналогично находится среднее значение плотности энергии
магнитного поля:
TT
11
м.ср м
TT
dt H H HH dt
00
8
м.ср
2*2 *
1
4
2
.
H (4.23)
m
2,
Среднее значение плотности энергии электрического поля
1
2
.
(4.24)
э.ср
E
m
4
Определим среднее значение плотности мощности электромаг-
нитного поля:
где
1
*2
EE E
22
m
.
ср
Re ,
99
p
(4.25)
Сторонняя плотность мощности, как правило, имеет комплекс-
ный характер, так как ток и напряженность стороннего источника
отличаются по фазе.
4.4.2 Средний баланс энергии
Будем исходить из комплексной формы уравнений Максвелла
(4.1), (4.2), записывая первое из них комплексно-сопряженным:
****
rot ,
HjEj
mm
ст.т
rot .
EjH
mm
Все члены первой строчки умножим на
Произведем вычитание соответственных частей и применим тождество
div , rot rot .
EH H E E H
Отсюда
Внесем в (4.26) представления комплексных проницаемостей.
Разделение вещественной и мнимой частей дает:
div .
div Re Re ;
div Im Im .
2
mm m m m m
jEEHHp
2
2
mm m m m
EE HH p
mm m m m
EE HH p
mm m m m
E
, а второй — на
m
(4.26)
ст
ст
ст
(4.27)
H
m
.
(В (4.27) учтено, что в результате комплексного сопряжения
изменился знак при
ние по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S, и перейти к следующим соответствиям:
.) Удобно сначала произвести интегрирова-
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]