Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие
.pdf
б) оптическая плотность поглощающей среды очень велика
Z
kk ). Пренебрегая в (7.55) числителем в сравнении со знаме-
(
21
нателем, имеем
tg00.
(7.57)
Большое практическое значение имеет случай, когда вторая
среда проводник, для которого
2
2
,k
и исходное требование (б) всегда выполняется ввиду большой
удельной проводимости
Результат (7.57) показывает, что при любых углах падения
.
на
границу весьма плотной поглощающей среды преломленная волна
распространяется практически в направлении нормали к границе.
Плоскости равных амплитуд и фаз при этом совпадают.
7.8 Приближенные граничные
условия Леонтовича
Полученный в предыдущем подразделе результат (7.57) приводит к мысли, что не только плоская волна, но и произвольное электромагнитное поле у границы достаточно плотной среды
kk (7.58)
21
возбуждает волны, уходящие в нее по нормали к поверхности раздела, так что можно пользоваться формулой
где
n — внутренняя нормаль к поверхности плотной среды;
0
EZH,n,
20
(7.59)
2
—
ее волновое сопротивление.
Наиболее важен случай, когда рассматриваемая плотная среда
проводник, тогда можно положить
j
(7.60)
181
и, таким образом,
x
Zj j
2
(1 ) .
(7.61)
2
В силу непрерывности векторов поля соотношение (7.59) спра-
ведливо и на граничной поверхности (рис. 7.13): векторы
Е и Н
уходящей в проводник волны равны тангенциальным компонентам
соответствующих напряженностей поля в примыкающей к нему
среде. Итак, на границе проводника существует следующее соотношение:
220
.EZH,n
(7.62)
Введя местную систему координат с осью z, направленной по
внутренней нормали (z
= n0), перепишем равенство (7.62) в скаляр-
0
ной форме:
EZH
EZH
yx
;
2
y
(7.62а)
.
2
Соотношения (7.62), (7.62а) известны под названием прибли-
женных граничных условий Леонтовича.
E
E
m
m
0
o
mH
H
m
n
Рис. 7.13. К выводу приближенных граничных
условий Леонтовича
Они указывают, в частности, на тот факт, что электрическое
поле на поверхности проводника (в отличие от идеального проводника, когда
) имеет тангенциальную компоненту. Эта со-
182
ставляющая очень мала и может не учитываться до тех пор, пока не
ставится задача вычислить потери энергии в проводнике. Очевидно, что в приближении 0E
не принимается во внимание уходя-
щий в проводник поток энергии.
Применение граничных условий Леонтовича к различным задачам непосредственно связано со степенью проникновения поля
через границу.
7.9 Наклонное падение на границу
с диэлектриком. Угол Брюстера
Выясним вначале условия, при которых волна горизонтальной
поляризации без отражений проходит из одной среды в другую. Мы
должны приравнять нулю коэффициент отражения:
ZZ
cos cos
0 ;
г
21
ZZ
cos cos
21
2
Z
2
Z
1
ZZ
ZZ
cos
cos
22
22
11
2
sin 1 sin .
n
1sin
1,2
1sin
22
2
n
2
1,2
;
Отсюда
2
Z
2
1
Z
2
2
n
1,2
210
21 11 2 1
12 2 2 1 2
, т.е. диэлектрики — немагнит-
21 2 2
12 1 1
(7.63)
1
21
sin .
Z
Z
Положим в (7.63)
2
1
ные среды. В этом случае угла, при котором отражение отсутствует, для горизонтально поляризованной волны не существует.
Проведем аналогичные действия в отношении волны, имеющей
вертикальную поляризацию:
183
cos cos
ZZ Z
в
12 1
ZZ Z
12 2
0;
cos cos cos
cos
Z
Z
1
2
1
12 11 2 1
21 2 2 1 2
1
22
sin .
2
Z
111
Z
222
Как и ранее, предположим
210
Из (7.64) с учетом (7.65) получим
21
11
2
sin .
12
21 1
12 2
1
12 2 2
21 1 1
(7.64)
. (7.65)
1
2
1
2
(7.66)
1
Сравним (7.66) с известной тригонометрической формулой
sin
2
1
2
ctg 1
(7.67)
и обнаружим, что отражение отсутствует, если волна падает под так
называемым углом Брюстера
arctg .
Б
2
(7.68)
1
Если вертикально поляризованная волна направлена к границе
раздела двух диэлектрических сред под углом Брюстера, то она без
отражения проходит из одной среды в другую.
184
Контрольные вопросы
1. Дайте определения плоскости поляризации, вертикально и
горизонтально поляризованных волн. Верно ли, что при вертикальной поляризации вектор
. Дайте определение волнового вектора электромагнитной
2
волны. Для чего он вводится?
3. Как записывается фазовый множитель волны в точке с координатами (x, y, z) через волновой вектор и радиус-вектор, прове-
денный в эту точку?
4. Запишите законы Снеллиуса. Для границ каких сред они
справедливы?
5. Дайте определение коэффициентов отражения и прохождения для волн с горизонтальной и вертикальной поляризацией.
С чем связано существующее отличие в их определении?
6. При нормальном падении волны на границу плоскость падения и поляризация волны становятся неопределенными. Почему в
этом случае коэффициенты прохождения, вычисленные по формулам для вертикальной и горизонтальной поляризаций, дают различные результаты?
E перпендикулярен границе раздела?
7. В каких случаях граница идеальных диэлектриков полностью отражает или не отражает электромагнитную волну?
8. Какие волны называются неоднородными, а какие — поверхностными? Приведите примеры их появления.
9. Опишите структуру волн в обеих средах при явлении полного внутреннего отражения.
10. Из законов Снеллиуса следует, что угол преломления в поглощающей среде комплексный. Связано ли это с изменением типа
волны при прохождении границы? Как найти истинный угол преломления?
11. В чем состоит приближенный характер граничных условий
Леонтовича? Противоречат ли они строгим граничным условиям
электродинамики или дополняют их?
185
8 Излучение электромагнитных волн
8.1 Уравнения Максвелла для области,
содержащей источники. Неоднородные
волновые уравнения
Понятие излучения уже затрагивалось в этой книге. Так, мы говорили об электромагнитных полях, возникающих в результате
действия сторонних сил, т. е. в результате преобразования некоторой энергии в электромагнитную. В свою очередь сторонние силы в
электродинамике удобно формализовать при помощи задания сторонних токов. В качестве стороннего может рассматриваться любой
заданный ток. Таков, например, ток антенны, поддерживаемый действием генератора. Область существования стороннего тока выступает в качестве источника излучения. Поле излучения находится
как решение уравнений Максвелла или вытекающих из них уравнений второго порядка при заданной плотности стороннего тока.
Записать эти уравнения нам сейчас предстоит. Начнем с уравнений Максвелла в комплексной форме:
Из закона сохранения заряда следует:
Найдем дивергенцию уравнения (8.1):
div rot div div ε div 0 .Hj E j j Ej
Из (8.4) получим
rot ;HjEj
rot .EjH
div .jj
ст ст
ст ст
(8.1)
ст
(8.2)
(8.3)
(8.4)
Выразив из равенства (8.2)
div .E
1
j
186
ст
(8.5)
rot ,HE
подставим в (8.1):
E
g
jj
j
A
A
2
Заменив
rot rot ;
22
div E
из (8.5), окончательно получаем
EkEj j
kE E j j
22
Теперь из равенства (8.1) выразим
11
jj
и подставим в (8.2):
rot rot rot .HkH j
ст
ст
ст
(8.6)
ст
grad div .
rad .EkE
rotEHj
ст
2
ст
Учитывая, что
div 0H
, получим
22
rot .HkH j
(8.7)
ст
Уравнения (8.6) и (8.7) называются векторными уравнениями
Даламбера. На основании уравнений Даламбера основная задача
электродинамики для области, содержащей источники, сводится к
отысканию векторов
стей сторонних токов
E и H по заданному распределению плотно-
и зарядов
ст
.
ст
8.2 Электродинамические потенциалы
Как и в теории стационарных полей, в электродинамике используются различные скалярные и векторные функции. Обсудим
употребление уже известных потенциалов
и , только зададим
их в комплексной форме:
,
— комплексные электродинамиче-
ские потенциалы.
187
Из соотношения (3.17) с привлечением материального уравне-
A
A
A
ния зададим
1
Подставив (8.8) в (8.2), получим:
Далее, на основании тождества
Уравнения (8.8) и (8.10) дают возможность определить ком-
плексные векторы поля, исходя из электродинамических потенциа-
rot rot ;
Ej A
rot 0.
EjA
grad .EjA
rot .HA
(8.8)
rotgrad 0
grad ;EjA
(8.9)
запишем:
(8.10)
лов. Взяв реальные части этих комплексных величин, найдем
векторы
тенциалов. Подставим выражения для
уравнение Максвелла (8.1):
Выполним ставшие уже привычными преобразования:
Получим
Наложим дополнительное условие
E и H . Выведем уравнения для электродинамических по-
E и H (8.8), (8.10) в первое
1
graddiv grad .
rot rot grad .
22
kA A j j
jAj
22
Aj kAj
grad div .
2
(8.11)
ст
(8.12)
ст
ст
Данное условие называют калибровкой Лоренца.
div .Aj
188
(8.13)
В результате получим уравнение для векторного электродина-
A
A
A
A
j
мического потенциала
22
kA j
.
(8.14)
ст
Установим связь между векторным и скалярным потенциалами.
Из уравнения (8.13) выразим
1
j
div
и подставим в (8.10):
A
2
;
(8.15)
Видим, что
EjA
EAkA
H
и
E
graddiv
j
определяются через потенциал
j
grad div .
2
k
ством выражений (8.8) и (8.15).
Теперь получим уравнение для скалярного потенциала
ражаем из (8.8)
и подставляем в калибровку (8.13). Получаем:
22
ст
.k
(8.16)
посред-
. Вы-
Уравнения (8.14) и (8.16) являются соответственно векторным
и скалярным уравнениями для электродинамических потенциалов.
Когда решается статическая задача, т.е. 0, 0,
k то
. Тогда в некоторой точке М (рис 8.1) существует поле, по-
тенциалы которого определены по известным формулам (см. раздел 2). Когда мы пренебрегаем временем распространения, т.е.
ф
, то
2
Динамические задачи сводятся к стацио-
.
ст
нарным. Уравнения Даламбера превращаются в уравнения Пуассона, а лоренцева калибровка — в кулоновскую. Это утверждение
эквивалентно условию
, то есть расстояние между объектами
или их длина гораздо меньше длины волны.
189
8.3 Решение уравнений
j
A
M
j
r
для электродинамических потенциалов
Пусть в объеме
токи, плотность которых
объемной плотностью
Чтобы установить связь поля с источником излучения, надо
найти решение уравнений (8.14) и (8.16).
Рассмотрим вначале статический случай, т.е.
V
o
ст
ст
Рис. 8.1. К вычислению
скалярного запаздыва-
ющего потенциала
V действуют источники, создающие сторонние
, и сторонние электрические заряды с
ст
(рис. 8.1).
ст
0.
t
Тогда в некоторой точке
ствует поле, потенциалы которого
определены по формулам
1
4
4
ст
r
V
j
ст
r
V
(8.17)
;
dv
(8.18)
.
dv
М суще-
Чтобы учесть конечное время распространения сигнала, будем
полагать, что поле в точке
чением токов и зарядов в предыдущий момент
время запаздывания. Тогда
Это формулы для так называемых запаздывающих потенциа-
лов.
Запишем формулы для запаздывающих потенциалов, описыва-
ющих гармонические процессы. Пусть
А t
М в момент времени t определяется зна-
tt
tt
tdv
1
4
()
4
ст
V
V
r
()
jtt
ст
r
;
(8.19)
.
dv
(8.20)
, где
t
r
—
ф
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]