Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

кую систему геометрии — первую в истории челове ческой мысли логически доказательную, аксиоматичес кую систему научного знания. Из пяти исходных гео метрических положений (постулатов) и 9 математичес ких аксиом Евклиду удалось вывести (доказать) более 300 других геометрических утверждений (теорем). В на шу задачу не входит подробный анализ логической структуры «Начал» и других особенностей евклидовой геометрии. Отметим лишь два следствия, которые выте кали из построения новой системы геометрии.

реальных объектов, которые можно зафиксировать в опыте, а идеи этих объектов и их свойств. Идеи же либо находятся в мышлении и суть элементы его бытия (Пар менид, Платон), либо познаются (конструируются) мыш лением с помощью интеллектуальной интуиции («умо зрения» — Аристотель). Если перевести это понимание на язык современной теории научного познания, то это будет означать, что древнегреческие мыслители откры ли, что в отличие от обыденного опыта и эмпирического познания, имеющих дело с реальными объектами и их свойствами (абстракциями), научные теории непосред ственно имеют дело с идеальными объектами, описани ем их свойств и отношений между ними. Правда, в вопросе об онтологическом статусе идеальных объек тов среди древнегреческих философов были серьезные разногласия между рационалистами (Парменид, Платон) и эмпиристами (Аристотель, Эпикур, скептики и др.). Однако по отношению к геометрии как науке все они (кроме Демокрита) были едины в том, что ее утвержде ния непосредственно относятся не к реальным объек там (эмпирическим), а к идеальным объектам опреде ленного рода (геометрическим точкам, геометрическим линиям и всем геометрическим фигурам, которые мо гут быть из них построены).

мают работы итальянского математика Э. Бельтрами (1835–1900). Исследуя геометрические свойства евк лидовых кривых поверхностей, Бельтрами обнаружил, что на поверхностях с постоянной отрицательной кри визной выполняются соотношения плоской геометрии (планиметрии) Лобачевского. Наиболее важным мо ментом здесь было то, что эти поверхности полностью описывались в рамках стереометрии Евклида. Это оз начало, что каждому положению плоской геометрии Лобачевского могло быть поставлено в соответствие определенное положение евклидовой стереометрии. Отсюда вытекал важнейший вывод о том, что геомет рия Лобачевского по крайней мере столь же непроти воречива, сколь и геометрия Евклида. Это же было показано и в отношении созданной в 50х гг. XIX в. Б. Риманом (1826–1866) новой неевклидовой геометрии, получившей название частной римановой геометрии или эллиптической геометрии. В ней, в отличие от гео метрий Евклида и Лобачевского, постулат о параллель ности гласил, что через точку к прямой на плоскости нельзя провести ни одной прямой, параллельной дан ной. В этой геометрии: 1) все прямые имеют одинако вую длину и каждые две прямые пересекаются в двух точках; 2) два перпендикуляра к одной прямой всегда пересекаются; 3) сумма углов треугольника всегда больше 180° и т. д. Оказалось, однако, что все положе ния частной римановой геометрии выполняются на поверхностях постоянной положительной кривизны, также полностью описываемых в рамках евклидовой геометрии. Позднее Риманом чисто логически была построена обобщенная, так называемая общая рима нова геометрия, в которой, в отличие от геометрии Евклида, Лобачевского и Римана, кривизна простран ства являлась уже не постоянной, а переменной вели чиной. Геометрии Евклида, Лобачевского и Римана ста ли частными случаями общей римановой геометрии. Построение общей римановой геометрии продемонст рировало выход геометрии на более высокий уровень абстрактности. Вместе с тем оно показало, что с возра станием абстрактности математического знания суще ственно увеличивается роль чисто логических и конст