Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 4748 / 5048 49 50 > Следующая >>>

Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...

зать, что актуально бесконечно малые не могут существо вать в принципе. Об абсолютной нелогичности этой дея тельности Кантора свидетельствуют следующие слова Цермело: «Несуществование “актуально бесконечно ма лых величин” недоказуемо в той же мере, как и несуще ствование канторовских трансфинитов, и в обоих случаях ошибочное умозаключение одно и то же; оно состоит в том, что новым величинам приписываются некоторые, не мо гущие быть присущими им, свойства обычных “конечных величин”

»25

. Любопытно, что сам Кантор задолго до Цер мело, используя практически те же аргументы, убедитель но показывал тщетность попыток доказательства невоз можности существования актуально бесконечно больших чисел, не замечая, что эти же доводы показывают тщет ность его собственных усилий относительно доказатель ства абсурдности актуально бесконечно малых. «Все так называемые доказательства абсурдности актуально бес конечных чисел ошибочны, — писал Кантор, — как мо жет быть показано в каждом отдельном случае и вытекает также из общих соображений. Причина заключается глав ным образом в том, что в этих доказательствах стоящим под вопросом числам заранее приписываются, а точнее — навязываются все свойства конечных чисел, в то время как, наоборот, бесконечные числа, если они вообще мыс лимы в какойлибо форме, вследствие их противополож ности конечным числам должны образовать совершенно новый род чисел, строение которого целиком зависит от природы вещей и является предметом исследования, но не нашего произвола или нашей предубежденности»

К чести Кантора следует отметить, что позднее (о чем свидетельствует сравнительно недавно обнаруженное письмо к Лассвицу) Кантор «отказался от категоричности своего прежнего мнения и допустил возможность того, что в дальнейшем исследователям удастся дать строгое опре деление бесконечно малых величин»

. Однако вряд ли

обосновано предположение, что это мнение Кантора, будь

Цит. по: Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым спосо

бом при помощи неделимых непрерывного. С. 67–68.

Там же. С. 67.

Пуркерт В., Ильгаудс Х.И. Георг Кантор. С. 68.

471

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

оно высказано в одной из его печатных работ, нашло бы поддержку, достаточную для признания концепций, по явившихся в конце XIX в., о которых в первой четверти ХХ в. известный историк математики Г. Вилейтнер счел необходимым заметить следующее: «И действительно,

Веронезе (G. Veronese) в 1894 г. ...построил вполне после

довательную систему бесконечно малых величин различ ных порядков. Еще раньше этого (Гальфен, Halphen, 1877) бесконечно малые различных порядков элементы кривой с успехом применялись в теории особых точек алгебраи ческих кривых. Однако дух времени не благоприятство вал, да и сейчас не благоприятствует такого рода иссле дованиям»

. Пытаясь объяснить факт непризнания упо мянутых концепций, Вилейтнер отмечает: «Причина лежит в том, что математика, начиная с Вейерштрасса (1860), стала на путь все усиливавшейся “арифметизации”. Иными сло вами, она отказывается от геометрической наглядности и во имя полной строгости заковывает себя в логически без упречную арифметическую форму»

. Несомненно, факт арифметизации анализа, а также стремление ученых ос таваться в рамках строгости, заданной эталонными рабо тами Вейерштрасса, трудно переоценить. Однако нельзя не отметить, что введение в математику актуально беско нечно малых сдерживал тот самый круг № 3 («инфините зимальный круг»), который был настолько глубоко укоре нен в самой математике, что даже изменение социокуль турного и метафизического контекстов не означало его автоматического преодоления (как это было с «вероятно стным кругом», имевшим внешние по отношению к мате матике характер и происхождение). Как уже отмечалось, его частичное преодоление в работах Кантора было обус ловлено прежде всего прагматическими соображениями (настоятельной необходимостью введения общего понятия и классификации бесконечных множеств в связи с его ис следованиями тригонометрических рядов). Заметим здесь же, что у Кантора были схоластические предшественни ки, рассуждавшие о равенстве или неравенстве бесконеч

Л., 1927. С. 109.

472

Вилейтнер Г. Как рождалась современная математика. М.;

Там же. С. 109–110.

Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...

ных последовательностей, причем равенство фактически определялось через взаимно однозначное соответствие. При этом все они придерживались представления о чис ле как совокупности единиц. Именно это представление подпитывало формирование инфинитезимального круга в античности, и средневековые ученые, естественно, раз деляли его. Но определяющим для них было убеждение в самопротиворечивости актуальной бесконечности. Поэто му опыт установления взаимно однозначных соответствий, выявление способности бесконечных множеств стоять во взаимно однозначном соответствии со своим подмноже ством использовалось средневековыми мыслителями в ка честве еще одного подтверждения этого фундаменталь ного убеждения. В частности, Дунс Скот отмечал, что если рассматривать отрезок как актуально бесконечную сово купность его составляющих точек, то придется согласить ся с равенством таких, например, отрезков, как сторона и диагональ квадрата, что, по его мнению, абсурдно. Подоб ные примеры приводит в своем трактате о континууме и Брадвардин, отмечая, что представление о континууме, со ставленном из неделимых (т. е. из точек), приводит к не разрешимым парадоксам. В отличие от своих схоласти ческих предшественников, перед Кантором стояли конк ретные математические проблемы, необходимость решения которых толкала его к выходу за пределы при вычных представлений. Поэтому он использует известные схоластам конструкции не для демонстрации самопроти воречивости актуально бесконечного, а для констатации необходимых ему свойств актуально бесконечных мно жеств. Последующие метафизические и методологичес кие обоснования законности операций с актуально беско нечными объектами выглядят у Кантора скорее лишь как ad hoc аргументы, что косвенно подтверждается упомяну тым фактом резкого неприятия создателем наивной тео рии множеств актуально бесконечно малых величин. И лишь с появлением нестандартного анализа А. Робин сона (60е гг. ХХ в.) начался процесс окончательного пре одоления инфинитезимального круга, связанный с дости жением полной уверенности в том, что средствами нестан дартного анализа можно получить все теоремы, справедливые в рамках классического анализа, нисколь

473

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

ко не нарушая при этом общепринятых норм строгости математических доказательств.

Как известно, А. Робинсон, используя достижения современной математической логики и в значительной мере созданной им самим теории моделей, построил свой нестандартный анализ на основе введения системы гипердействительных чисел, включающих в себя «стан дартные» действительные числа и актуально бесконеч но малые, которые определяются у него в духе Лейбни ца. А именно: положительное бесконечно малое есть число, которое меньше любого действительного числа, но больше нуля, а отрицательное бесконечно малое — это число, большее любого отрицательного действитель ного числа, но меньшее нуля. В то время как математи ки XVII–XIX вв. считали, что поскольку актуально бес конечно малые не удовлетворяют аксиоме Архимеда и, следовательно, не могут быть приняты как полноправ ные математические объекты, Робинсон сознательно поставил себя вне рамок инфинитезимального круга, обретя, пользуясь метафорой Гротендика, первоначаль ную невинность, наделившую его реформаторской вла стью. При этом Робинсон исходил из того, что хотя, в отличие от эпсилондельта формализма, интуитивные представления Лейбница, братьев Бернулли и Эйлера не получили в свое время строгого обоснования, полу ченные ими на основе этих представлений результаты выдержали испытание временем. И не случайно, что сам Робинсон рассматривал свою деятельность не только как продолжающую традиции инфинитезималистов XVII–XIX вв., но даже как оправдание и объяснение их представлений и методов. Важно и то, что непосред ственно в процессе разработки нестандартного анали за Робинсон не преследовал какихлибо прагматических целей, т. е. не имел в виду необходимость решения тех или иных конкретных математических проблем. Более того, создается впечатление, что, работая над созданием теории моделей, Робинсон уже имел программу преодо ления инфинитезимального круга, возникшую во мно гом в процессе тщательного изучения истории класси ческого анализа (первые самостоятельные научные результаты были получены Робинсоном в области гид

474

Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...

ро и аэродинамики)30. Несомненно, что преодоление данного круга облегчалось для Робинсона тем, что его укорененность в математике не подпитывалась социо культурным или метафизическим контекстами развития математики. Более того, формалистская философия математики, на позиции которой Робинсон перешел (будучи ранее платоником) в процессе разработки не стандартного анализа, стимулирует подобные исследо вания. Тем не менее наличие жесткой критики нестан дартного анализа как «формального ухищрения» и «уни жения смысла»

намекает на существование других кругов, невидимых, но властных, которые ограничива ют горизонт современной математики, подобно тому, как это происходило практически на всех предшествующих этапах ее развития

Круг четвертый: «Геометрия  наука о реальном пространстве»

Геометрия — одна из самых фундаментальных и древних наук. Ее возникновение относят к 3му тысяче летию до н. э., а первый дошедший до нас письменный источник геометрических знаний (папирус древнеегипет ского математика Ахмеса) датируется 20 в. до н. э. Архе ологические данные и историческая реконструкция куль туры древнего мира показывают, что геометрические знания существовали в той или иной мере во всех древ них цивилизациях (Индии, Китае, Вавилоне, Египте и др.).

Е.В. Зайцев заметил, что потребность в строгом обосновании операций с актуально бесконечно малыми величинами достаточ но естественна для ученого, имеющего богатый опыт исследова ний в области гидро и аэродинамики.

Bishop E. The crisis in conteprorary mathematics // Historia

mathematica. 1975. N 2. P. 513–514.

В настоящей статье метафора «круга» использовалась для обоснования «ограничительного» характера социокультурного и метафизического контекстов развития математики. Разумеется, значение этих контекстов не сводится к налагаемым ими ограни чениям. Для характеристики его конструктивной роли можно, например, использовать куновское понятие «парадигмы». Впро чем, сам Т. Кун, кажется, не применял это понятие для описания развития математики.

475

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Возникновение таких знаний объясняется довольно про сто: необходимостью решения все более усложнявшего ся множества практических и социальных проблем раз вивающихся цивилизаций. Это проблемы точного изме рения расстояний, длин, площадей и объемов различных предметов, сравнения их по величине и последующего использования этого знания в строительстве, архитекту ре, торговле, сельском хозяйстве, астрономии, религиоз ной практике, а также в быту. Возникнув из непосред ственных потребностей практики, как прямой ответ на ее запросы, геометрия и по природе своего происхожде ния, и по способу обоснования могла быть только эмпи рическим знанием. А точнее, древневосточная геометрия была специфическим когнитивным техноискусством вы числения длин, площадей и объемов реальных тел путем их измерения. Отражая родовую черту этой науки, взгляд на геометрию как на искусство измерения впоследствии надолго утвердился в качестве чегото само собой раз умеющегося, естественного и безусловного в понимании предмета этой математической дисциплины. Первый се рьезный вызов этой концепции будет сделан только в се редине XIX в. в связи с возникновением и утверждением неевклидовых геометрий в качестве полноценных мате матических теорий. Однако окончательно из этого фило софского круга в понимании своего предмета и природы геометрия выйдет только в конце XIX — начале XX в. И это будет связано с четырьмя обстоятельствами: 1) раз работкой Б. Риманом и Ф. Клейном понятий «аналити ческое пространство» и «математическое многообразие»;

2) бурным развитием геометрии в XIX в. после открытия и принятия неевклидовых геометрий (возникновением и утверждением множества разделов и направлений этой науки, таких, например, как неархимедова геометрия, дифференциальная геометрия, проективная геометрия, топология, общая риманова геометрия, геометрия про странства с более чем тремя измерениями и т. д.);

3) построением Д. Гильбертом в 1899 г. формализованно го варианта евклидовой геометрии; 4) масштабными и глубокими исследованиями математиками и философа ми конца XIX — начала XX в. природы математического знания и проблем его обоснования (теоретикомноже

476

Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...

ственный подход, формализм, конструктивизм, метама тематика).

В становлении, утверждении и развитии понимания геометрии как науки о реальном пространстве можно выделить три основных исторических этапа: 1) древне восточная геометрия (Вавилон, Индия, Египет); 2) антич ная геометрия (Фалес, Платон, Аристотель, Евклид, Ев докс и др.); 3) геометрия Нового времени (аналитическая геометрия, стереометрия, начертательная геометрия, геометрия классической физики).

Особенности первого этапа. Возникшая на Древнем Востоке геометрия первоначально не была еще собствен но математической наукой, так как ей была чужда сама идея логического доказательства своих утверждений. Да, она выделила в качестве своего предмета среди множе ства различных абстрактных эмпирических объектов свое многообразие: длины, площади, объемы, линии, углы, фигуры и способы определения их количественного зна чения — многократные измерения и нахождение сред него значения. Однако по своему содержанию, методу и когнитивному статусу она была скорее физической, не жели математической наукой. Это была специфическая область физического, притом эмпирического знания. Критерием истинности ее утверждений (при этом каж дого в отдельности) считалось их соответствие данным измерения пространственных свойств реальных объек тов, выступавших в качестве объективных прообразов (прототипов) определенного множества абстрактных (собственно геометрических) объектов (прямая, окруж ность, круг, треугольник, угол и т. д.).

Уже к 7 в. до н. э. был накоплен весьма значитель ный объем таких геометрических эмпирических зна ний. Эти знания не только весьма широко применя лись в различных видах практической и духовной (ре лигиозной) деятельности того времени, но и требовали для своего хранения, воспроизводства и обучения спе циальных сообществ ученых (геометров). Известно, что первые знаменитые геометры античности Фалес, Пи фагор и др. свое первоначальное знакомство с геомет рией получили именно на Древнем Востоке (Египет, Малая Азия и др.). Основные особенности древневос

477

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

точной геометрии могут быть кратко охарактеризова ны следующим образом:

1) непосредственная вплетенность геометриче ского знания в практику и подчиненность в своем функционировании и развитии именно практическим потребностям общества (измерению длин, площадей, объемов реальных тел);

2) рецептурный, алгоритмический характер са мого геометрического знания, представлявшего со бой набор утверждений о последовательности дей ствий, позволявших получить искомое геометриче ское знание (например, описание совокупности операций для вычисления площади равнобедренно го треугольника);

3) эмпирический характер геометрического знания и по содержанию, и по способу своего происхождения (геометрические положения рассматривались как не кие эмпирические законы природы);

4) закрытый (кастовый) характер сообщества гео метров (Древний Египет, а позже и математическая школа Пифагора), ограниченный доступ в это сооб щество лишь небольшого числа избранных, «сакрали зация» математического знания (Древний Египет, Пи фагор) как истин, имеющих божественное происхож дение и предназначение.

Основным недостатком такого геометрического знания, эмпирического по содержанию и физического по способу своей проверки, является то, что его обосно ванность всегда зависит от уровня точности наличных инструментов измерения, степени их совершенства. Однако все такого рода инструменты всегда дают опре деленный, иногда значительный разброс в нахождении точных значений геометрических величин, особенно если иметь в виду уровень измерительной техники того времени. Ярким примером такого разброса явилось определение величины отношения длины любой окруж ности к ее диаметру. Так, в Древнем Египте эта величи на считалась равной 3,16; в Древней Греции — 3,12; а в Древнем Вавилоне — 3

478

См.: Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М., 1963. С. 356.

Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...

Другой пример. В папирусе Ахмеса (около 20 в. до н. э.) площадь равнобедренного треугольника опре делялась как равная половине произведения основания на боковую сторону

. Столь же неверным с точки зре ния последующего развития геометрии (в частности, геометрии Евклида) оказались почти все остальные по ложения древневосточной геометрии. С философской точки зрения интересен, однако, тот момент, что такая неточность древнегреческой геометрии отнюдь не ме шала ей обслуживать самые разнообразные потребно сти практики своего времени, получая тем самым от нее санкцию на якобы истинный характер ее утверждений.

Второй этап в развитии и закреплении понимания

геометрии как науки о реальном пространстве связан с «прививкой» древневосточной геометрии к античной культуре. Социокультурная среда Древней Греции ра дикально отличалась от культуры Древнего Востока, осо бенно египетской культуры. Главное отличие состояло в характере тех ценностей, тех смысложизненных ориен тиров, которые лежали в основе этих культур. Ценнос ти древневосточной культуры: ориентация жизни обще ства и ее членов на практическую эффективность, ма териальную пользу, социальный порядок, дисциплину, управление, жесткую социальную стратификацию, ре лигиозный характер мировоззрения. Основные ценно сти древнегреческой культуры иные: личная свобода, демократия, разум, истина, красота, философский харак тер мировоззрения. Очевидно, что эти две системы ценностей не просто существенно различны, но и во многом несовместимы. Центральные структурообразу ющие ценности этих культур — практическая польза (Древний Восток) и истина (Древняя Греция) — настоль ко различны, что по существу могут отрицать друг дру га. Это четко осознал уже Фалес — один из первых круп ных философов, а также геометров Древней Греции. Для него было очевидно, что практическая полезность какоголибо утверждения, равно как и его опытное ос нование, не могут рассматриваться как средства дока зательства его истинности. Однако недоказанное утвер

См.: Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М., 1963. С. 356.

479

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

ждение, считали древние греки, не может называться знанием, истиной («эпистемой»), а суть лишь мнение («докса»). Целью науки, доказывали древнегреческие философы, должна быть выработка не просто полезно го знания (это может быть целью лишь более низкого, чем наука, уровня познания), а именно — необходимо истинного знания. В связи с такой постановкой вопроса перед греками встали во весь рост две фундаменталь ные философские проблемы: 1) возможно ли вообще до стижение человеком необходимоистинного знания и

2) если да, то каким способом, какими средствами, ка кими методами. Попытки найти ответы на эти вопросы составили одну из главных линий развития античной философии от Фалеса до скептиков. Античными мысли телями были предложены различные варианты положи тельного решения данных гносеологических проблем. Главное в интересующем нас вопросе состояло в следу ющем: «пересадка» древневосточного геометрического знания на социокультурную почву Древней Греции привела к его радикальным изменениям и по форме, и по содержанию. Эти инновации можно констатировать в виде следующих особенностей древнегреческой гео метрии: 1) превращение геометрии из эмпирического древневосточного техно в геометрическую науку теоре тического характера; 2) построение геометрии как логи чески доказательной системы знания в виде дедуктивно организованной, аксиоматической теории; 3) демо кратический характер древнегреческих математических сообществ (кроме Пифагорейского союза), доступ к ов ладению и занятиям геометрией в принципе любого свободного гражданина. Очевидно, что эти черты древ негреческой геометрии полностью противоположны тем, которые имела древневосточная геометрия. Необ ходимо отметить, что реализация проекта геометрии нового типа заняла у древнегреческих математиков достаточно продолжительное время, около 350 лет (с конца 7 в. до н. э. до середины 4 в. до н. э.). Однако в конце концов она увенчалась полным успехом. Опира ясь на достижения своих многочисленных предшествен ников, Евклид поставил решающую точку в этом движе нии. В своих «Началах» он изложил новую теоретичес

480

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 4748 / 5048 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]