Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 5047 48 49 50 > Следующая >>>

Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...

странстве состояний, более точно, каждый из матема тических объектов тождественен своему единственно му и уникальному состоянию, которое в принципе не может быть подвержено какомулибо изменению

Ясно, что никакого представления о переменной вели чине любой природы (арифметической или геометри ческой) в античности просто не могло возникнуть. Кроме того, несмотря на наличие собственно матема тических предпосылок, вряд ли возможно было возник новение чегото подобного теории геометрических преобразований (движений). Греческие математики знали о возможности доказательства теорем с помо щью движения и наложения (вспомним хотя бы про теоремы, доказанные Фалесом). Движения и наложе ния использовались даже в «Началах», однако можно вполне определенно утверждать, что Евклид старается избегать этого там, где это только возможно. И хотя с современной точки зрения решение проблемы об уд воении куба Архитом Терентским с помощью так на зываемых механических приспособлений (а на самом деле с помощью представлений о непрерывном преоб разовании геометрических объектов) является вполне приемлемым, греческие математики в большинстве своем были на стороне Платона, высмеивавшего по добные доказательства, отказывая им в принадлежно сти к математике. Здесь следует отметить, что данный круг, повидимому, не имел значения для доплатонов ской (может быть, допифагорейской) математики. Но затем, несмотря на его чисто метафизическую приро ду, он стал осознаваться математиками как один из аспектов требований строгости математических рас суждений, отступление от которых являлось крайне нежелательным. Таким образом, в отличие от вероят ностного круга, круг № 2 оказался более укорененным в математике, что обусловило значительные трудности в процессе его преодоления. В свете сказанного мож но на основании чисто умозрительных соображений

Полагаем, что это представление разделяли многие матема тики античности, которые вряд ли вдавались в более изощренные метафизические различения Аристотеля или Платона.

461

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

встать на точку зрения тех историков науки, которые отрицают факт существования так называемой «антич ной геометрической алгебры». Построение алгебры предполагает представление о возможности преобра зования (трансляции) одних величин в другие. Но круг № 2 отрицал такую возможность для математических величин. Появление же алгебры в рамках «арабской» математической традиции следует объяснять, повиди мому, принципиально иным метафизическим и социо культурным контекстом (данная проблема заслужива ет специального и тщательного исследования).

Другой характерный пример. Со времени откры тия Менехма античные математики понимали, что при пересечении конуса плоскостями под различными уг лами наклона последовательно появляются все кони ческие сечения. Однако это не могло служить основа нием для объединения данных кривых в один род. В своем трактате о конических сечениях Апполоний, стараясь дать единые доказательства ряда общих свойств (разумеется, далеко не всех) конических сече ний, пользуется соображениями, связанными с так называемым методом площадей, а не с представления ми о преобразовании этих геометрических образов друг в друга. (Здесь, разумеется, стоит упомянуть и о тре тьем круге античной математики («Актуально бесконеч ного не существует»), о которым будет идти речь ниже. Не случайно Харди, говоря о проективной геометрии Дезарга, отмечал, что она знаменует первое в истории введение актуальной бесконечности в математику. Ведь именно введение бесконечно удаленных точек и пря мых позволило Дезаргу говорить о непрерывном изме нении геометрических образов, возникающих при пе ресечении конуса плоскостью под разными углами наклона.)

Оборотной стороной данного метафизического круга был принципиально качественный характер физики Аристотеля. Поскольку «математические науки чужды движению», движение не может быть описано с использованием математики (небесные движения занимают особое, уникальное положение, поэтому для астрономии греческая наука делает исключение).

462

Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...

Преодоление данного круга (в европейской мате матической традиции) начинается в позднем средневе ковье с попыток сближения математического и физи ческого существования. Имеется в виду прежде всего философскоматематическая деятельность мыслителей Оксфордского и Парижского университетов. Именно в Оксфорде Р. Гроссетест и Р. Бэкон впервые в средние века настаивают на необходимости математизации физического знания, при этом существенно отходя от античной (пифагорейскоплатоновской) традиции, вы двигая принципиальной важности идею количествен ной структуризации античных натурфилософских пред ставлений о движении. В том же направлении раз виваются исследования и в Сорбонне. «Английские (Т. Брадвардин, Р. Суайнсхед и др.), а также француз ские (особенно Н. Орезм) ученые XIV в., — отмечал А.П. Юшкевич, — предпринимают смелую попытку под вергнуть с помощью инфинитезимальных идей кванти фикации квалитативную в своей основе натурфилосо фию перипатетиков. Прежде всего — и это оказалось особенно важным для дальнейшего — поновому осмыс ливаются те разделы “Физики” Аристотеля, в которых рассматриваются соотношения между силой и движе нием, силой и сопротивлением; иными словами, пере страивается перипатетическая механика; вслед за тем математическому рассмотрению подвергаются любые виды изменения непрерывных, а частью и кусочнораз рывных измеримых величин или, в терминологии пери патетиков, интенсификации — усиления и ремиссии — ослабления всякого рода “форм” или качеств — тепло ты, цвета и т. д., но также доброты, греховности и т. п., переменная интенсивность которых зависит от их экс тенсивности — распределения интенсивностей на ко нечных или бесконечных интервалах в пространстве либо времени. К категории форм относится и простей шее механическое движение, т. е. пространственное пе ремещение»

. Таким образом, средневековые ученые

преодолевают пропасть, лежащую между математикой

Юшкевич А.П. Биография Якоба Бернулли // Бернулли Я.

О законе больших чисел. С. 61–62.

463

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

и естествознанием, преодолевают круг, во власти кото рого находилось античное мышление. Математика в их представлении не описывает лишь мир вечных и неиз менных чисел и геометрических форм, а также и небес ных движений; она способна внести свой вклад в пони мание закономерностей «форм» изменяющихся. Ины ми словами, в новом социокультурном контексте математика низвергается с пьедестала «вечности», ус тупая место теологии, толкующей о действительно веч ном и абсолютном. От этого, с одной стороны, выигры вает естествознание, разумеется не сразу, но предпо сылки математического естествознания закладываются уже тогда. Достаточно упомянуть, что в Оксфорде и Париже «формируется идея о переменности — тече нии (fluxus) величин, о мгновенных скорости и ускоре нии, для которых вводятся соответствующие, даже ла тинские, термины и в совершенно отвлеченном, не свя занном с физикой плане, доказывается основной закон и другие свойства равномерно ускоренного движе

ния»

. И, с другой стороны, что для нас особенно важ но, допуск в математику представлений об изменении, движении способствует преодолению кругов невиди мых, но властных, препятствовавших самой возможно сти появления математики, имеющей дело с изменяю щимися, перетекающими друг в друга, переменными величинами. Преодоление метафизических представле ний, принципиально разводящих математическое и ес тественнонаучное (механическое и физическое) мыш ление, приводит в конце концов к становлению эмпи ристской философии математики, ставшей краеуголь ным камнем нового метафизического круга, долгое вре мя препятствовавшего, в частности, появлению и при знанию неевклидовых геометрий. В то же время ради кальный отказ от эмпиристской философии математи ки привел к образованию очередного круга, в рамках которого современная математика находится и поныне.

Здесь следует указать на принципиальные разли

чия в преодолении кругов, доставшихся в наследство

Юшкевич А.П. Биография Якоба Бернулли // Бернулли Я.

О законе больших чисел. С. 62.

464

Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...

от античности (круги № 1 и № 2) и «эмпиристского» метафизического круга. В первых двух случаях имен но изменения социокультурного и метафизического контекста (процесс, происходивший независимо от развития математики) освобождали математическое мышление от невидимых, но властных ограничений. Эмпиристские же запреты преодолеваются изнутри самой математики, вследствие, в частности, построе ния интерпретаций непривычных неевклидовых обра зов на евклидовых объектах, а также понимания того, что новые математические образы оказываются чрез вычайно полезными при решении математических проблем, возникших независимо от новых понятий и концепций. То же самое происходило (и происходит сейчас), когда антиэмпиристский круг местами рвался под натиском математического мышления, изобрета тельно, но незаконно пользовавшегося физическими соображениями. Правда, как правило, строгие привер женцы математической нравственности восстанавли вали статускво (вспомним, например, деятельность ученика Вейерштрасса Шварца, давшего строгое обо снование незаконнорожденному «принципу Дирихле», а также обобщенные функции Дирака и Хевисайда, получившие вскоре после своего появления законный математический статус). Сам факт поиска таких оправ даний свидетельствует о прагматизме математиков нового и новейшего времени, принципиально чуждом математикам античности (достаточно сравнить осто рожные высказывания Архимеда по поводу квадриро вания криволинейных фигур и прагматизм ученых, отраженный в словах Даламбера по поводу нестрогих инфинитезимальных методов: «Идите вперед, уверен ность придет потом!»). И даже в более поздний период преобладания антиэмпиристской философии матема тики использование официально запретных способов рассуждения в математике не прекращается. Более того, в последние годы Э. Виттен с помощью интегра лов Фейнмана совершенно удивительным образом находит новые инварианты для трехмерных многооб разий и т. д. Безусловно, в будущем интегралы Фейн мана будут формализованы, но сейчас их использова

465

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

ние требует огромной физической интуиции и опыта. Ю.И. Манин пишет по этому поводу: «В предыстории интегрального исчисления важное место занимает за мечательный труд Кеплера “Стереометрия винных бочек”. Интегралы, выражающие объемы тел враще ния, полезных в народном хозяйстве, были вычислены в этой работе до появления общего определения ин теграла. Математическая теория великолепных инте гралов Фейнмана, которые физики пишут в огромных количествах, все еще недалеко ушла от стереометрии винных бочек. С точки зрения математики каждое та кое вычисление есть заодно определение того, что “вычисляется”, либо построение текста в формальном языке, грамматика которого заранее не описана. В про цессе таких вычислений физик спокойно делит или ум ножает на бесконечности (точнее, на нечто, что, если бы оно было определено, оказалось бы бесконечным); суммирует бесконечные ряды бесконечностей, предпо лагая при этом, что 2–3 члена ряда дают хорошее при ближение ко всему ряду, и вообще живет в царстве сво боды, нарушая все “моральные нормы”

. Но можно ли в таком случае утверждать, что статус социокультур ных и метафизических кругов начиная со второй поло вины XIX в. радикально изменился? Можно ли сказать, что они потеряли былую жесткость и непререкаемость в глазах математического сообщества? Для того чтобы прояснить эту ситуацию, обратимся к третьему из ука занных в начале статьи кругов.

Круг третий: «Актуально бесконечного не существует»

Аксиома Евдокса об «архимедовых» величинах («Го ворят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга» назначена не только для легализации отношений между несоизмеримыми отрезками, но также и для того, чтобы исключить из математики как актуально бесконечно ма

Манин Ю.И. Математика и физика. М., 1980. С. 59.

466

Евклид. Начала. М.; Л., 1948. С. 142.

) пред

Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...

лые, так и бесконечно большие величины. Таким образом, в лице Евдокса, греческая математика сознательно огра ничивает множество объектов, оперирование с которыми является допустимым. Другими словами, данный круг возникает изнутри математики в качестве средства, по зволявшего застраховаться от парадоксов бесконечного, возможность появления которых для греческих матема тиков стала очевидной в свете апорий Зенона Элейского. Одними из наиболее интересных объектов, оставшихся за границами этого круга, были роговидные углы. Посколь ку роговидные углы (например, угол, образованный ок ружностью и касательной к ней) меньше любого, сколь угодно малого прямолинейного угла, постольку они оказа лись под запретом, несмотря на то, что греческим матема тикам были известны ряд их свойств. Особенность данно го круга как раз и состоит в его совершенно отчетливой осознанности математикамипрофессионалами, что вело к использованию «запретных объектов» и связанных с ними рассуждений в качестве эвристического средства получения новых результатов. Подчеркнем, что истинность полученных «незаконным» путем результатов не подвер галась сомнению. Доказательство в этих случаях было равносильно соблюдению необходимых формальностей, поскольку оперирование (не только в качестве эвристи ческого средства, но и в контексте обоснования) актуаль но бесконечно малыми (неделимыми), впервые имевшее место в «любительских» с точки зрения математикапро фессионала работах Демокрита, считалось признаком дурного тона. При этом статус инфинитезимальных рас суждений оценивался выше тех, которые основывались на «механических» аналогиях, поскольку выход за преде лы круга № 3 не выводил за пределы математики (в отли чие от выхода за пределы круга № 2), хотя мог призна ваться допустимым лишь в контексте открытия новых фактов, но никак не в контексте их обоснования. Заметим, что круг № 3, сформировавшийся, как уже было отмечено, внутри самой математики (в отличие от круга № 2, имев шего метафизическую природу, и круга № 1, сформиро ванного сочетанием метафизических и социокультурных предпосылок), прекрасно вписывался в социокультурный контекст развития античной математики и, разумеется, под

467

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

питывался этим контекстом. Об этом ярко, хотя и далеко не всегда корректно, писал в свое время О. Шпенглер. Однако изменение социокультурного контекста отнюдь не вело автоматически к преодолению этого круга в разви тии математики (как это было с «вероятностным» кругом). «Я протестую... — писал Гаусс Шумахеру, — против пользования бесконечною величиною как завершенною, что в математике никогда не позволено. Бесконечность есть лишь некий fa

çon de parler [способ выражаться], при

чем в действительности имеют в виду границы, к которым определенные отношения подходят как угодно близко, в то время как другим запрещается расти без ограниче

ния»

. О глубокой укорененности в математике инфини тезимального круга (особенно той его части, которая отно сится к актуально бесконечно малым), существовавшего в течение достаточно долгого периода времени практичес ки независимо от изменений, происходивших в социокуль турном и метафизическом контексте развития математи ки, очень красноречиво свидетельствуют колебания Гали лея, которыми он делится как в своих опубликованных работах, так и в письмах к своему знаменитому ученику Кавальери. Как считает П.П. Гайденко, Галилей фактически пользуется представлением об актуально бесконечно ма лых в своей механике. Так, говоря о причине сопротивля емости некоторых материалов разрыву, Галилей упоми нает о мельчайших пустотах, замечая, что «хотя эти пус тоты имеют ничтожную величину и, следовательно, сопротивление каждой из них легко превозмогаемо, но не исчерпаемость их количества неисчислимо увеличивает их сопротивляемость»

. Как не без оснований считает П.П. Гайденко, «неисчислимость количества ничтожно ма лых пустот — это в сущности бесконечное множество бес конечно малых, можно сказать, пустот, а можно сказать, сил сопротивления. Потом окажется, что этот метод сум мирования бесконечно малых — неважно чего: момен тов времени, частей пространства, моментов движения и т. д. — является универсальным и необычайно плодотвор

468

Цит. по: Пуркерт В., Ильгаудс Х.И. Георг Кантор. Харьков,

1991. С. 31.

Галилей. Избранные труды: В 2 т. М., 1964. Т. 2. С. 131.

Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...

ным инструментом мышления»20. Говоря о новых возмож ностях, открывающихся перед мышлением, принимающем понятие актуально бесконечно малого (он не просто гово рит о возможностях применения этого понятия, но реали зует эти возможности, вводя, например, понятие о мгно венной скорости), Галилей осознает парадоксальность при роды неделимых. Это приводит его к колебаниям относительно вопроса о возможности допущения актуаль но бесконечно малых (неделимых) в математику. И хотя в «Беседах о математических доказательствах» Галилей не отрицает этой возможности, позднее, когда Кавальери со здает свою геометрию неделимых, он высказывается про тив представлений своего ученика. «Хотя письмо Галилея к Кавальери и не сохранилось, но по некоторым высказы ваниям самого Галилея и по ответу Кавальери на письмо Галилея можно судить о том, что именно понятие суммы бесконечно малых Галилей считал теоретически несостоя тельным»

. И действительно, хотя в целом философия на уки Галилея была бесконечно далека от представлений Аристотеля, мы видим, что Галилей, подобно Стагириту, настаивает на необходимости для математиков оставаться в рамках инфинитезимального круга. «Бесконечность, — писал Галилей в одной из своих работ, — должна быть вовсе исключена из математических рассуждений, так как при переходе к бесконечности количественное изменение переходит в качественное, подобно тому, как если мы будем самой тонкой пилой... размельчать тело, то как бы мелки ни были опилки... каждая частица имеет известную величину, но при бесконечном размельчении получится уже не порошок, а жидкость, нечто качественно новое, причем отдельные частицы вовсе исчезнут»

. Одним из доводов Галилея против признания актуально бесконечно малых в математике было его убеждение в том, что раз личные бесконечные множества не могут находиться между собой в какомлибо из отношений (равенства, боль ше, меньше), ибо это приводит к неустранимым парадок

Гайденко П.П. Эволюция понятия науки (XVII–XVIII вв.) М.,

1987. С. 73.

Там же. С. 135.

Цит. по: Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом

при помощи неделимых непрерывного. М.; Л., 1940. С. 37.

469

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

сам. Но для Кавальери, стоявшего перед проблемами нахождения площадей и объемов, эта парадоксальность неделимых постулируется и закрепляется в качестве ос новополагающего положения. «Я решился признать тот факт, — отвечал на письмо Галилея Кавальери, — что одно бесконечное может быть больше другого, за прочнейшее основание геометрии»

. Таким образом, пользуясь пара доксальным представлением об актуально бесконечно малом в механике, Галилей не соглашался с подобным праг матическим компромиссом в математической концепции Кавальери. Даже Г. Кантор (в конце XIX в. (!) подчерки вал, что к идее введения актуальной бесконечности в ма тематику он пришел почти против своей воли, вступая в конфликт с ценными для него традициями. Изучая свой ства тригонометрических рядов, он обнаружил, что поня тия предельной точки и иррациональных чисел требуют введения и использования совершенно новых и непри вычных представлений — так он пришел к общему поня тию и классификации бесконечных множеств (вновь «прагматические» соображения являются существенным фактором преодоления ограничений!). Именно укоренен ностью «инфинитезимального» круга в самой математике (относительно независимо от социокультурного контек ста) можно объяснить не только длительный период игно рирования идей проективной геометрии (от пионерских работ Дезарга и Паскаля в XVII в. до появившихся лишь в XIX в. работ Понселе), но и настолько чрезвычайно яро стную, насколько и ничем логически не обоснованную атаку самого Кантора на ученых, пытавшихся ввести в ма тематику актуально бесконечно малые величины. В пись ме Виванти от 13 декабря 1893 г. он называет их «инфи нитезимальными бациллами холеры в математике», бу мажными величинами, не обладающими «никаким другим существованием, кроме как на бумаге, исписанной их от крывателями и приверженцами»

, добавляя, что место этих величин — в корзине для бумаг. Более того, основы ваясь на теории порядковых чисел, Кантор пытался дока

Цит. по: Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым спосо

бом при помощи неделимых непрерывного. С. 46.

470

Там же. С. 67.

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 5047 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]