Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов
.pdf
Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...
рамках уже завершенного контекста. Эти ученые, не
подозревая о том, так и остались узниками «кругов
невидимых и властных», установленных в качестве
своеобразных границ для математической Вселенной
в данную эпоху и в данной среде. Они и не помышля
ли о том, чтобы затронуть эти границы. Для того чтобы
переступить их, считает Гротендик, ученый должен был
бы вновь обрести дарованную ему при рождении спо
собность быть одному
2
, то есть быть абсолютно сво
бодным от социокультурного. Речь идет о способности
самостоятельно анализировать проблемы, не доверяя
вербально или по умолчанию общепринятым представ
лениям, способности не становиться добровольным
узником тех кругов, которые в каждую эпоху ограни
чивают горизонт творчества. В процессе познания
Вселенной (в том числе и ее «математического среза»),
утверждает Гротендик, только невинность, и ничто
другое, наделяет нас реформаторской властью. Это та
первоначальная невинность, которая дана человеку от
рождения, которая порой неявно обитает в каждом из
нас, являясь зачастую объектом нашего же презрения
и тайного страха. Одна лишь невинность, по убежде
нию Гротендика, объединяет смирение и смелость,
благодаря которым человек оказывается способным
проникнуть в суть «вещей» и, с другой стороны, про
никнуться ими, впустив их внутрь себя. Именно эта
власть (а отнюдь не особый «дар», подобно исключи
тельной способности рассудка усваивать и управлять
ся легко и ловко с огромной массой известных идей,
технических приемов и фактов, а также и не честолю
бие, поддержанное непреклонной волей к успеху) по
зволяет перешагнуть «круги невидимые, но властные»,
ограничивающие наш творческий горизонт. Это прео
доление часто не вполне осознается именно благодаря
осуществляющей его невинности.
Но какова природа этих кругов, о которых говорит
французский математик? Отмечая наиболее важные
темы своего математического творчества, Гротендик
2
См.: Гротендик А. Урожаи и посевы. Размышления о прошлом
математики. С. 22.
451
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
заявляет, что каждая из них является воплощением
единого широкого видения, которое может быть обо
значено как новая геометрия. «Новизна» этой геомет
рии заключается в обеспечении синтеза двух миров до
ее появления, хотя и тесно взаимосвязанных друг с
другом, но все же отдельных, различных: мира «ариф
метического» и мира непрерывных величин. В «новой
геометрии» эти два мира, некогда отдельные, слива
ются в один, сметая существовавшие ранее границы.
При этом идею топоса, стоящую в центре «новой гео
метрии», Гротендик рассматривает как свидетельство
фундаментального изменения наших представлений о
пространстве. Дело в том, что до появления понятия
топоса (конец 50х гг.) эволюция представлений о про
странстве происходила в рамках природы самой не
прерывности. И лишь идея топоса охватила в общето
пологической интуиции как традиционные топологи
ческие пространства, олицетворяющие мир непре
рывных величин вместе с многообразиями («простран
ствами») абстрактной алгебраической геометрии, так
и бесконечное множество структур другой природы, до
тех пор считавшихся принадлежащими миру арифме
тическому («дискретные» или «разрывные» системы).
Показательно, что Гротендик сравнивает появление
«новой геометрии» с возникновением теории отно
сительности Эйнштейна прежде всего потому, что обе
концепции демонстрируют фундаментальное измене
ние наших представлений о пространстве (соответ
ственно о «математическом» и «физическом» про
странстве), а также изза того, что эти концепции ох
ватывают в едином видении множество ситуаций, ранее
воспринимавшихся совершенно изолированно друг от
друга. Продолжая сравнение с развитием современ
ной физики, Гротендик указывает на квантовую меха
нику, в которой материальная точка классической
физики уступает место «вероятностному облаку», что
символизирует еще более, чем у Эйнштейна, фундамен
тальное изменение самого способа восприятия явле
ний. Другими словами, круги, ограничивающие гори
зонт мышления ученого и преодолеваемые учеными
первооткрывателями, имеют преимущественно мета
452
Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...
физическую (философскую) природу (общие представ
ления о пространстве, времени и т. п.). И конечно,
можно говорить об укорененности этих метафизиче
ских представлений в социокультурном контексте
функционирования и развития науки.
Следует отметить, что выявление социокультурных
и метафизических кругов и анализ процесса их пре
одоления в развитии науки затруднены настолько,
насколько близко находится исследователь к рассмат
риваемому им фрагменту истории науки. И это не
является удивительным, ведь мы сами зачастую явля
емся пленниками определенных предрассудков, уна
следованных от прошлых времен, что, разумеется, не
способствует адекватному их выявлению и характери
зации. Проанализируем некоторые из кругов в разви
тии математики и пути их преодоления.
Круг первый: «О случайном не может быть знания
через доказательство», или Почему теория
вероятностей не возникла вплоть до XVII в.
Считается (и это правильно), что исходным пунк
том возникновения теории вероятностей послужила
переписка между двумя выдающимися математиками
Нового времени Ферма и Паскалем. Эта переписка
относится к 1654 г. и содержит главным образом обмен
результатами решения задачи на разделение ставки в
ходе азартных игр, в частности, при их прерывании в
определенный момент времени.
В 1656–1657 гг. Гюйгенс, узнавший о том, что
Ферма и Паскаль серьезно заняты задачей на разде
ление ставки, подключился к этим исследованиям и в
1657 г. опубликовал работу «О расчетах в азартной
игре» — первое увидевшее свет сочинение по теории
вероятностей. В предисловии к этому изданию можно
прочитать следующие примечательные строки: «Чем
более трудной является задача определения при помо
щи рассуждений того, что кажется неопределенным и
подчинено случаю, тем более наука, которая достигает
результата, представляется удивительной. Во всяком
случае, я полагаю, что при внимательном изучении
453
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
предмета читатель заметит, что имеет дело не только с
игрой, но что здесь закладываются основы очень ин
тересной и глубокой теории»
3
. Значение этой неболь
шой работы Гюйгенса трудно переоценить. И не слу
чайно, что первая часть работы Я. Бернулли «Искусст
во предположений», появление которой знаменует
окончательное становление новой теории, представля
ет собой перепечатку и тщательный комментарий упо
мянутой работы Гюйгенса.
Таковы вкратце историконаучные факты, из кото
рых следует вывод о том, что становление теории ве
роятностей как науки происходило во второй половине
XVII в. (основные теоретиковероятностные результаты
были получены Я. Бернулли в 90х гг. XVII столетия)
В связи с этими фактами интересно разобраться в та
ком вопросе: является ли возникновение математической
науки о случайном именно в XVII в. «случайным собы
тием»? Правомерность этого вопроса обусловлена, с
одной стороны, достаточно высоким уровнем развития
математики в античности, а с другой стороны, имеющи
мися сведениями о распространенности как в антично
сти, так и позднее, в средние века и эпоху Возрождения,
азартных игр, послуживших в XVII в. источником пер
вых теоретиковероятностных проблем. Можно ли пред
положить, что, сумей какойлибо любитель азартных игр
в античности или в средневековье (вроде вошедшего в
историю теории вероятностей кавалера де Мере) при
влечь внимание крупных математиков своего времени
к задачам на разделение ставки, наука о случайном мог
ла бы возникнуть намного раньше, чем это произошло
на самом деле? Подобное предположение нельзя отме
тать с порога и потому, что для античности характерно
пристальное внимание к проблемам необходимости и
случайности, возможности и действительности.
В целом философскометодологические представ
ления, так или иначе связанные с теоретиковероятно
4
.
3
Цит. по: Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности. М.,
1980. С. 56.
4
См.: Юшкевич А.П. Биография Якоба Бернулли // Бернулли Я.
О законе больших чисел. М., 1985. С. 157. Цит. по: Майоров Л.Е.
Развитие понятие вероятности. М., 1980. С. 56.
454
Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...
стными рассуждениями, их значимостью и статусом,
можно разделить на три большие группы. Первая груп
па представлений — назовем их онтологическими —
отвечает на вопросы о природе случайного, его месте
в структуре реальности, о взаимоотношении случайно
го и необходимого. Вторая группа представлений отве
чает на вопросы теоретикопознавательного характе
ра (гносеологические представления; возможно ли, и
если да, то при каких условиях достижение абсолютно
достоверного знания? Имеет ли ценность для науки и
философии знание, не обладающее абсолютной досто
верностью? Каков статус так называемого вероятного
знания?). Третья группа представлений — методоло
гические представления — связана с характеризаци
ей самой теории вероятностей, выявлением ее места в
системе научного знания, определением ее предме
та, критериев истинности теоретиковероятностных
утверждений и т. п.
Можно показать, что именно отличия гносеологи
ческих представлений, господствовавших в античнос
ти, от тех, которые возникали в рамках философии и
науки Нового времени, позволяют понять причины как
отсутствия науки о случайном в античности (и средне
вековье), так и ее возникновения и бурного развития в
XVII–XVIII вв.
Как известно, для античной философской традиции
была характерна принципиальная дихотомия между
знанием (episteme) и мнением (doxa). При этом под
знанием понималась система абсолютно достоверных
(истинных) утверждений, доказанных по образцу евк
лидовой геометрии ( с соблюдением требований евкли
довой строгости — все утверждения должны быть вы
ведены из очевидных аксиом). Достижение достоверно
го знания, описывающего ту или иную область материи
или духа, объявлялось единственной целью науки. За
рассуждениями же, которые не удовлетворяли крите
риям доказательства геометрического типа, не призна
вали статуса научности. Выводы, основанные на таких
рассуждениях, относили к разряду мнения. Согласно
Аристотелю, «предмет знания и знание отличаются от
предмета мнения и от мнения, ибо знание направлено
455
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
на общее и основывается на необходимых [положени
ях]; необходимое же есть то, что не может быть иначе.
Многое же, хотя и истинно и существует, но может быть
иным. Ясно поэтому, что о нем нет науки»
Очевидно, что в рамках такой гносеологической
позиции невозможно представить себе возникновение
науки о случайном, ибо оно не есть то, «что не может
быть иначе». Это справедливо даже в том случае, если
случайности придается статус объективного существо
вания, что, как известно, имело место у Аристотеля.
Именно Аристотель, как никто другой, убеждает нас
в том, что в условиях господства античных гносеологи
ческих представлений о достоверности знания становле
ние теории вероятностей как науки было в то время в
принципе невозможным. Признание объективности слу
чая не могло навести Аристотеля на мысль о необходи
мости науки о случайном потому, что он резко «противо
поставил логику истины, свойственную теоретическому
знанию, логике вероятного и правдоподобного, присущей
случайным спорам и обыденной практике»
ном, или преходящем, — писал Стагирит, — нет знания
через доказательство... Если случайное... не есть ни то,
что бывает большей частью, ни необходимое, то для него
7
не может быть доказательства»
.
Средневековая европейская философия, основы
вавшаяся на теологически переработанной концепции
Аристотеля, также не допускала возможности суще
ствования знания, не обладающего чертами абсолют
ной достоверности, завершенности, окончательности.
Соответственно этому и в средние века случайность,
вероятность не стали объектом научного исследования,
несмотря на то, что в трудах схоластов нашли место
интересные философские рассуждения о природе слу
чайного.
Любопытно, что в средние века (начиная с X–
XI вв.) в связи с распространением азартных игр с ис
пользованием игральных костей в различных рукопи
5
Аристотель. Соч.: В 4 т. М., 1978. Т. 2. С. 312.
6
Вернан Ж.П. Происхождение древнегреческой мысли. М.,
1988. С. 69.
7
456
Аристотель. Соч.: В 4 т. Т. 2. С. 308–309.
5
.
6
. «О случай
Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...
сях встречаются подсчеты количества различных ис
ходов при их бросании. Более того, в 1494 г. в Венеции
был издан труд Луки Пачоли (1445 — ок. 1514 г. ) «Сум
ма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и
пропорциональности», в котором рассматриваются, в
частности, задачи о справедливом разделе ставки меж
ду двумя игроками, когда игра прервана до того, как
один из играющих выиграл определенное число партий
или очков согласно условиям игры. Однако в отличие
от Паскаля и Ферма, рассматривавших подобные за
дачи в XVII в., Пачоли пытался решать их без исполь
зования вероятностных соображений (позднее предло
женные им решения были признаны неверными)
8
.
Таким образом, задачи, решение которых в XVII в.
привело к возникновению теории вероятностей, в усло
виях отсутствия соответствующих гносеологических
предпосылок не сыграли той роли, которую им пред
стояло сыграть позднее. Более того, гносеологический
пласт философскометодологических представлений о
случайном препятствовал возникновению науки о слу
чайном — теории вероятностей.
Но за счет чего был преодолен этот круг? Как
показывает анализ, прежде всего вследствие вполне
определенных социокультурных и соответствующих им
метафизических метаморфоз.
«Новый Органон» Бэкона в качестве новой гносео
логической позиции, противостоящей перипатетизму,
не снимал противопоставления «знание — мнение» в
аристотелевском смысле. Однако у Бэкона нет пропа
сти между episteme и doxa. Напротив, достижение
абсолютно достоверного знания «форм» связывается
Бэконом с постепенным преобразованием данных опы
та из области мнения в сферу знания посредством
разработанных им процедур индуктивного метода.
Исследовательская программа Бэкона стала методоло
гической программой созданного в 1660 г. Британско
го Королевского общества.
Однако на пути реализации указанной програм
мы члены Королевского общества столкнулись со
8
См.: Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности. С. 28–29.
457
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
значительными трудностями. Дело в том, что исследо
вательская практика постоянно демонстрировала и
убеждала ученых в том, что максимально достижимый
результат в опытном естествознании — это хорошо
обоснованная гипотеза. Конечно, в дальнейшем эта ги
потеза может уточняться за счет привлечения новых
фактов, степень ее обоснованности может повышать
ся, но при этом, однако, она никогда не может дос
тичь уровня достоверности в аристотелевском смыс
ле. Из этой ситуации могло быть два выхода: 1) пойти
по пути, указанному скептиками, и воздержаться от
квалификации научных суждений как безусловно до
стоверных или 2) переосмыслить само понятие досто
верности. Члены Королевского общества выбирают
второй путь.
Надо отметить, что на становление вероятностной
гносеологии членов Королевского общества существен
ное влияние оказали, как это ни покажется неожидан
ным, философскометодологические воззрения Декар
9
та
. В свете принципиальных отличий декартовского
рационализма от английского эмпиризма сам факт
упомянутого влияния как нельзя лучше характеризует
торжество вероятностной гносеологии XVII — начала
XVIII в.
Согласно Декарту, абсолютно достоверное знание
возможно лишь о том, что полностью подчинено созна
нию. Это — знание, удовлетворяющее критериям яс
ности и отчетливости для разума и ограниченное пре
делами, вопервых, математики (в частности, создан
ной Декартом аналитической геометрии) и, вовторых,
метафизическими истинами типа cogito ergo sum.
Физический же мир, по Декарту, недоступен для абсо
лютно достоверного познания. Физическое познание,
убежден Декарт, — это сфера более или менее вероят
ных гипотез, следствия из которых, конечно, должны
хорошо согласовываться с опытом, однако последнее
не гарантирует их абсолютной истинности. Предельно
9
См.: Lauden L. The clock methaphor and probabilism: The impact
of Decartes in English methodological thought. 1650–1665. Annals of
science. L., 1966. Vol. 22. N 1. P. 93–104.
458
Глава 7. Социокультурные и метафизические «круги»...
достижимый уровень достоверного в сфере опытного
естествознания — это уровень моральной достоверно
сти, «достаточный для того, чтобы управлять нашими
нравами при равной достоверности вещей, в которых
мы обычно не сомневаемся, касательно правил нашего
поведения, хотя и знаем, что в смысле абсолютном эти
правила могут быть и неверны»
10
. Любопытно, что
Р. Бойль, находившийся под влиянием идей декартов
ского гипотетизма, полагал, что моральная достовер
ность достижима на пути согласования или соедине
ния нескольких вероятных суждений
11
.
Проблемы сравнения гипотез по их большей или
меньшей вероятности, оценки вероятности гипотезы,
полученной на основе соединения или согласования
двух или нескольких вероятных гипотез, численной
оценки вероятности морально достоверной гипотезы,
поставленные в связи со становлением новой, веро
ятностной гносеологии, настоятельно требовали созда
ния, с одной стороны, соответствующего математиче
ского аппарата для необходимых вычислений и, с дру
гой стороны, построения основ новой, вероятностной
логики научного познания. Необходимость создания
вероятностной логики вскоре была зафиксирована
Лейбницем, также испытавшим существенное влия
ние картезианства. «Я уже не раз говорил, — писал
Лейбниц в “Новых опытах о человеческом разуме
нии...”, — что нужен новый раздел логики, который
занимался бы степенями вероятности, так как Арис
тотель в своей “Топике” ничего не дал по этому воп
12
росу»
.
Таким образом, для создания вероятностной логи
ки оказалось необходимым возникновение математи
ческой науки об «оценке случайностей», или исчисле
ния (теории) вероятностей. Просто и ясно сформули
10
Декарт Р. Избранные произведения. М., 1950. С. 541.
11
Подробнее о становлении вероятностной гносеологии Ново
го времени см.: Косарева Л.М. Вероятностная концепция есте
ственнонаучного знания в гносеологии XVII века // Совре
менные исследования по истории и методологии науки. М.:
ИНИОН,1987.
12
Лейбниц Г.В. Соч.: В 4 т. М., 1983. Т. 2. С. 479.
459
Часть I. Философские проблемы математики и информатики
рованные и в то же время достаточно содержательные
(в свете целей исчисления вероятностей) задачи, свя
занные с азартными играми, стали отличными старто
выми проблемами для становления новой теории.
Отметим, что вероятностный круг был в некотором
смысле невидим для античных математиков, ибо они не
осознавали в этом отношении какоголибо запрета или
ограничения, препятствующего их научным исследова
ниям. Социокультурные и философские основания тео
ретического знания в эпоху античности во многом пред
определили невозможность появления не только каких
либо вероятностных понятий, но и вообще какихлибо
научных проблем, при решении которых такие понятия
могли понадобиться. Другими словами, ни одному из
античных математиков и в голову не могло прийти рас
сматривать какуюлибо проблему, включающую какие
либо аспекты понятия «случайного».
С другой стороны, возникновение именно вероят
ностной гносеологии в Новое время, ее резонанс с со
циокультурным контекстом той эпохи существенным
образом подтолкнуло математиков того времени к раз
работке необходимого математического аппарата для
создания казавшейся им крайне необходимой — веро
ятностной логики. Более подробно история возникно
вения и развития вероятности рассмотрена в главе
«Философские проблемы теории вероятностей».
Круг второй: «Математические науки чужды
движению, за исключением тех, которые относятся
к астрономии»
За этими словами Стагирита стоит более фунда
ментальное представление, если угодно, более фун
даментальный метафизический круг, существенно ог
раничивавший античное математическое мышление.
Речь идет о признании фундаментальных различий фи
зического и математического существования, физичес
кого и математического мышления. Физические объек
ты могут изменяться (в частности, находиться в дви
жении), оставаясь при этом самими собой, матема
тические же объекты существуют в дискретном про
460
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]