Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Сибирский государственный университет науки и технологий
имени академика М. Ф. Решетнева
С. И. Сенашов, И. Л. Савостьянова
УПРУГО-ПЛАСТИЧНОСТЬ
И ЗАКОНЫ
СОХРАНЕНИЯ
Монография
Красноярск 2023
1
УДК 539.374
ББК 22.251
С31
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор В. М. С
АДОВСКИЙ
(Институт вычислительного моделирования СО РАН –
Обособленного подразделения ФИЦ КНЦ СО РАН);
кандидат физико-математических наук. О. Н. Ч
ЕРЕПАНОВА
(Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирского федерального университета)
Печатается по решению редакционно-издательского совета университета
Сенашов, С. И.
С31 Упруго-пластичность и законы сохранения : монография /
С. И. Сенашов, И. Л. Савостьянова ; СибГУ им. М. Ф. Решетнева. –
Красноярск, 2023. – 184 с.
ISBN 978-5-86433-926-8
Работа посвящена вопросам актуального состояния проблем упругости
и пластичности и использованию законов сохранения для решения поставленных проблем.
Монография будет полезна студентам, аспирантам и научным работникам
интересующимися методами решения и исследования дифференциальных уравнений не только механики деформируемого твердого тела, но и другими уравнениями механики сплошных сред.
УДК 539.374
ББК 22.251
ISBN 978-5-86433-926-8 © СибГУ им. М. Ф. Решетнева, 2023
© Сенашов С. И., Савостьянова И. Л., 2023
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............................................................................................................. 5
Глава 1. Вывод основных уравнений ........................................................... 6
1.1. Основные сведения об уравнениях упругости и пластичности ........ 6
1.2. Уравнения упругости ........................................................................... 10
1.3. Уравнения пластичности ..................................................................... 15
1.4. Уравнения упруго-пластичности ........................................................ 16
1.5. Граничные условия .............................................................................. 17
1.6. Поле скоростей вокруг заданной системы вихрей ........................... 18
Библиографические ссылки ....................................................................... 19
Глава 2. Основные понятия группового анализа
дифференциальных уравнений в частных производных ..................... 20
2.1. Введение в непрерывные группы Ли ................................................. 20
2.2. Точечная группа, допускаемая дифференциальными
уравнениями. Использование точечных групп
для исследования и решения дифференциальных уравнений ........ 29
2.3. Высшие симметрии дифференциальных уравнений ........................ 32
2.4. Законы сохранения ............................................................................... 38
2.5. Групповое расслоение ......................................................................... 42
2.6. Законы сохранения для гиперболических систем
уравнений с двумя переменными ....................................................... 43
Библиографические ссылки ....................................................................... 48
Глава 3. Законы сохранения уравнений упругости ................................ 49
3.1. Законы сохранения уравнений плоской упругости .......................... 49
3.2. Групповое расслоение уравнений двумерной теории
упругости и законы сохранения ......................................................... 53
3.3. Законы сохранения для пространственных
уравнений эластостатики .................................................................... 57
3.4. Решение первой краевой задачи для уравнений
эластостатики с помощью законов сохранения ................................ 61
3.5. Законы сохранения для трехмерных уравнений
анизотропной упругости ..................................................................... 64
3.6. Использование законов сохранения
для решения краевой задачи для трехмерных
уравнений анизотропной упругости .................................................. 69
3.7. Об упругом кручении вокруг трех осей ............................................. 70
3.8. Продольные сдвиговые волны в упругом параллелепипеде ........... 75
3.9. Точечные симметрии уравнений изотропной упругости ................ 81
3.10. Общие решения и высшие симметрии уравнений
линейной теории упругости .............................................................. 83
3
3.11. Точные решения уравнений асимметричной
теории упругости ............................................................................... 86
3.12. Использование законов сохранения
для решения краевых задач системы трехмерных
уравнений эластостатики .................................................................. 91
Библиографические ссылки ....................................................................... 98
Глава 4. Групповые свойства уравнений пластичности ...................... 100
4.1. Точечная группа и инвариантные решения уравнений
пластичности ...................................................................................... 100
4.2. Пространственные двумерные решения .......................................... 110
4.3. Новые классы решений динамических задач
анизотропной теории пластичности ................................................ 116
4.4. Точные решения уравнения, описывающего
антиплоское пластическое течение .................................................. 125
4.5. О пластическом кручении параллелепипеда вокруг трех осей ..... 131
Библиографические ссылки ..................................................................... 139
Глава 5. Решение упруго-пластических задач
с помощью законов сохранения ............................................................... 141
5.1. Основные уравнения упругости и краевые задачи ......................... 142
5.2. Основные уравнения теории пластичности Мизеса ....................... 144
5.3. Кручение призматических упругих стержней ................................ 144
5.4. Упругий изгиб брусьев ...................................................................... 147
5.5. Плоская задача теории упругости .................................................... 149
5.6. Антиплоская задача теории упругости ............................................ 150
5.7. Законы сохранения для уравнений упругости ................................ 150
5.8. Законы сохранения двумерных уравнений пластичности ............. 155
5.9. Упруго-пластическая граница в скручиваемом
прямолинейном стержне ................................................................... 157
5.10. Упруго-пластическая граница в изгибаемой консоли .................. 163
5.11. Упруго-пластическая граница для областей
больших размеров ............................................................................ 166
5.12. Анизотропная антиплоская упругопластическая задача ............. 176
Библиографические ссылки ..................................................................... 180
Заключение ................................................................................................... 182
4
ВВЕДЕНИЕ
Камень, который отвергли
зиждущие, стал главою угла.
Ф. М. Достоевский
Теория упругости, пластичности и упруго-пластичности – важнейшие разделы механики деформируемого твердого тела, изучающие напряженное и деформируемое состояние твердых тел.
Теория упругости как наука сложилась в первой половине XIX века благодаря
трудам Навье, Коши, Ламе, Клайперона, Сен-Венана. Необходимо отметить, что до
сих пор теория упругости развивалась в направлениях, намеченных этими учеными.
Теория пластичности возникла в работах Треска и Сен-Венана около
1870 года. Данными учеными были сформулированы основные гипотезы и описаны
уравнения двумерной теории пластичности. В теории пластичности, в отличие
от теории упругости, имеется много вариантов частных моделей, описывающих
трехмерное пластическое состояние, но не решен вопрос об адекватности описываемых процессов.
Какие же проблемы в целом наблюдаются в этих теориях? Выделим только
одну. В теории упругости имеется много частных решений, которые широко используются для решения задач для бесконечных областей, и практически нет решений, описывающих напряженно-деформированное состояние в конечных областях.
И все это не смотря на линейность основных дифференциальных уравнений.
В теории пластичности до сих пор нет устоявшихся трехмерных уравнений,
по которым сложилось общее мнение сообщества научных работников. Поэтому
основные усилия направлены на создание таких теорий и исследование двумерных
уравнений пластичности. Здесь все еще осложняется тем, что все основные дифференциальные уравнения являются нелинейными.
Еще больше сложностей возникает при решении упруго-пластических задач.
Кроме проблем с отысканием неизвестной упруго-пластической границы, здесь
возникают проблемы определения областей разгрузки и упрочнения.
Таким образом, для сохранения четкости понимания проблемы, мы ограничимся следующими положениями:
1. Использовать законы сохранения для решения краевых задач теории упру-
гости в случае, когда изучаемые области ограничены.
2. Использовать законы сохранения для решения краевых упруго-
пластических задач.
Методы законов сохранения успешно стали применяться для решения краевых задач для дифференциальных уравнений после 1994 года, когда была решена
задача Коши для уравнений пластичности. Эта методика последовательно развивается и постепенно ее положения стали использоваться для решения и исследования
других уравнений механики сплошных сред. В настоящее время по сути это единственная методика для решения таких задач.
Авторы надеются, что данная монография позволит увеличить количество
таких исследований, а также перенести подобные исследования на другие уравнения механики сплошных сред.
Монография будет полезна студентам, аспирантам и научным работникам,
интересующимися методами решения и исследования дифференциальных уравнений не только механики деформируемого твердого тела, но и другими уравнениями
механики сплошных сред.
5
Глава 1
z
r
r
x
r
r
ryr
ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ
УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
Системы координат
В этой книге мы будем рассматривать в основном три системы координат: декартову систему координат
321
,, xzxyxx
, цилиндриче-
скую систему координат
и сферическую систему координат
Объяснение этому факту мы получим тогда, когда найдем симметрии основных уравнений упругости и пластичности.
Координаты точки в цилиндрических координатах и декартовых координатах связаны формулами:
Здесь всегда
cos , sin , , tg / .
ryrrxy yx
0, 0 2 .r
222
(1)
Запишем связь между производными в декартовой и цилиндрической системах координат:
cos
sin
rx
x
,
,
yxr
sin
cos
ry
,
xy
yx
,
(2)
Связь между дифференциалами этих же систем координат имеет вид
.
Координаты точки в сферических координатах и декартовых координатах связаны формулами:
Здесь всегда
,0
Запишем связь между производными в декартовой и сферической
системах координат:
rzryrx
0, 0 2 .r
rr
6
rrr
yx
.sincossinsin
yx
.,cossin,sincos dzdzdrdrdydrdrdx
.cos,sinsin,sincos
,cossinsinsincos
zyxr
,sincossincoscos
(3)
(4)
(5)
Связь между дифференциалами этих же систем координат имеет вид
n
rdrdz
,coscossinsinsincos
drdrdrdx
rdrdrdy
cos
.si
d
,cossinsincossinsin
(6)
Тензор и девиатор напряжений
В этой книге предполагаем, что напряженное состояние в упругой
и пластической средах характеризуется симметричным тензором напряжений:
(7)
Здесь
ij
ij
3,2,1,,ji
xzxyxx
yzyyxy
zzyzxz
– компоненты тензора напряжений в декартовой
xzxyxx
=
yzyyxy
zzyzxz
131211
.
232212
332313
системе координат.
Трехмерный тензор напряжений (7) имеет три инварианта:
IIpI
det),(2/1,3/1
.
321
ijijijjjiiii
(8)
Здесь и далее по повторяющимся индексам проводится суммирование.
Первый инвариант называется гидростатическим давлением, а квадратный корень из второго
1
I
2 xzyzxyxzzyyx
6
Называется интенсивностью касательных напряжений. Они оба часто используются в теории пластичности.
Наряду с тензором напряжений введем понятие девиатора на-
пряжений:
s
sss
xzxyxx
sss
yzyyxy
sss
zzyzxz
ssssssII
где
ps
ijijij
– символ Кронекера. Его инварианты имеют вид
ij
21 xzyzxyzxzyyx
222222
)(6)()()(
.
xzxyxx
s
yzyyxy
s
zzyzxz
s
=
222
),(,0
131211
s
232212
s
332313
(9)
(10)
3 xzyzxyxyzxzyyzxzyx
222
ssssssI
.2
7
Пусть от системы координат
xy
x
z
r
z
r
ординат
. Пусть
'zyx
косинус угла между осями
),'cos(23zyl
мы переходим к другой системе ко-
z
косинус угла между осями xи
),'cos(11xxl
z
и
'y
тогда компоненты тензора
напряжений (девиатора) преобразуются по следующим формулам:
,
2
11
В краткой записи все шесть формул запишутся в виде
или, при обратном переходе
В частности, при переходе к цилиндрической системе координат
, получаем
2
12
2
13
'
ll
ljkiijkl
.
ll'
ljkiklij
22
xyyxr
22
xyyx
xyyxr
cossin2sincos
,
,cossin2cossin
22
),cossin(cossin)(
,222'
lllllllll
131113111312
xyxzyzzyxx
).()()('
llllllllllllllllll
xyxzyzzyxyz
312232213123332132233322332332223121
(11)
(12)
(13)
.,cossin
где
,,,,,
– компоненты тензора напряжений в цилиндриче-
rzzrzr
ской системе координат
yzxzrz
,sincos
zzyzxzz
.
Поскольку тензор напряжений симметричен, то он имеет три действительных собственных числа, которые принято обозначать
,,
321
Эти напряжения называются главными напряжениями, а соответствующие
им собственные вектора называются главными осями, при этом, предпола-
.
гают
Аналогично вводятся главные касательные напряжения,
321
определяемые формулами
1
32
,
2
2
13
,
2
3
21
.
2
Уравнения равновесия сплошной среды
Приведем уравнения равновесия сплошной среды, предполагая, что
массовые силы отсутствуют.
В декартовой системе координат
.
,0
xzzxyyxx
,0
yzzyyxyx
.0
zzyzyxzx
(14)
8
В цилиндрической системе координат
r
r
r
r
r
r
rzzrrr
В сферической системе координат
rr
rr
Тензор деформации
Для характеристики деформации среды в точке служит симметричный тензор деформации
r
,01
rz
ctg
r
ctg
r
r
.01
ctg
rr
3)(
r
32
r
11
sin
rr
11
sin
rr
11
sin
rr
zzzrzr
2
rrrr
r
zzrr
,0
,021
(15)
,0
.0
(16)
ij
xzxyx
yzyxy
zyzxz
131211
.
232212
332313
Компоненты тензора деформации для малых перемещений связаны с
компонентами вектора деформации следующими соотношениями:
21321
,2,,,
wwwww
xyxyzzyyxx
3231
.2,2
wwww
yzyzxzxz
Здесь
321
,, www
компоненты вектора перемещений в декартовой сис-
теме координат.
В силу уравнений (18) компоненты тензора деформации связаны
уравнениями сплошности (совместности):
2
2
11
2
22
11
2
xyxxyy
2
23
2
,2
12
2
xzxxyz
2
33
11
2
,
13
1212
2
xzzzxx
2
22
2
,2
13
2
13
2
33
22
2
yzyyxz
2
,2
2
23
1212
23
yzzzyy
,
(17)
(18)
(19)
2
33
2
2
12
xzzzxy
2
.
13
2323
9
Тензор скоростей деформации
2
Для тех сред, когда важна не сама деформация, а скорость ее выполнения характеристикой деформации среды в точке служит симметричный
тензор скоростей деформации
e
ij
eee
xzxyx
eee
yzyxy
eee
zyzxz
eee
131211
eee
.
232212
eee
332313
(20)
Компоненты тензора скоростей деформации для малых перемещений
связаны с компонентами вектора скоростей деформации следующими соотношениями:
21321
,2,,,
uueueueue
xyxyzzyyxx
Здесь
3231
.2,2
uueuue
yzyzxzxz
321
,, uuu
компоненты вектора скоростей деформаций в декарто-
(21)
вой системе координат.
В силу уравнений (21) компоненты тензора скоростей деформации
связаны уравнениями сплошности (совместности):
2
2
11
22
2
11
2
xyxxyy
2
23
2
,2
eee
12
2
xzxxyz
2
33
2
33
,
11
,
eeee
1321212
2
12
2
xzzzxx
2
22
2
xzzzxy
2
,2
eee
13
2
13
eeee
.
1322323
2
33
22
2
yzyyxz
2
,2
eee
eeee
2321212
23
yzzzyy
(22)
Легко проверить, подставляя (21) в (22), что эти уравнения будут
удовлетворяться тождественно.
1.2. УРАВНЕНИЯ УПРУГОСТИ
Приведенные ранее формулы годятся для любой сплошной среды
независимо от ее физических свойств. Переходя к упругому телу необходимо выбрать такую зависимость между напряжениями и деформациями,
которая характеризовала именно упругие свойства тела. Поскольку мы
рассматриваем только малые деформации, то за такую модель будет принято сплошное тело, подчиняющееся обобщенному закону Гука. Этот закон, в случае общего анизотропного случая, можно записать в виде [1]:
161514131211 xyxzyzzyxx
,
aaaaaa
(23)
,
aaaaaa
262524232221 xyxzyzzyxy
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]