Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография
.pdf
где
iii
c
i
2
(),,,(
1
23221
),,)()2(,)((
wwwww
zzyxy
11321
),,)()()2(
wwwww
zyzyx
3
33231
).)2(,)(,)((
wwwww
zyzxz
Для решения уравнения (302), относительно девяти неизвестных
iii
3,2,1,, ic
воспользуемся формулой (303) из [13]. В результате
получаем
)(
где L
i
– аналог вихревой линии, а
i
Г
i
4
rrd
,
3
r
L
i
)(iГ
– конечная циркуляция вихревой
трубки вокруг вихревой линии. Эта циркуляция без труда может быть вычислена в точке пересечения вихревой линии с граничной поверхностью S,
которая будет описана ниже.
3.4. РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛАСТОСТАТИКИ
С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
Покажем, как закон сохранения с таким сохраняющимся током можно использовать для решения первой краевой задачи для системы уравнений (3.1).
Первая краевая задача состоит в нахождении напряжений и перемещений внутри упругого тела, если на поверхности тела заданы перемещения [2].
Рассмотрим упругое тело V ограниченное поверхностью S. В этом
случае первая краевая задача для системы уравнений (281) имеет вид
где
ii
(, ,) (, ,), 1,2,3
w xyz w xyz i
i
w
заданные гладкие функции.
0
0
на поверхности S,
(304)
Для решения этой задачи сделаем следующие преобразования закона
сохранения.
Запишем закон сохранения (282) в интегральной форме, применяя
формулу Гаусса-Остроградского
() 0.
A B C dxdydz Adydz Bdzdx Cdxdy
xyz
VS
Рассмотрим внутреннюю точку
вой поверхностью радиуса
2
0
2
0
zzyyxx
0
),,(
zyx
, которую окружим шаро-
, уравнение которой имеет вид
22
.)()()(:
61
000
(305)
Имеем из (305)
r
CdxdyBdzdxAdydz
S
CdxdyBdzdxAdydz
Вычислим интеграл
CdxdyBdzdxAdydz
.
Известно, что имеет место следующее представление решения уравнений (298)–(300) через четыре гармонические функции [2]
x
y
z
1
3210
2
2
0
zzyyxx
30201001
zzyyxx
30201002
zzyyxx
30201003
2
0
где
Пусть
1
w
2
w
3
w
,,,
– произвольные гармонические функции.
3210
,0
(306)
(307)
),)()()((
),)()()((
),)()()((
2
.)()()(,0,0,
zzyyxxr
0
где
Отсюда получаем
2
)(1
w
1
)1(
r
3
w
xx
0
,
3
r
3
r
Подставляя эти выражения в (306)
(( ) ) (( ) ) ( 2 ) ) ,
CdxdyBdzdxAdydz
133 233 33
wu wcu wudxdy
333333
)
zyx
))2(((
xyz
dydzuuuw
)2()(
yyxx
2
w
zzxx
))((
00
4,
1
)2((
3
r
1
.
))((
00
,
111111
uuuw
zyx
(308)
222222
uuuw
+
zyx
))(((
2222222
ucuwuw
zyx
1111111
uwucuw
zyx
))((
1111112
ucuwuw
zyx
+
333333
zyx
dzdxucuwu
)
(309)
2222322
uwuсwu
+
zyx
3
xx
1
u
x
0
3)13(
3
r
xx
)(
0
5
r
2
u
,
x
yy
0
3
3
r
2
yyxx
)()(
0
5
r
0
,
62
2
x
zz
3
u
x
0
3
3
r
0
r
zzxx
)()(
0
,
5
yy
1
u
y
1
u
z
0
3
r
zz
3
r
В (309) сделаем замену переменных по формулам
При этом имеют место формулы, где они взяты по модулю
В результате получаем используя предельный переход при
и теорему о среднем
2
yyxx
)()(
3)1(
u
0
3)1(
0
5
r
3
3
y
0
r
3
u
z
3
r
0
2
zzxx
5
xx
0
3
ozzyyxx
2
u
,
y
5
r
)()(
0
2
u
,
z
0
r
000
xx
0
3
3
r
zzyyxx
))()((
000
,
3
2
xxzz
)()(
0
5
.
2
xxyy
)()(
0
5
r
5
r
0
,
zzyyxx
))()((
000
,
.2/2/,2,sin,cossin,coscos
22
,coscos
dddydz ,cossin
2
.sincos
dddxdy
22
dddzdx
0
Здесь а – постоянная, равная
8
5
Окончательно имеем
S
где использованы функции (308) и
Аналогично полагаем
)1(
1
w
и получаем
3
r
))((
yyxx
2
2
00
w
,
zyxbw
000
r
),,(
CdxdyBdzdxAdydz
64
15
CdxdyBdzdxAdydz
(, ,)
yz
000
r
1
).,,(
zyxaw
000
4
3
1
16
.
3
),,(
zyxaw
,
000
произвольная точка области V.
2
yy
)(
0
3
3
,
w
CdxdyBdzdxAdydz
3
r
))((
zzyy
00
,
310)
(
(311)
(312)
Здесь
b
– постоянная, равная
9
32
12
2
5
44
15
8
.
13
В (312) использованы формулы (311).
63
Аналогично полагаем
x
2
)(1
zz
0
, (313)
3
r
w
1
()()
xzz
00
3
r
))((
2
w
,
zzyy
00
3
r
3
,
w
r
и получаем
Здесь
3
c
– постоянная, равная
000
3
8
8
2
5
76
15
CdxdyBdzdxAdydzzyxcw ),,(
(314)
4
.
3
В (314) использованы формулы (313).
Из формул (314), (312), (310) можно найти решение уравнений
(298)–(300) в любой внутренней точке области V. Тем самым первая краевая задача для системы уравнений (298)–(300) полностью решена, а следовательно она решена и для системы уравнений (281).
Заключение. В параграфе построены законы сохранения для уравне-
ний теории упругости, когда сохраняющийся ток имеет форму (282).
Найденные законы сохранения позволили свести решение первой краевой
задачи для уравнений линейной упругости к вычислению интегралов
по поверхности, которая ограничивает рассматриваемое упругое тело.
3.5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ
АНИЗОТРОПНОЙ УПРУГОСТИ
Методы законов сохранения по праву относят к одному из важных
классических методов исследования дифференциальных уравнений [10]:
Эти методы имеют сравнительно небольшую историю, первые работы
появились около 100 лет назад и были инициированы статьями Э. Нетер.
Долгое время законы сохранения дифференциальных уравнений использовались в основном, при доказательстве теорем существования и единственности, а иногда для построения обобщенных решений. В последнее
время законы сохранения применяются и для решений краевых задач [8; 13].
По-видимому, впервые законы сохранения для уравнений упругости
в изотропном случае были вычислены в [3; 4]. Эти вычисления были основаны на теореме Э. Нетер. Найденные законы не нашли никакого практического применения и представляли чисто академический интерес. В представленной работе найдена бесконечная серия новых законов сохранения
для трехмерных уравнений теории упругости в случае общей анизотропии.
Это означает, что выполняется обобщенный закон Гука, зависящий
от 36 упругих постоянных. Найденные законы сохранения позволили получить формулы, с помощью которых можно эффективно сводить краевые
задачи к квадратурам. Квадратуры можно численно вычислить для заданных краевых условий в перемещениях.
64
В этом параграфе будут найдены законы сохранения для трехмерных
y
y
x
x
x
A
стационарных уравнений упругости в случае общей анизотропии.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнения трехмерной упругости
в стационарном анизотропном случае.
Закон Гука имеет следующий вид [14]
где
A
11xx
A
A
A
,...,,
– компоненты тензора напряжений;
xyyx
A
21yx
A
xz
31
xyz
41
xxz
51
A
xxy
61
ты тензора деформаций;
12
A
A
A
A
A
A
A
13 z
A
y
22
A
y
32
A
y
42
A
y
52
A
y
62
– 36 упругих постоянных.
ij
2
A
14
2
z
23
A
2
z
33
2
z
43
A
2
z
53
A
2
z
63
2
A
z
A
yz
24
yz
34
A
yz
44
yz
54
yz
64
15
A
2
25
A
2
xz
35
A
2
45
A
2
55
A
2
65
Компоненты тензора деформаций связаны с компонентами вектора
деформаций
,
u
xx
),,( wvu соотношениями
,yyv
,zzw
,2
vu
xyxy
wu
Индекс снизу у компонент вектора деформации означает производную по соответствующей переменной.
Подставляя (315), (316) в уравнения равновесия получим систему
уравнений анизотропной упругости в перемещениях
2,
A
A
A
36 xy
A
A
A
16
26 xy
46 xy
56 xy
66 xy
z
xz
xz
xz
xz
,...,,
,2
xzxz
(315)
y
,2
,2
,2
,2
,2
– компонен-
xyyx
.2
wv
yzyz
(316)
FAu
111xx
FAu
uA
261xx
xy
61
uA
zx
51
uA
xy
21
uA41
zx
513
uA
xy
41
uA
zx
31
)(
65 xxxz
55 xxxz
wuA
)(
wuA )(
)(
wuA
)(
wuA
wuA )(
wuA
)(
wuA
)(
wuA
)(
wuA
16 xxxy
66 yxyy
56
26 yxyy
46
56 xxxy
46 yxyy
36
66 xxxy
)(
vuA
(317)
vuA
vuA
zxzy
vuA
zxzy
vuA
vuA
zxzy
,0)(
)(
vuA
vuA
,0)(
)(
vuA
)(
.0)(
wA
v
12
y
vA
yy
62
vA
zy
52
vA62
vA
uAF
xx
yy
22
vA42
zy
vA42
yy
vA32
zy
xz
13
63
wA
53
xy
23
wA
43
xyvA52
wA
43
wA
33
14 xyxz
wA
yz
64 yyyz
54 zyzz
zz
wA63
xz
64 xyxz
wA
zz
53
yz
zz
24 yyyz
yz
44 zyzz
wA
xz
54 xyxz
44 yyyz
34 zyzz
)(
wvA
wvA
wvA
wvA )(
wvA )(
wvA
wvA
15 xxxz
)(
)(
)(
wvA
)(
)(
45 zxzz
)(
wvA
)(
)(
65 yxyz
55 zxzz
25 yxyz
45 yxyz
35 zxzz
65
Найдем для (5.3) законы сохранения специального вида.
Законом сохранения для системы уравнений (317), назовем выражение вида
(,,,,, ) (,,,,, ) (,,,,, )
С xyzuvw D xyzuvw E xyzuvw
xyz
где
– некоторые функции от
i
венно равны нулю. Величины
12 3
FFF
123
,
x, y, z которые одновременно не тождест-
С, D, E назовем компонентами сохраняюще-
гося тока.
Замечание. Более подробно с законами сохранения и способами их
вычисления можно ознакомиться в главе 2 или в работах [8–13].
Ищем компоненты сохраняющегося тока в виде:
(318)
11
vv
zy
22
vv
,
zy
33
vv
zy
111
,
www
zyx
222
www
333
www
zyx
zyx
,
(319)
где
11
uuС
yx
22
uuD
ii
,...,
,
yx
33
uuE
yx
i
– некоторые функции только от x, y, z.
11
vu
xz
22
vu
xz
33
vu
xz
Подставим выражения (319) в (318). В результате получим полином
первой степени по переменным
uuuuu .,,...,
yyxyxxyx
www
Приравнивая
zzxzyz
,,,,,
в этом полиноме к нулю коэффициенты при производных и учитывая, что
ii
i
,,
...,
функции только от x, y, z получаем
11
16
1
61
1
66
55
26
1
45
1
66
1
2
3
1
2
2
2
2
3
,
AAA
AAA
AAA
35
AAA
56
51
46
3
,
3
,
3
,
2
3
1
3
2
12
1
62
1
54
1
15
1
53
1
64
1
6116
2
22
2
44
2
65
2
43
2
24
3
,
AAA
AAA
AAA
55
AAA
AAA
2124
42
3
,
34
3
,
3
,
33
3
,
44
2
3
,)()()(
AAAAAA
4156
66
13
x
x
1
5115
2
4165
AAAAAA
3
,)()()(
3155
23
21
31
32
12
13
23
1
5666
1
1266
1
1456
1
5264
1
1465
1
5513
1
5463
321
zyx
321
zyx
321
zyx
2
3645
2
2662
2
4664
2
1224
2
2564
2
4563
2
4423
,0
,0
,0
AAAAAA
AAAAAA
3
,)()()(
AAAAAA
4625
AAAAAA
4652
AAAAAA
3654
AAAAAA
3244
AAAAAA
3553
3443
3
,)()()(
3
,)()()(
3
,)()()(
3
,)()()(
4554
3
,)()()(
3
,)()()(
321
,0
zyx
321
zyx
321
zyx
321
zyx
321
zyx
321
zyx
Из этих соотношений получаем исключая
123233123233
,,,,,,,,,,,
123 1 2 3
AAA AA AA AA
11 61 51 16 61 66 21 56 41
()()() ,
xx y y y
AA AA AA f
15 51 65 41 53 41
123111
zzzyz
()()()
следующие уравнения:
,0
,0
,0
,0
.0
12333
,,,,,
(320)
123 1 2 3
AAA AA AA AA
16 66 56 66 12 62 26 52 46
()()() ,
xx y y y
AA AA AA f
56 14 64 46 54 36
123114
zzzyz
()()()
(321)
67
123 1 2 3
x
A
A
A
A
x
x
AAA AA AA AA
15 65 55 65 14 64 25 54 45
()()() ,
xx y y y
AA AA AA f
55 13 63 45 53 35
123117
zzzyz
()()()
(322)
AAA AA
66 26 46 66 56
()() ,
36 45 25 46
AAA AA
62 22 42 64 32
()() ,
AA AA f
24 12 32 44
AAA AA
64 24 44 63 54
()() ,
23 44 43 34
Дифференцируем (320) по
три выражения имеем
1
A
11 xx
A
61
A
56
3
A
)(
35
A
zz
A
21 xy
45
2
21
)(
xxxy
31
Аналогично из (323)–(328) получаем
1
A
16 xx
A
66
A
52
A
1
A
15 xx
A
65
A
54
3
A
)(
33
zz
44
2
A
26 xy
21
xxxy
31
)(
yxyz
2
A
25
21
xxxy
A
43
A
)(
A
32
y
A
)(
31
yxyz
123 1
yyy z
AAA f
123 1
yyy z
123 1
AAA f
12 1 2 3 3
xy z z z
12 1 2 3 6
xy z z z
12 1 2 3 9
xy z z z
23122
zzxz
23125
zzxz
yyy z
23128
zzxz
55 45 35
AAA f
54 44 34
64 24 44
()
()
()
AA f
AA f
(323)
(324)
(325)
(326)
,
(327)
,
(328)
.
x, (321) по y, (322) по z и складываем эти
A
41
2
A
26
A
55
A
46
2
A
22
21
45
24
yxyy
)(
2
yy
A
A
A
53
32
)(
A
yy
36
21
yy
)(
yxyy
31
zxzz
32
A
32
A
14
31
)(
zxzz
32
xyxz
A
34
21
)(
yxyy
xyxz
xyxz
31
1
A
51
3
A
yz
46
1
A
zx
15
)(
A
65
)(
A
56
3
A
yz
42
2
A
zx
)(
zxzz
24
A
vuA
55
A
44
1
zx
63
64
3
yz
A
13
)(
A
A
31
)(
xxxz
32
2
zy
25
zy
zxzy
23
+
21
zxzy
31
xxxz
A
34
,0)(
31
)(
xxxz
32
2
zy
vuA
zxzy
yxyz
A
zyzz
A
A
A
36
12
62
)(
35
14
)(
31 xy
16
)(
32
zyzz
3
y
1
3
xy
1
A
32
3
1
xy
A
66
xy
A
54
xy
64
zyzz
yyyz
)(
32
+
+
)(
+
,0)(
+
)(
yyyz
+
(329)
(330)
3
zz
+
+
)(
yyyz
+
.0)(
(331)
68
Имеет место теорема.
Теорема. Функции
i
3,2,1, i
есть произвольное решение системы
уравнений (330)–(331), при этом если матрица коэффициентов упругости
A
симметрична, т. е.
ij
AA
, то
jiij
i
3,2,1, i
произвольное решение исход-
ной системы уравнений (317).
3.6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ
УРАВНЕНИЙ АНИЗОТРОПНОЙ УПРУГОСТИ
Из формул (323)–(328) следует
Для решения уравнения (332), относительно девяти неизвестных
211
,,,
из [13]
В результате получаем
где L
– аналог вихревой линии;
i
211
,,,
321112
),,,(),,(
(, ,)( , , ).rot f f f
211
,,
воспользуемся, например, формулой (5.33)
fffrot
211 789
654112
),,,(),,(
fffrot
(332)
,rot
()
Г
i
4
dr r
i
L
i
)(iГ
– конечная циркуляция вихревой
,
(323)
3
r
трубки вокруг вихревой линии. Эта циркуляция без труда может быть вычислена в точке пересечения вихревой линии с граничной поверхностью S,
которая будет описана ниже.
Постановка первой краевой задачи. Пусть имеется гладкая по-
верхность S на которой заданы компоненты вектора деформации
),,,(|
где
|(,,),
uuxyz
,,uvw – заданные гладкие функции.
00 0
0
S
0
S
),,,(|
zyxvv
0
S
zyxww
(324)
Используя (323) и (324) можно найти все компоненты сохраняющегося тока.
Задача о построении законов сохранения вида (318) для уравнений
анизотропной упругости (317) полностью решена.
69
Рассмотрены уравнения нелинейной теории упругости, в предположении, что компоненты вектора деформаций зависят только от двух пространственных координат, каждая от двух своих координат. В результате
получена система трех дифференциальных уравнений на три касательных
компоненты тензора напряжений. Построенная система может быть использованы для описания упругого кручения параллелепипеда вокруг трех
ортогональных осей. Показано, что решение этой задачи, в напряжениях,
зависит от трех произвольных функций, каждая из которых зависит только
од двух пространственных переменных.
В линейной теории упругости, в силу линейности дифференциаль-
3.7. ОБ УПРУГОМ КРУЧЕНИИ ВОКРУГ ТРЕХ ОСЕЙ
ных уравнений, построено достаточно много точных решений. Их
можно
найти, например, в [1; 2] и цитируемой там литературе. Точные решения
построены Б. Д. Анниным, Б. Г. Галеркиным, П. Ф. Папковичем, Е. Трефтцом и некоторыми другими исследователями. Эти решения, как правило,
обладают одним недостатком: их трудно использовать для описания упругого состояния тел конечных размеров. В предлагаемой работе построено
решение, описывающее, кручение параллелепипеда конечного размера
вокруг трех ортогональных осей, причем рассмотрен не только случай линейной теории упругости, но и случай нелинейной упругости.
Постановка задачи. В первой части приведем систему уравнений
нелинейной упругости, которая может быть решена только в компонентах
тензора напряжений. Эта система может быть использована для описания
упругого напряженного состояния параллелепипеда скручиваемого вокруг
трех ортогональных осей.
Пусть x = x
w – компоненты вектора деформаций,
, y = x2, z = x3 – ортогональная система координат, u, v,
1
– компоненты тензора дефор-
ij
мации,
– компоненты тензора напряжений. В стационарном случае,
ij
а только он и будет рассмотрен, компоненты тензора напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия
ji
iji
.3,2,1,,0
(325)
По повторяющимся индексам предполагается суммирование. Компоненты тензора напряжений и тензор деформации связаны обобщенным
законом Гука
где
– символ Кронекера, λ
ij
2
ijiiijij
),(21II
,
),(
II
– некоторые заданные неот-
21
(326)
рицательные функции, которые зависят от первого и второго инвариантов
2/1
тензора деформации
II
21
70
)(,
. Предполагается, что функции
ijijii
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]