Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

допускает, в смысле С. Ли, алгебру Ли размерности 10. Показано, что про-









странственное двумерное деформированное состояние это есть суперпозиция плоского напряженного состояния и пластического кручения вокруг оси z. Построены два инвариантных решений уравнений, описывающих пространственное двумерное деформированное состояние.

Первое решения можно использовать для описания пластических течений между двумя жесткими плитами, которые сближаются с разными скоростями.

Второе решение служит для описания напряженно-деформированного состояния материала внутри плоского канала, образованного сходящимися плитами.

В название пункта вынесено понятие «пространственное двумерное решение». Механикам известно плоское деформированное состояние – это случай, когда в двумерной декартовой системе координат две компоненты вектора скорости деформации и гидростатическое давление зависят от

., y

Известно также плоское напряженное состояние – это когда компо-

ненты тензора напряжений не зависят от

равны нулю, а компоненты

yzxzz

xyyx

В нашем случае все компоненты тензора напряжений не зависят от

, именно такой случай мы и назвали пространственным двумерным со-

стоянием.

Система пространственных уравнений пластичности в декартовой системе координат

,1xx 

,2yx 

в стационарном случае имеет вид

, + (453)

здесь

,1uu 

рицательная функция; ks – постоянная пластичности;

– компоненты тензора и девиатора тензора напряжений;

ijij

wu 

,2vu 

– компоненты вектора скорости деформаций;  – неот-

 – гидростатическое

давление, по повторяющимся индексам проводится суммирование.

Исключая из системы уравнений (453) компоненты девиатора тензора напряжений, получаем следующую нелинейную систему уравнений

p 

.,0,

eeAuuee

(454)

mnmniinmjmnijijji

Известно, что система уравнений (454) имеет эллиптический тип. Опишем известные решения этой системы.

Решения этой системы построены Р. Хиллом в 1948 г. [1], В. Прагером в 1954 г. [2] и Д. Д. Ивлев в 1960 г. [3; 4], М. А. Задояном в 1964 г. [6–8], а также авторами данной книги [9–13]. Отметим также ряд точных решений, построенных Б. Д. Анниным [14], для уравнений пластичности в пространственном случае с условием текучести Треска.

111

Симметрии системы (454). Группа точечных симметрий системы





















уравнений (2.2) порождается следующими операторами

преобразования

 ,

Tx x

12 3

Zx x

12 3xx

Операторам

xa ',

iii

Zx x

31 2xx

XYNM

uub 'exp,

Y  ,

uu

,,,

iii

Tx x

23 1



соответствуют следующие непрерывные

 ,

Zx x

23 1xx

uu S

 

uu p

xa'exp,



Tx x

31 2



uu b

1, 2, 3i



(455)

1, 2, 3 .i 

Это переносы по координатам и компонентам вектора скоростей деформации, а также растяжения.

Преобразования няется при жестких перемещениях

',uuс x

2213

',uuс x

3321

Группы порождаемые операторами динатных осей

'cosxx

22 1

'cosxx

33 2

'cosxx

11 3

показывают, что система уравнений (454) не ме-

',uuс x

3312

',uuс x

2231

sin ,x



'sinxx

321

'sinxx

132

'sinxx

213

',uuс x

1123

'.uuс x

1132

– это вращения вокруг коор-







cos ,x 

cos ,x

cos .x 

Последнее преобразование описывает инвариантность гидростатического давления относительно сдвигов

Во всех этих формулах

'.ppd



,,, ,

abc d

iii i

групповые параметры, обычно

предполагается, что они непрерывно меняются в окрестности нуля.

Проведенные исследования показали, что все построенные решения Р.Хиллом, В. Прагером, Д. Д, Ивлевым и М. А. Задояном суть инвариантные, решения относительно некоторых одномерных подгрупп точечных преобразования порождаемых операторами (455). Инвариантность здесь означает, что решения не меняются при некоторых преобразованиях, порождаемых группой симметрий (455). Так решение Р. Хилла инвариантно относительно подалгебры порожденной оператором

2CS X Y T

0111

решение Д. Д. Ивлева инвариантно относительно подалгебры

112

2CS X Y





































011

aS X T T

11 2

, решение Прагера инвариантно относительно подалгебры

, решение Задояна инвариантно относительно этой же

подалгебры. О чем говорит этот факт? Он говорит о том, что фактически все эти решения «двумерны», т. е. в подходящей системе координат их можно записать как функции только от двух независимых переменных. Это же можно сказать и о решениях построенных авторами этой работы. Тогда возникает вопрос: что надо понимать под пространственным решением? Исходя из приведенных здесь решений, ответ получается такой: пространственные решения это такие решения, которые имеют три компоненты вектора скорости, давление, фактически зависящие от двух переменных в подходящей системе координат. Эти решения являются инвариантными решениями ранга 2. В этом случае задача поиска пространственных решений может быть формально поставлена так: построение новых инвариантных решений ранга 2 для пространственных уравнений идеальной пластичности. Вид таких решений можно без труда перечислить, если перечислить все различные, с точностью до внутренних автоморфизмов, одномерные подалгебры алгебры (455).

Подалгебры на которых можно построить инвариантные решения ранга 2 существует несколько. Перечислим их

,, ,, ,

SXZ SMNSNYSZ NYS

          

311 11 1

ZNMSXZMS

     

111

XY TSXZTSMNTS

  

11 1 111 1

,,,

(456)



111 1

Здесь

ZY T SX X T T S

  

11 1 1 2 2 3

XZY T S

,,

– произвольные постоянные, разным значениям этих постоян-

ных соответствуют не подобные подалгебры.

В этой работе рассмотрим только решения инвариантные относительно подалгебры

.XS

Замечание. Другие решения, построенные на подалгебрах (456),

а также вид всех инвариантных решений, которые могут быть построены для системы уравнений (454) можно найти в [11].

Решения, инвариантные относительно этой подалгебры, следует искать в виде



.),(),,(),,(),,( zyxppyxwwyxvvyxuu

(457)

Подставляя соотношения (457) в систему уравнений (454) получим







,0

xyyxx

)(

 ,6)(6)(



)(



,0

yyxyx





yzyxzx



,0 vu

k

(458)

22222

syzxzxyzy

,upxx

,vpyy



113

),(2 uv

yxxy

,2 w



xxz



.2 w

yyz

Сделаем замену переменных в (458) по следующим формулам































































),2cossincos3(

 k



 k



(459)

,2sinsin

Здесь

10, 

– некоторая постоянная.

Подставляя эти соотношения в(2.6) получаем



 )2cossin3cos(



 )2cossin3(cos





yzyxzx

,upxx



),(2 uv

yxxy

,0 vu

,vp

,2 w

xxz



 2sinsin3



 2sinsin3



syzxz



Kkk



.2 w



yyz

,0sin2 

(460)

22222

Из (460) видим, что исходная система распалась на две подсистемы: два первых уравнения по сути совпадающими с уравнениями, описывающими плоское напряженное состояние





 )2cossin3cos(



 )2cossin3(cos

 2sinsin3 ,0sin2 



 2sinsin3



(461)

,0sin2 

и уравнениями, напоминающими уравнения, описывающими пластическое

0

кручение стержня, при

и другом пределе текучести





yzyxzx



syzxz

22222

Kkk



(462)

Решая уравнения (461) и (462), можно найти компоненты тензора напряжений, при этом

деление постоянной



Единственная проблема – это опре-

).(2/1

yxz

Для определения компонент вектора скорости получаем следующие уравнения



 )(



























vv

.)(





Отметим, что последнее уравнение при правой части не равной нулю до их пор недостаточно исследовано, оно даже не вошло в справочник [15].

В итоге получилось, что решение системы уравнений (462) это фактически суперпозиция плоского напряженного состояния и пластического кручения вокруг оси

Приведем некоторые другие решения уравнений (462). Для этого найдем группу точечных симметрий системы уравнений (462).

114

Эта группа порождается операторами





























































xxT 

21 uu

Y 

X 

1 x

X 

2 y



Ищем решение инвариантное относительно подалгебры, порождаемой операторами

Решение следует искать в виде

Из уравнения несжимаемости получаем

Подставляем (464) в (462) и получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

U

,)'(



Из (465) имеем





xxZ 

213 xx

SYYTX

311



uM 

21 puu

Suu 



.)(2/

Cyyxv 



',' CWCyU

3,2,1i

(463)

).(),(),(2/),(

yPxpyWxwyVxvyUxyxu 

(464)

222222

).)'()'((6)1(26,0)'(

WUykW



(465)

,, CCC

Здесь

– произвольные постоянные.

321

Получаем

,/)('/'

CCyWU



2222





./,/),)')()(1((6)1(26

CCCCWyCyk

3243

Систему уравнений (465) удается свести к квадратурам, которые выражаются через эллиптические интегралы.

Построенное решение можно использовать для описания пластического течения слоя, сжимаемого жесткими плитами ортогональными оси oz.

),//( rvrup

22222

,6)(6)(

srzzrz

zr ,,

(4.66)

Запишем систему (454) в цилиндрической системе координат





,2 w



rzr



rzzrzr



,0 p

)(









rrrr



,0/1









,0/)(



)(



,up

)),/(/(2 rvrru



rrr















,0/2







k

0//



Ищем инвариантное решение на подалгебре

),(Uu

),(Vv 

115

rvru



, оно имеет вид

.ln)(),( rPpWw

(467)

Подставляя (467) в (466) получаем систему обыкновенных диффе-













































ренциальных уравнений













)(

),/'/( rVrUp 





)(









,)(

Здесь штрих означает производную по

,02



,'2

.0'





,/2 r



rzr





22222

,6)(6)(

k

srzzrz

,0 p

)),/(/'(2 rVrrU

(468)

Отсюда получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений





2222

.1)'()'(6,0)''(,)'(,))''((



WVUkWPVUVU

(469)

Система (469) решается полностью аналогично системе (466).

Найденное решение можно использовать для описания пластического течения в сходящемся плоском канале с жесткими и шероховатыми стенками.

Другие решения системы уравнений (469) можно найти в [11].

Вывод. В этом параграфе изучен класс уравнений, который назван

уравнениями, описывающими пространственное двумерное деформированное состояние. Для этих уравнений найдена группа точечных симметрий, допускаемая ими в смысле Ли. Показано, что двумерное напряженное состояние это есть суперпозиция плоского напряженного состояния и кручения вокруг оси z. Построены несколько инвариантных решений этих уравнений.

4.3. НОВЫЕ КЛАССЫ РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

АНИЗОТРОПНОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Динамические задачи – это наименее изученная область теории пластичности. Динамические задачи возникают в самых разных областях техники и науки, но сложность исходных дифференциальных уравнений не позволяет строить точные решения и корректно численно решать краевые задачи. Это еще в большей степени касается динамических уравнений анизотропной пластичности. Анизотропия уменьшает группу симметрий, допускаемую уравнениями, а, следовательно, и сужает количество инвариантных решений. Неплохо исследованы одномерные динамические задачи пластичности, но уже двумерные задачи вызывают непреодолимые математические сложности, из-за нелинейности основных уравнений, даже в изотропном случае. Изучение симметрий уравнений пластичности позволило построить некоторые точные решения. Наиболее известное ре-

116

шение построил Б. Д. Аннин, описывающее сжатие жесткими плитами пластического слоя из изотропного материала. Решение Аннина линейно по двум пространственным переменным, и в него входят произвольные функции времени. В предлагаемой работе также используются симметрии. В статье впервые вычислены точечные симметрии для динамических уравнений пластичности в анизотропном случае. Алгебра Ли, порождаемая найденными симметриями оказалась бесконечномерной. Это обстоятельство дало возможность применить методику построения новых классов нестационарных решений. Симметрии позволяют преобразовать точные решения стационарных динамических уравнений в нестационарные решения. В построенные решения входят произвольные функции и произвольные постоянные. План работы следующий.

1. По методике Ли-Овсяннникова вычисляется группа точечных

симметрий, допускаемая уравнениями анизотропной пластичности.

2. Строятся два класса новых стационарных инвариантных решений. Эти стационарные решения, с помощью преобразований, порождаемых точечными симметриями, преобразуются в новые нестационарные решения.

3. В заключение работы построено новое автомодельное решение нестационарных уравнений анизотропной пластичности, а решение Аннина обобщено на анизотропный случай. Приведенные в работе решения можно использовать для описания сжатия пластического материала между жесткими плитами, а также для тестирования программ, предназначенных для исследования анизотропных пластических задач.

В целом, теории пластичности посвящена обширная литература.

Это объясняется важностью и актуальностью рассматриваемых там задач.

нологических процессах использующих пластические деформации, при пробивании брони снарядом. В современных и классических статьях и монографиях [1–8], рассматриваются в основном статические задачи и изотропные материалы. Это связано не с тем, что динамические задачи не важны для приложений, а с тем, что не разработаны методы для решения динамических задач. Впервые пространственное решение динамических уравнений построил Б. Д. Аннин [11] в 1978 г. Это решение было линейно по пространственным переменным и содержало несколько произвольных функций зависящих от времени. Это решение было построено Б. Д. Анниным на основе изучения группы точечных симметрий, допускаемых системой уравнений динамической теории пластичности. Позднее на основе групповых свойств уравнений были построены точные решения некоторых плоских динамических задач [12]. С тех пор, до работы [15], новых решений видимо не появилось. Здесь авторы ссылаются на уникальный обзор [14]. Оказалось, что анизотропным динамическим уравнениям пластичности можно применить новый способ – преобразовать стациона

рные

решения идеальной пластичности в нестационарные, так же, как в [15].

117

Групповые свойства можно использовать для разных целей. Чаще





















всего они применяются для построения инвариантных решений. Это такие решения, которые не изменяются при непрерывных преобразованиях, допускаемых, в смысле Ли данной системой дифференциальных уравнений. Более подробно с инвариантными решениями уравнений пластичности и способами их построения можно ознакомиться, например, в [11] и цитируемой там литературе. В работах авторов [16–18] показано, как можно с помощью точечных симметрий деформировать точные решения и редуцировать одно точное решение в другое точное решение в случае плоских стационарных уравнений идеальной пластичности. В данной работе мы используем группу точечных симметрий для преобразования новых стационарных решений в новые нестационарные для трехмерных нестационарных уравнений пластичности. Впервые это было сделано для других решений в [15].

Постановка задачи. Пусть x = x

декартова система координат, u =

, y = x2, z = x3 – ортогональная

, v , w – компоненты вектора

скорости деформаций,

– компоненты тензора скоростей деформации,

– компоненты тензора напряжений. Компоненты тензора напряжений

и компоненты вектора скорости удовлетворяют уравнениям движения

 ivvv

ijiijjit

3,2,1,

По повторяющимся индексам предполагается суммирование. Девиа-

тор тензора напряжений и тензор скоростей деформации сосны

2/)(

vvep

,. ijjiijijij

где



– символ Кронекера; – некоторая неотрицательная функция,

Среда предполагается несжимаемой, поэтому имеет место уравнение

несжимаемости

. (472)

Система уравнений (460)–(462) замыкается условием пластичности

Мизеса



1111

2222

3333



1212

1313







aaapapapa

2323

(470)

(471)

(473)

где

– текущие параметры анизотропии.

Групповые свойства уравнений динамической теории пластичности

Вычислим группу точечных симметрий допускаемых уравнениями (470)–(473). Сделаем это по известной методике Ли-Овсянникова, которая уже применяется к уравнениям пластичности в [11]. Она порождается следующими операторами:

,)(,,



0 pxitt

118

tSxtMX

(474)











iii

,)()()(

tfxtftfT



piivixii

по i не суммировать,

Функции являются произвольными из класса . Поэтому операторы (474) порождают бесконечномерную алгебру Ли. Точка вверху

означает производную по переменной t.

Замечательным свойством точечных симметрий является то, что они решение системы (470)–(473) снова переводят в точные решения этой же системы. Пусть

исходные координаты, тогда они преобразуются

в новые координаты

с помощью преобразований, соответст-

вующих операторам (474)

, (475)

здесь

– групповые параметры, которые непрерывно меняются в некото-

рой окрестности нуля. Далее эти преобразования используем для построения новых решений системы (470)–(473).

Стационарные решения системы (470)–(473).

Поскольку система (470)–(473)допускает оператор

то можно

искать инвариантные решения этой системы, не зависящие от переменной t. Такие решения определяются из системы

2/)(



1111

2222





3333

vvep 

1212

, ,

,. ijjiijijij

1313







aaapapapa

2323

(476)

Система (466) проще, чем исходная система уравнений, поскольку имеет меньше независимых переменных, но ее решений, кроме тривиальных, насколько известно авторам, нет [1–3].

А. Будем искать инвариантное решение системы (476) относительно

двумерной подалгебры, порождаемой операторами Это решение следует искать в виде

(477)

Здесь A, B произвольные постоянные, а функции u, v, w, p определяются из системы (476). Подставляем соотношения (476) в (477). Имеем

(478)

Из (468) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций v, w

(479)

119

Введем новые искомые функции по формулам

Тогда система (479) запишется так

Из (481) получаем

Интегрируя это уравнение, получаем

. (480)

. (481)

где

Отсюда получаем

h =

(482)

Исследуем поведение функций, входящих в формулы (482).

Пусть монотонно возрастает от нуля до тонно возрастает от нуля до

меняется от до в этом случае

, ) моно-

. При этом изменяется от до

Теперь, в силу формул (482) становится понятно, как меняются компоненты тензора напряжений.

Это небольшое исследование позволяет интерпретировать полученное решение следующим образом. Имеются две жесткие шероховатые плиты

. Пластический материал продавли-

вается между ними. На плитах заданы касательные напряжения

Б. Будем искать инвариантное решение системы (476) относительно

одномерной подалгебры, порождаемой оператором решение будем искать в виде

(483)

120

Это

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.09.20262 Мб0Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем.pdf
#
06.09.2026476 Кб0Упражнения для глаз-1.pdf
#
11.08.2026476 Кб1Упражнения для глаз.pdf
#
15.08.20261 Мб0Упражнения по основам электроники.pdf
#
07.09.20261 Мб0Упражняйтесь! Ч.1. Практикум к учебному пособию «Сборник текстов для чтения на французском языке».pdf
#
08.09.20262 Мб0Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография.pdf
#
15.08.2026709 Кб0Ура, вперед! Военная песнь второй отечественной войны. Для голоса с фортепиано.pdf
#
07.09.20262 Мб0Ура, зима!.pdf
#
06.09.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3-1.pdf
#
09.08.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3.pdf
#
06.09.2026289 Кб0Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца. Учебное пособие-1.pdf