Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

На основе законов сохранения построим решений краевой задачи























для уравнений плоской теории упругости.

Известно, что





)1(4





0211



GyGxGGu )(



0212

,)(

GyGxGGv 

0211

GyGxGG 

есть решение системы уравнений (231).

Здесь

– произвольные гармонические функции, - коэффициент

Пуассона, который можно выразить через параметры Ламе.

Из (239) получаем

GG 

Пусть Положим



)ln(( xxG .0,ln))(



(

, yx

– произвольная точка области с гладкой границей Г.

),2/1)(



222

 Gryy

Тогда получаем









Из (233) по формуле Грина имеем

,)(

(239)

(240)

(241)







))(

Пусть теперь контур Г радиуса

Полагая в (242) вместо Г контур Г получим





)2((



Запишем уравнение окружности в параметрическом виде:

 yyxx

(243) запишется так



окружность











 dyuv

состоит из двух контуров – Г и окружности

)()(



 yyxx

xx 













cos2)2((



dsin)sin2



BdxAdydxdyBA )(



dxuv

20,sin,cos



vu 



Г окружность

, тогда второй из интегралов в формуле



))(2((

и с учетом соотношения (241),





)(,(2





.0))(



dcos)sin2

)2((





))(2((

vu 

.0))(

 dxuv

))2(







cos2)2((

(242)

(243)

(244)

В формуле (244) была использована теорема о среднем.



dxr







Окончательно из (244) получаем



)2((2





 )(2)2((















)(2)2((

 dy

))(2







)(2



).,(

Теперь в уравнениях (240) положим

122

.0,ln))(

 Gryy

В этом случае аналогичные рассуждения и вычисления дают формулу для



).,(

Имеем

Формулы (245), (246) позволяют вычислить

),(00yx

из области, если мы знаем значение этих функций на границе Г.

А так как

)2((2



 )(2)2((













 dx



)(2)2((

 dy



))(2



является решением уравнений (231), то мы получаем метод

)(2







).,(



в любой точке

для построения решений системы (231) по их граничным условиям.

А именно: пусть поставлена следующая краевая задача

Имеется область



, с границей Г. На Г заданы компоненты вектора

смещения

),,(|



yxuu

).,(|

yxvv

(247)

(245)



)ln(( xxG

(246)

Тогда, на основании формул (245),(246) решение задачи (247) для системы уравнений (231) можно записать в виде



)2((2









v ))(2

 dx



)(2)2((

v )(2

 dy





).,(00yxu



 )(2)2((



. (248)









)2((2





u ))(2

 dx



)(2)2((

v )(2

 dy







 )(2)2((







).,(

yxv

. (249)

000

Заключение. Найдены законы сохранения, зависящие от производ-

ных первого порядка и линейные по ним. Показано, что два коэффициента

при производных являются решениями уравнений упругости в плоском











































случае. Это позволило свести решение краевых задач в перемещениях к вычислению контурных интегралов по границе области. Предложенная методика без труда может быть обобщена на многосвязные области, а также на трехмерный случай.

3.2. ГРУППОВОЕ РАССЛОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

На основе группового расслоения: разложения системы на автоморфную и разрешающую системы, которые являются системами дифференциальных уравнений первого порядка. Построены бесконечные серии законы сохранения для разрешающей системы уравнений и автоморфной системы. Эти законы позволили решить краевые задачи для асимметричной теории упругости в двумерном случае. Решения эти построены в виде квадратур, которые вычисляются по контуру исследуемой области.

Предлагается следующая связь тензоров напряжений и тензора деформаций

,)2(

221111

1212

,)2(

(250)

112222

– компоненты тензора де-

где

– компоненты тензора напряжений;

формаций;



0,0 

– постоянные Ламе, то (250) есть классический закон

Гука для изотропного, однородного случая.

Подставляя (250) в уравнения равновесия, то в случае отсутствия массовых сил получаем

где



)2(,0)(

 )(

xyxy

vu,

– компоненты вектора деформаций, индексы внизу, если не указа-

xyxx

xyyy

(251)

,0)2(

но иное, означают производные по соответствующим переменным.

Групповые свойства уравнений асимметричных уравнений упругости в динамическом случае изучены в [7], там, в частности, показано, что система (251) допускает бесконечную группу точечных преобразований, порождаемую операторами

где

hhX 

(252)

,hh

– произвольное решение уравнений Коши- Римана

,021

.021xyhh

(253)

Сделаем групповое расслоение системы уравнений (251) по методу







































[1] на подалгебре, порождаемой (252). Для этого продолжим операторы (252) на первые производные. Имеем

hhXX 

vyux

hh 

(254)

vxuy

Дифференциальные инварианты для (251), с учетом (254), имеют вид

,1xI 

,2yI 

3 yx

vuI 

4 xy

vuI 

(255)

Тогда автоморфная система уравнений имеет вид



),,( yxvu

).,( yxvu

(256)

Напомним некоторые свойства автоморфных систем. Любое решение автоморфной системы может быть получено из одного решения этой системы с помощью преобразований, порождаемых оператором (252).

Подставляя (257) в (251) получаем разрешающую систему





,0)2(

(257)

Повторяя почти дословно рассуждения из [7], можно утверждать, что система (257) равносильна системе уравнений (251).

Поэтому построив решение системы (257) мы получим решение системы (251).

Пусть для системы (257) поставлена следующая краевая задача:

),,(|



),,(|

(258)

где L – некоторая гладкая замкнутая кривая.

Для решения этой задачи построим законы сохранения для системы уравнений (257).

В силу линейности системы (257) она будет иметь бесконечное число законов сохранения. В работе будут найдены только те законы сохранения, которые позволят решить краевую задачу (258).

Определение. Законом сохранения для системы уравнений (2.8) назовем выражение вида

где

– некоторые функции, которые не равны тождественно нулю од-

новременно;

yxA

BA,

– называются компонентами сохраняющегося тока.

),,,(

FFyxB

,0),,,(

(259)

Более подробная информация по построению законов сохранения для произвольных систем дифференциальных уравнений может быть найдена в главе 2 или в [8–10].

Предположим, что компоненты сохраняющегося тока имеют вид

































где

,bb

– некоторые функции от x, y.

Тогда из (259) получаем

Отсюда получаем

Из (259) следует

Пусть



aaA 

a

Syx ),(

, тогда из (259) следует

),2(





a











bbB 

(260)

b

.022yxba

(262)



BdxAdydxdyBA



BdxAdyBdxAdy

.)(

(263)

(264)

),2(





a

(261)

где

Syx ),(

, если функции A, B имеют особенности в этой точке. Вычислим

)()(:



 yyxx

– окружность радиуса вокруг точки

интеграл в правой части (264) для разных решений уравнений КошиРимана. Пусть













BdxAdy





yyxx







)()(





(265)

)()(

yyxx





dxdy

.))2(())2((

(266)

Подставляем (265) в (264) и сделаем замену переменных

 xx

,cos





 yy



BdxAdy

,sin

получаем











d)]cossin2))2(([

(267)

)],(),()2[(2

yxyx

0000

В формуле (267) устремили

0

и использовали теорему о среднем.

Теперь сделаем аналогичные вычисления, положив









)()(

yyxx









yyxx

)()(

В результате получим









































BdxAdy

).,(2

(268)

Формулы (267) и (268) позволяют, с учетом граничных условий (259) определить значения функций θ и ω в произвольной точке

Syx ),(

Теперь после восстановления решений разрешающей системы, найдем решения автоморфной системы, т. е. решения исходной системы уравнений (251).

Имеем

,0),(

yxvuF

.0),(

yxvuF

(269)

Здесь в правой части стоят известные функции. Найдем законы сохранения уравнений (269) в следующем виде

где

,,43aa

Имеем

Расщепляя систему уравнений (271) получаем

Отсюда получаем

Пусть для системы (269) поставлена следующая краевая задача:

143

caaA 



2143

,,, ccbb

– некоторые функции от x, y.

),,,( vuyxA



a

,033yxba





a

),,(|

yxuu

b

243

cbbB 





b



2144

ccba

yxyx

(273)

),,(|

yxvv

(270)

,0),,,(

 FFvuyxB

(271)



(272)

.,0





(274)

Рассмотрим закон сохранения в виде





BdxAdy







BdxAdy

(275)

Пусть решение уравнений (272) имеет вид









yyxx

)()(









(276)

yyxx

)()(

Подставляем (276) в правую часть (275), получаем





Пусть решение уравнений (273) имеет вид

Подставляем (278) в правую часть (275), получаем



деформации



В результате получаем формулы для вычисления компонент вектора













BdxAdy



BdxAdy



















yyxx

)()(





dxcvudycvu )()(









. (278)

)()(

yyxx





dxcvudycvu )()(

),(2)cossin()sincos(

yxudxcdyc

. (277)





),(2)sincos()cossin(

yxvdxcvudycvu

. (279)

,),(2



BdxAdyyxu





,),(2



BdxAdyyxv

(280)

где



 dxc





 dxc





Таким образом, получены новые бесконечные серии законов сохранения, которые позволили решить краевую задачу для разрешающей системы уравнений, а также для автоморфной системы. Все это позволило построить аналитическое решение краевой задачи для уравнений асимметричной теории упругости.

3.3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛАСТОСТАТИКИ

В параграфе построены новые законы сохранения для уравнений Ламе в трехмерном стационарном случае. При этом предполагается, что сохраняющийся ток закона сохранения линейно зависит от первых производных компонент вектора перемещений по пространственным координатам.

Законы сохранений для дифференциальных уравнений были введены Э. Нетер более ста лет назад. Она показала, что для систем дифференциальных уравнений, которые выводятся из вариационного принципа, точечные симметрии позволяют генерировать законы сохранения. Долгое время это служило основным методом построения законов сохранения. Позднее в работах А. М. Виноградова [9; 11] было показано, что законы сохранения

имеют двойственную природу по отношениям к симметриям и генериру-













ются симметриями только для уравнений, операторы линеаризации которых являются самосопряженными. Это позволило строить законы сохранения и для уравнений, которые не выводятся из вариационного принципа. Новая методика позволила существенно расширить возможности для построения законов сохранения, но законы сохранения практически не использовались для исследования и решения дифференциальных уравнений. А. М. Виноградовым и С. И. Сенашовым в 1987 г на конференции по Групповому анализу дифференциальных уравнений в г. Красноярске была выдвинута гипотеза, что законы сохранения можно использовать для решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Эта гипотеза основывалась на том, что законы сохранения по своей природе глобальны и лучше подходят для решения краевых задач, чем точечные симметрии. Первый такой результат был получен в работе [12] для уравнений двумерной теории пластичности. Позднее было показано, что законы сохранения можно использовать и для решения упругопластических задач. Ссылки и результаты по решению упруго пластических задач можно найти в работе [9]. Для уравнений линейной теории упругости законы сохранения, на основании теорем Нетер и их модификации были впервые построены в [3; 4].

Постановка задачи. Рассмотрим уравнения линейной теории упру-

гости в пространственном случае, в предположении, что массовые силы отсутствуют

11321

,0)())(()2(



Здесь

– упругие постоянные Ламе,



uuuuuF

zzyyxzxyxx

22312

uuuuuF

zzxxyzxyyy

33213

uuuuuF

yyxxyzxzzz

)3,2,1( iu

компоненты вектора

(281)

,0)())(()2(



.0)())(()2(



деформации, индекс внизу означает производную по соответствующим переменным.

Определение. Законом сохранения для системы уравнений (281) на-

зовем выражение вида

где



CBA ,,

– называются компонентами сохраняющегося тока;

zyx

FFFCBA

(282)

332211

)3,2,1( i

–

некоторые линейные дифференциальные операторы, одновременно не равные тождественно нулю.

Замечание. Более общие и точные формулировки определения зако-

нов сохранения и методов их вычисления, подходящие и для других систем дифференциальных уравнений можно найти в главе 2 и работах [8–11] и цитируемой там литературе.

В этой работе мы будем предполагать, что компоненты сохраняюще-

zyx



zyx



гося тока имеют следующий вид

где от

от

)2(





В этом случае

111111

uuuwA



zyx

111111

ucubuaB 

zyx

111111

uDuBuAC 

zyx

iiiiiiiiii

DBAcbaw ,,,,,,,,,

)3,2,1( i

тоже будут некоторыми функциями

222222

uuuw



 ,

zyx

222222

ucubua  ,

zyx

222222

uDuBuA 

zyx

)3,2,1(i

– функции зависящие только

uuuw

ucubua

1333333





2333333





zyx

(283)

3333333

zyx



zyx

uDuBuA

Законы сохранения для систем (281). Будем искать сохраняющийся ток для системы уравнений (281) в форме (282). Для этого подставим (281) и (283) в (282) получим, после некоторых преобразований и исключения

, следующие выражения

31322331

,)(,,)(



 wAAcwA

(284)

32311232

,)(,,)(



cwBcBcwB 

(285)

221133

,,,)2(

wDwDwD







111





zyx



222





xyz



www

111



yzx

2212

,0)(





zyyx

2232

cww



zxzy

(293)

3313

,0)(





zyzx

(286)

33212121

,,)(,)(



 awawa

(287)

332211

,,)2(,

wbwbwb

(288)

13121

,0)()()2(





zzyyx

(289)

(290)

(291)

,0)()2(



(292)

(294)





zxzy

(295)

333

.0)2(



yzx

(296)

3323

,0)(



cww

Из уравнений (284)–(296) следует, что система уравнений (281) до-



–

пускает бесконечную серию законов сохранения вида (282). Выпишем в явном виде некоторые.

Дифференцируем первое уравнение (290) по y, а второе уравнение (290) по z. Получаем

111





zyyyxy

Продифференцируем уравнение (289) по x и сложим его с уравнениями (287), в результате получим

Аналогично из уравнений (291)–(293) получаем

А из (294)–(296) имеем

Из уравнений (298)–(300) следует, что решение системы уравнений (281).

В этом случае сохраняющийся ток имеет вид

)2(

111111

uuuwA





zyx



uuuw





111



yzzzxz



222222

zyx

(297)

11321

,0)())(()2(



wwwww

zzyyxzxyxx

22312

wwwww

zzxxyzxyyy

33213

wwwww

yyxxyzxzzz

321

,, www

(298)

.0)())(()2(



(299)

.0)())(()2(



(300)

– есть произвольное





uuuw

zyx

1333333

(301)

где ременные

Уравнения (302) можно кратко записать в виде

))((



))2((

321

,, www

– есть произвольное решение системы уравнений (281), а пе-

iii



)3,2,1(,, ic

удовлетворяют следующим уравнениям.

1111112

ucuwuwB 

zyx

uwucuwC





rot 





2333333





ucuwu

zyx

1111111

zyx

)2()(



))((



uwucwuw

zyx

uwuсwu





333332331

,)2())(())((



wcwcwww











(303)

2222322

zyx

11111132111

zyxyzxzyxzy



2222222

ucuwuw 

zyx

(302)

,,,)()()2(

22232222122

,,)()2(,)(

wcwwcww

zyxzyzxxyzy

33332333133

.)2(,)(,)(

wcwwcww

zyxyzzxxzzy

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.09.20262 Мб0Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем.pdf
#
06.09.2026476 Кб0Упражнения для глаз-1.pdf
#
11.08.2026476 Кб1Упражнения для глаз.pdf
#
15.08.20261 Мб0Упражнения по основам электроники.pdf
#
07.09.20261 Мб0Упражняйтесь! Ч.1. Практикум к учебному пособию «Сборник текстов для чтения на французском языке».pdf
#
08.09.20262 Мб0Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография.pdf
#
15.08.2026709 Кб0Ура, вперед! Военная песнь второй отечественной войны. Для голоса с фортепиано.pdf
#
07.09.20262 Мб0Ура, зима!.pdf
#
06.09.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3-1.pdf
#
09.08.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3.pdf
#
06.09.2026289 Кб0Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца. Учебное пособие-1.pdf