Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>















































aaaaaa



aaaaaa



363534333231 xyxzyzzyxz

aaaaaa



464544434241 xyxzyzzyxyz

565554535251 xyxzyzzyxxz

aaaaaa



666564636261 xyxzyzzyxxy

Уравнения (23) содержат в общем случае 36 коэффициентов

которые называются коэффициентами деформации. В общем случае эти коэффициенты могут быть некоторыми функциями, если тело является неоднородно упругим. В нашей работе мы будем предполагать, что они постоянны. Если предположить, что определитель системы (23) составленный из коэффициентов

отличен от нуля, то эти уравнения можно запи-

сать в эквивалентном виде



AAAAAA



161514131211 xyxzyzzyxx

262524232221 xyxzyzzyxy



363534333231 xyxzyzzyxz

(24)



AAAAAA

464544434241 xyxzyzzyxyz

565554535251 xyxzyzzyxxz

666564636261 xyxzyzzyxxy

36 коэффициентов

, входящих в уравнения (24) называются коэф-

фициентами упругости.

В силу симметричности тензоров деформации и напряжений, количество постоянных сокращается до 21, поскольку

).6,...,2,1,(  jiaa

jiij

В этом случае обобщенный закон Гука запишется так

aaaaaa







aaaaaa





161514131211 xyxzyzzyxx

aaaaaa

363534332313 xyxzyzzyxz

aaaaaa

262524232212 xyxzyzzyxy



464544342414 xyxzyzzyxyz

565545352515 xyxzyzzyxxz

665646362616 xyxzyzzyxxy

jiij

(25)

,AA

Или так



















































AAAAAA

161514131211 xyxzyzzyxx



AAAAAA

262524232212 xyxzyzzyxy

363534332313 xyxzyzzyxz

(26)



AAAAAA

464544342414 xyxzyzzyxyz

565545352515 xyxzyzzyxxz

665646362616 xyxzyzzyxxy

Основные случаи упругой симметрии

В случае, когда анизотропное тело обладает симметрией какого-либо рода, то в упругих свойствах его тоже наблюдается симметрия. Рассмотрим три случая возможных симметрий.

Плоская упругая симметрия. Предполагается, что имеется плос-

кость, проходящая через каждую точку тела, относительно этой плоскости свойства тела симметричны. В этом случае направляем ось OZ перпендикулярно плоскости симметрии и получаем

 aaaaaaaa

В этом случае число упругих постоянных ный закон Гука будет иметь вид







Тот же закон Гука, но разрешенный относительно компонент тензора напряжений

5635251546342414

сведется к 13. Обобщен-

aaaa





aaaa



aaaa

16131211 xyzyxx



26232212 xyzyxy

36332313 xyzyxz

(27)

4544 xzyzyz

5545 xzyzxz

aaaa

66362616 xyzyxxy

AAAA





AAAA



16131211 xyzyxx

26232212 xyzyxy

(28)















































































































AAAA

36332313 xyzyxz



Ортотропное тело. В этом случае тело имеет три плоскости уп-

4544 xzyzyz

5545 xzyzxz

AAAA





66362616 xyzyxxy

ругой симметрии, проходящих через каждую точку. В этом случае добавляются следующие условия

aaaa

45362616

Обобщенный закон Гука для ортотропного тела имеет вид

aaa



 (29)

131211 zyxx

aaa



44 yzyz

55 xzxz

232212 zyxy

332313 zyxz

66 xyxy

Этот же закон разрешенный относительно компонент тензора напряжений



AAA



44 yzyz

Изотропное тело. В этом случае все направления являются экви-

55 xzxz

(30)

131211 zyxx

232212 zyxy

332313 zyxz

66 xyxy

AAA



валентными, то получаем известный закон Гука для изотропного тела с модулем Юнга Е, коэффициентом Пуассона

EG

)1(2







,/))(( E

zyxx

zxyy

yxzz

,/))(( E

и модулем сдвига

(31)



,/ G

yzyz

,/G

xzxz

./ G

xyxy

Перепишем (2.6) в эквивалентном виде



































,2)(

11332211

– постоянные Ламе.

)1(2







,2)(

33332211

22332211

(32)

,2)(



Здесь





)21)(1(













Подставляя (32) в уравнения равновесия (14) получим классические уравнения изотропной теории упругости в перемещениях

(33)

где



321

),,(

wwwW 

– вектор перемещения;  – оператор Лапласа.

,0)(  WdivgradW

Добавляя в уравнения (33) инерционные члены получаем динамические уравнения линейной теории упругости





,)( WdivgradWW

(34)

Точно также подставляя соотношения (28), (29), (30) в уравнения (14) получаем уравнения анизотропной теории линейной упругости в перемещениях.

Заметим, что уравнения упругости можно записывать и в терминах напряжений. В изотропном случае, при отсутствии массовых сил, а именно такой случай мы и рассматриваем, имеем следующие уравнения

(35)

(36)

Здесь

;



оператор Лапласа, из (35) следует, что первый инвариант

0)(

332211

тензора напряжений есть гармоническая функция, а из (36), что все компоненты тензора напряжений есть бигармонические функции.

Найдем характеристики системы уравнений (34) [2].

Определение. Поверхность

0),,,(

zyxt

(37)

вместе с заданными на ней начальными данными называется характеристической поверхностью системы (34), если эти начальные данные совместно с системой (34) не дают определить на ней все производные первого порядка.

Характеристическая поверхность удовлетворяет уравнению

2222

)])(2([





zyxt

22222

.0)]([





zyxt

(38)

1.3. УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ



Сформулируем основные положения, которые можно положить в основу теории пластичности, более строго – математической теории пластичности.

Здесь мы будем рассматривать два подхода к описанию пластических деформаций:

Теорию пластического течения.

Деформационную теорию пластичности.

У каждой из этих теорий есть свои недостатки и достоинства. Об этом много написано литературе. Отметим только некоторые: деформационная теория более доступна для приложений, поскольку здесь устанавливаются зависимости между деформациями и напряжениями аналогично нелинейной теории упругости [3]. Считается, что теория пластического течения более правильно описывает реальные процессы, но решение конкретных упругопластических задач наталкивается на серьезные математические сложности. Сформулируем основные положения этих теорий.

Условие пластичности Треска

Это условие высказано инженером Треска, он предположил, что состояние пластичности наступает, когда максимальное касательное напряжение достигает некоторого значения постоянного для данного материала. Математически в пространственном случае имеем:

Здесь



321 s

– предел текучести при чистом сдвиге. Если в (39) все условия

132 s





213 s





(39)



выполнены со знаком неравенства, то тело находится в упругом состоянии, если тело находится в пластическом состоянии, то хотя бы в одном из условий должен быть знак равенства.

Условие пластичности Мизеса

Это условие имеет следующий вид

.2)()()(





(40)

Его можно записать в терминах компонент тензора напряжений

2222222

.6)(6)()()(





sxzyzxyxzzyyx

(41)

Для анизотропных сред используется обобщение закона текучести Мизеса (40), которое имеет вид [4]

Здесь

222222

.1)(2)()()(

NMLHGF

NMLHGF ,,,,,

– параметры характеризующие текущее состояние





xzyzxyxzzyyx

(42)

анизотропии.

Если к уравнениям равновесия добавить условие пластичности Треска или Мизеса, этих уравнений будет недостаточно для нахождения

всех компонент тензора напряжений: будем иметь четыре уравнения на









шесть искомых функций. Поэтому для замыкания системы уравнений потребуется конкретизация пластической среды.

Деформационная теория пластичности

Примем следующие исходные положения.

Тело изотропно.

Относительное изменение объема является упругой деформацией,

оно пропорционально среднему давлению



3/1,,3

. (43)

iiii

3. Девиаторы деформаций и напряжений пропорциональны





, (44)

где



– символ Кронекера;  – определяется из условия пластичности.

ijiiijij

Теория пластического течения (теория пластичности

Сен-Венана, Мизеса)

1. Тело изотропно.

2. Девиаторы тензора скоростей деформаций и напряжений пропор-

циональны

see





, (45)

где



– символ Кронекера;  – определяется из условия пластичности.

ijiiijij

1.4. УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧНОСТИ

Поскольку раннее рассмотрены два возможных варианта теории пластичности: теория пластического течения и деформационная теория, то соответственно будут рассмотрены и два варианта упруго-пластичности.

Теория упругопластических деформаций

Как и было сказано раннее, эта теория более доступна для приложений. В этой теории устанавливаются конечные соотношения между напряжениями и деформациями, которые во многом аналогичны физическим зависимостям нелинейной теории упругости.

Пока интенсивность касательных напряжений нигде не достигает предела текучести, тело пребывает в упругом состоянии. С возрастанием нагрузок в теле могут появляться пластические области, которые отделяются от упругой области поверхностью (упруго-пластическая граница)

const 

(46)

21G

При переходе через упруго-пластическую границу все компоненты тензора напряжений непрерывны. В силу уравнений (41) вытекает, что на поверхности раздела непрерывны и все компоненты тензора деформаций.

Теория упруго-пластического течения

В этом случае на упруго-пластической границе выполняется усло-







вие (41)

2222222

.6)(6)()()(





sxzyzxyxzzyyx

(47)

Так же как и в предыдущем случае при переходе через границу все компоненты тензора напряжений сохраняют непрерывность. В упругой

области здесь определены компоненты тензора деформаций ческой области – компоненты тензора скоростей деформации



, а в пласти-

Поэтому на границе должно выполняться равенство

. (48)

Последнее условие достаточно сложно удовлетворить при решении конкретных задач. Поэтому не удивительно, что упруго-пластические задачи в рамках теории течения ограничены случаем плоской деформации, либо задачами кручения. То есть там где можно не проверять условие (48) и решать задачи в рамках только напряжений.

1.5. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Для решения упругих, пластических и упругопластических задач следует добавить граничные условия. Пусть тело V ограничено поверхно-

стью S. Пусть упругую область,

SSS 

, где

часть поверхности, ограничивающая пластическую

– часть поверхности, ограничивающая

область.

Тогда на

обычно имеют дело с тремя краевыми задачами. Первая состоит в нахождении перемещений и напряжений внутри тела, находящегося в равновесии, когда на границе заданы перемещения. Вторая краевая задача состоит в нахождении перемещений и напряжений внутри тела, находящегося в равновесии, когда на границе заданы нагрузки. Наконец третья задача состоит в нахождении перемещений и напряжений внутри тела, находящегося в равновесии, когда на части границы заданы перемещения

, а другой части нагрузки



. При этом



eee

SSS





Граничные условия для первой краевой задачи записываются в виде

.3,2,1,),,(),,,(  iSzyxzyxfw

(49)

Здесь функции

izyxf

.3,2,1),,,(

предполагаются заданными.

Граничные условия для второй краевой задачи записываются в виде

Здесь



jiji

3,2,1,),,( jizyx

компоненты тензора напряжений,

компоненты внешней нормали к поверхности

3,2,1),,,( izyxp

предполагаются заданными на поверхности

.3,2,1,,),,(),,,(),,(),,(  jiSzyxzyxnzyxzyxp

(50)

. Функции



3,2,1jn

Замечание. В силу закона Гука, краевая задача (50) может быть



A

сформулирована в терминах функции перемещения, а именно в виде



Для уравнений теории деформационной пластичности все три крае-

вые задачи формулируются аналогично.

Для уравнений теории пластического течения первая краевая задача

формулируется так

Вторая задача будет иметь вид

Здесь

3,2,1jn

компоненты внешней нормали к поверхности

3,2,1),,,( izyxp

предполагаются заданными на поверхности



jiji

3,2,1,),,( jizyx

компоненты тензора напряжений,

1.6. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ ВОКРУГ ЗАДАННОЙ СИСТЕМЫ ВИХРЕЙ

.3,2,1,),,(),,,(  iSzyxzyxfu

(52)

.3,2,1,,),,(,)(),,(  jiSzyxnwnwwzyxp

(51)

.3,2,1,,),,(),,,(),,(),,(  jiSzyxzyxnzyxzyxp

(53)

. Функции



Пусть задано непрерывное распределение завихренности

),,(





и требуется найти скорости в области течения [5]. В этом

321

случае вопрос сводится к решению уравнения относительно

.Vrot

Введем в рассмотрение векторный потенциал

ром скорости

соотношением

(54)

, связанный с векто-

ArotV 

, (55)

при этом подчиняем векторный потенциал дополнительным условием

.0Adiv

(56)

В этом случае уравнение (56) превращается в следующее

где



– оператор Лапласа.

, (57)

Уравнение (57) есть векторный аналог уравнения Пуассона, его ре-

шение можно записать в виде

),,(

vvvV 

321

где объема













(58)

– радиус вектор текущей точки M по отношению к элементу

.d

Согласно (55) получим искомое значения вектора скорости



rotV



Рассмотрим случай, когда вихревая трубка окружает вихревую нить

с конечной циркуляцией Г.

Пусть

элемент нити, ориентированный в ту же сторону, что и ,

тогда используя замену

получаем из (6.6) следующую формулу



rot





Поскольку

rot 

и учитывая, что

)( rd

,0)( rdrot

из (60) получаем

V .)1(

grad















(59)



rot



gradrdrot



,rГddrddsdd 

(

(60)

,)1()(

(61)

Формулу (61) можно еще упростить, учитывая, что

Это приводит к следующей формуле

Последняя формула есть аналог известной из электромагнетизма

формулы Био–Савара.

1. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М. : Нау-

ка, 1977. 416 с.

Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4, ч. 2. М. : Наука,

1981. 550 c.

Задоян М. А. Пространственные задачи теории пластичности. М. :

Наука, 1992.

Хилл Р. Математическая теория пластичности. М. : ГИТТЛ, 1956. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М. : Наука, 1975.

grad 

)1(

V .

gradr

rdГ







(62)

Библиографические ссылки

Глава 2

















ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

В этой главе будут введены основные понятия группового анализа и законов сохранения для понимания дальнейшего. Параграфы 1–4 этой главы написаны на основе монографий [1–5].

2.1. ВВЕДЕНИЕ В НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ ЛИ

Многообразия. Многообразием можно неформально назвать гео-

метрический объект, имеющий локальное строение пространства

, в этом случае m – размерность многообразия. Точное определение этого по- нятия можно найти в многочисленных современных учебниках по дифференциальной геометрии [6].

Пусть поверхность М размерности k в пространстве

задается на-

бором уравнений

(63)

причем ранг матрицы

сти





xxf ,,...,1 kni

nii





 







 



,0,...,

равен

. М – многообразие размерно-

Замечание. Почти всегда под термином многообразие будем пони-

мать поверхность, задаваемую выражением вида (63).

Гладкое многообразие

касательное пространство имеет размерность

Кривой в многообразии М, проходящей через точку

ется непрерывно дифференцируемое отображение крытый интервал из кривые

касаются друг друга в точке х, если они имеют одинаковые

R, содержащий точку 0, причем

М размерности m в каждой точке



. Это пространство является линейным и

:



x0

 имеет

 , называ-

, где I – от-

. Говорят, что

производные в одной, а значит, и во всех системах координат, заданных вблизи

х. Понятие касания кривых не зависит от выбора системы коорди-

нат и задает отношение эквивалентности между кривыми, проходящими через точку

Определим

х.

касательный вектор к кривой

в точке х как класс экви-

валентных кривых. Множество касательных векторов, проведенных ко всевозможным кривым, проходящим через точку



пространство

многообразия М в точке х

, которое называется касательным пространством

. Если многообразие М имеет размерность m,

х, порождает векторное

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.09.20262 Мб0Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем.pdf
#
06.09.2026476 Кб0Упражнения для глаз-1.pdf
#
11.08.2026476 Кб1Упражнения для глаз.pdf
#
15.08.20261 Мб0Упражнения по основам электроники.pdf
#
07.09.20261 Мб0Упражняйтесь! Ч.1. Практикум к учебному пособию «Сборник текстов для чтения на французском языке».pdf
#
08.09.20262 Мб0Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография.pdf
#
15.08.2026709 Кб0Ура, вперед! Военная песнь второй отечественной войны. Для голоса с фортепиано.pdf
#
07.09.20262 Мб0Ура, зима!.pdf
#
06.09.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3-1.pdf
#
09.08.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3.pdf
#
06.09.2026289 Кб0Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца. Учебное пособие-1.pdf