Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография
.pdf
Построение упруго-пластической границы
для стержня прямоугольного сечения
Координаты точек: А(–2.0;–1.0)
B(2.0;–1.0) C(2.0;1.0) D(–2.0;1.0). Пара-
метр, характеризующий кручение –1.4
Координаты точек: А(–2.0;–1.0)
B(2.0;–1.0) C(2.0;1.0) D(–2.0;1.0). Пара-
метр, характеризующий кручение –1.8
Координаты точек: А(–2.0;–1.0)
B(2.0;–1.0) C(2.0;1.0) D(–2.0;1.0). Пара-
метр, характеризующий кручение –1.6
Координаты точек: А(–2.0;–1.0)
B(2.0;–1.0) C(2.0;1.0) D(–2.0;1.0). Пара-
метр, характеризующий кручение –2.0
171
Для стержня сечения типа крест
Координаты точек: А(–1.0;–3.0)
B(1.0;–3.0) C(1.0;–1.0) D(3.0;–1.0)
E(3.0;1.0) F(1.0;1.0) G(1.0;3.0)
H(–1.0;3.0) I(–1.0;1.0) J(–3.0;1.0)
K(–3.0;–1.0) L(–1.0;–1.0). Параметр,
характеризующий кручение –0.4
Координаты точек: А(–1.0;–3.0) B(1.0;–3.0)
C(1.0;–1.0) D(3.0;–1.0) E(3.0;1.0) F(1.0;1.0)
G(1.0;3.0) H(–1.0;3.0) I(–1.0;1.0) J(–3.0;1.0)
K(–3.0;–1.0) L(–1.0;–1.0). Параметр,
характеризующий кручение –0.5
Координаты точек: А(–1.0;–3.0)
B(1.0;–3.0) C(1.0;–1.0) D(3.0;–1.0)
E(3.0;1.0) F(1.0;1.0) G(1.0;3.0) H(–1.0;3.0)
I(–1.0;1.0) J(–3.0;1.0) K(–3.0;–1.0)
L(–1.0;–1.0). Параметр,
характеризующий кручение –0.6
Координаты точек: А(–1.0;–3.0) B(1.0;–3.0)
C(1.0;–1.0) D(3.0;–1.0) E(3.0;1.0) F(1.0;1.0)
G(1.0;3.0) H(–1.0;3.0) I(–1.0;1.0) J(–3.0;1.0)
K(–3.0;–1.0) L(–1.0;–1.0). Параметр,
характеризующий кручение –0.7
172
Для стержня сечения типа тавр
Направление обхода Направление единичного
Координаты точек: А(–2.0;–4.0)
B(–1.0;–4.0) C(–1.0;–1.0) D(2.0;–1.0)
E(2.0;1.0) F(–1.0;1.0) G(–1.0;4.0)
H(–2.0;4.0). Параметр, характеризующий
кручение –0.5.
вектора
AB: nx = 0.0 ny = –1.0
BC: nx = 1.0 ny = 0.0
CD: nx = 0.0 ny = –1.0
DE: nx = 1.0 ny = 0.0
EF: nx = 0.0 ny = 1.0
FG: nx = 1.0 ny = 0.0
GH: nx = 0.0 ny = 1.0
HA: nx = –1.0 ny = 0.0
Координаты точек: А(–2.0;–4.0)
B(–1.0;–4.0) C(–1.0;–1.0) D(2.0;–1.0)
E(2.0;1.0) F(–1.0;1.0) G(–1.0;4.0)
H(–2.0;4.0). Параметр, характеризующий
кручение –0.7.
Координаты точек: А(–2.0;–4.0)
B(–1.0;–4.0) C(–1.0;–1.0) D(2.0;–1.0)
E(2.0;1.0) F(–1.0;1.0) G(–1.0;4.0)
H(–2.0;4.0). Параметр, характеризующий
кручение –1.0.
Координаты точек: А(–2.0;–4.0)
B(–1.0;–4.0) C(–1.0;–1.0) D(2.0;–1.0)
E(2.0;1.0) F(–1.0;1.0) G(–1.0;4.0)
H(–2.0;4.0). Параметр, характеризующий
кручение –1.3.
173
Для стержня сечения типа швеллер
Направление обхода Направление единичного
Координаты точек: А(–4.0;–3.0)
B(–3.0;–3.0) C(–3.0;2.0) D(3.0;2.0)
E(3.0;–3.0) F(3.0;–3.0) G(3.0;3.0)
H(–4.0;3.0). Параметр, характеризующий
кручение –0.1
вектора
AB: nx = 0.0 ny = –1.0
BC: nx = 1.0 ny = 0.0
CD: nx = 0.0 ny = –1.0
DE: nx = –1.0 ny = 0.0
EF: nx = 0.0 ny = –1.0
FG: nx = 1.0 ny = 0.0
GH: nx = 0.0 ny = 1.0
HA: nx = –1.0 ny = 0.0
Координаты точек: А(–4.0;–3.0)
B(–3.0;–3.0) C(–3.0;2.0) D(3.0;2.0)
E(3.0;–3.0) F(3.0;–3.0) G(3.0;3.0)
H(–4.0;3.0). Параметр, характеризующий
кручение –0.3
Координаты точек: А(–4.0;–3.0)
B(–3.0;–3.0) C(–3.0;2.0) D(3.0;2.0)
E(3.0;–3.0) F(3.0;–3.0) G(3.0;3.0)
H(–4.0;3.0). Параметр, характеризующий
кручение –0.5
Координаты точек: А(–4.0;–3.0)
B(–3.0;–3.0) C(–3.0;2.0) D(3.0;2.0)
E(3.0;–3.0) F(3.0;–3.0) G(3.0;3.0)
H(–4.0;3.0). Параметр, характеризующий
кручение –0.7
174
Для стержня сечения типа двутавр
Координаты точек: А(–3.0;–4.0)
B(3.0;–4.0) C(3.0;–3.0) D(1.0;–3.0)
E(1.0;3.0) F(3.0;3.0) G(3.0;4.0)
H(–3.0;4.0) I(–3.0;3.0) J(–1.0;3.0)
K(–1.0;–3.0) L(–3.0;–3.0). Параметр,
характеризующий кручение –0.8
Координаты точек: А(–3.0;–4.0) B(3.0;–4.0)
C(3.0;–3.0) D(1.0;–3.0) E(1.0;3.0) F(3.0;3.0)
G(3.0;4.0) H(–3.0;4.0) I(–3.0;3.0) J(–1.0;3.0)
K(–1.0;–3.0) L(–3.0;–3.0). Параметр, харак-
теризующий кручение –1.1
Координаты точек: А(–3.0;–4.0)
B(3.0;–4.0) C(3.0;–3.0) D(1.0;–3.0)
E(1.0;3.0) F(3.0;3.0) G(3.0;4.0) H(–3.0;4.0)
I(–3.0;3.0) J(–1.0;3.0) K(–1.0;–3.0)
L(–3.0;–3.0). Параметр, характеризующий
кручение –1.4
Координаты точек: А(–3.0;–4.0)
B(3.0;–4.0) C(3.0;–3.0) D(1.0;–3.0)
E(1.0;3.0) F(3.0;3.0) G(3.0;4.0) H(–3.0;4.0)
I(–3.0;3.0) J(–1.0;3.0) K(–1.0;–3.0)
L(–3.0;–3.0). Параметр,
характеризующий кручение –1.7
175
5.12. АНИЗОТРОПНАЯ АНТИПЛОСКАЯ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
Решена анизотропная антиплоская упругопластическая задача
о напряженном состоянии в теле ослабленном отверстием, ограниченном
кусочно гладким контуром. Приведены законы сохранения, которые
позволили свести вычисления компонент тензора напряжений к криволинейному интегралу по контуру отверстия. Законы сохранения позволили
найти границу между упругой и пластической областями.
Напряженное антиплоское состояние возникает в цилиндрическом
теле бесконечной длины под действием нагрузок, направленных по образующим цилиндра и постоянным вдоль образующих [1]. При этом
при достаточно большой нагрузке в теле имеются как упругие, так и пластические зоны. Как и в любой задаче подобного рода необходимо найти
заранее неизвестную границы, разделяющей упругую и пластическую
зоны. Отыскание такой границы не простая задача, но специфика упругопластических задач об антиплоской деформации состоит в том, что решение подобных задач проще, чем решение аналогичных упругих задач.
По-видимому, впервые этот факт отметил Г. П.Черепанов [1]. Упругопластическим задачам об антиплоской деформации посвящена обширная
литература, ее обзор можно увидеть, например, в [1]. Во всех статьях, в которых решаются задачи о напряженном состоянии в условиях антиплоской
деформации, существенно используют представление напряжений и смещений в упругой зоне в комплексном виде, при этом всегда рассматривается только изотропный случай. В предлагаемой работе решены задачи
о сложном сдвиге с помощью законов сохранения для анизотропной среды.
1. Основные соотношения.
Поля смещений и напряжений в рассматриваемом случае таковы [1]
Здесь
– компоненты вектора смещения; – ком-
поненты тензора напряжений;
правлена параллельно образующей.
В упругой зоне имеют место соотношения:
– уравнение равновесия
– закон Гука
здесь
– постоянные, называемые модулями упругости [17].
(672)
– декартовы координаты; ось на-
; (673)
(674)
176
Из (672), (674) следуют соотношения в упругой зоне
Из (673) и (676) следует, что
ных уравнений
где
В пластической области имеет место соотношение (673):
– условие текучести:
– уравнение Генки:
где
– постоянные, называемые коэффициентами анизотропии.
+
(675)
(676)
удовлетворяют системе линей-
, (677)
.
(678)
(679)
На границе упругой и пластической областей предполагается непрерывными напряжения и смещения.
2. Законы сохранения.
Законом сохранения для системы уравнений (677) назовем соотношение вида
(680)
где
– некоторые функции одновременно не равные то-
ждественно нулю.
Замечание. С более общим определением законов сохранения и их
использованием в механике деформируемого твердого тела можно ознакомиться, например, в главе 2 и в [4; 5; 12].
Для тех целей, которые поставлены в статье, вполне подойдет упрощенная формулировка в виде (12.9).
В случае (680), величины A, B называются компонентами сохраняющегося тока.
Предположим, что компоненты A, B имеют следующий вид
где
подлежащие определению.
(681)
– некоторые гладкие функции,
177
Подставим (681) в (680), в результате получаем
(682)
где индекс внизу означает производную по соответствующей переменной.
Из (12.11) получаем
(683)
Из (683), исключая
получаем
,
(684)
В силу соотношений (684) компоненты сохраняющегося тока имеют
вид
. (685)
Поскольку правая часть (680) равна нулю, то по формуле Грина получаем
(686)
где S область, ее кусочно гладкая граница. Все функции, входящие
в (686) предполагаются гладкими.
3. Упруго пластическая задача для произвольного отверстия
в случае, когда пластическая область охватывает все отверстие.
Пусть С кусочно гладкий контур, к нему приложена нагрузка
, (687)
где
– компоненты вектора нормали к контуру С. Контур пластиче-
ской области L полностью охватывает отверстие С.
В этом случае на контуре С, кроме условия граничных условий выполняется и условие текучести. Таким образом, на С имеют место два условия:
(12.17)
178
Из условий (12.17) находим компоненты тензора напряжений на контуре С:
В дальнейшем, для определенности в формулах (588) будем выбирать верхний знак.
4. Использование законов сохранения для нахождения компо-
нент тензора напряжений в области
Пусть точка лежит вне контура С. Построим окружность
. (688)
радиуса
с центром в точке M. Имеем .
Пусть D прямая соединяющая точку М с контуром С. Получаем замкнутый
контур, состоящий из окружности
, прямой D и контура С. Из (686) полу-
чаем
. (689)
Сумма второго и третьего слагаемых в (689) равна нулю, поскольку
интегралы вычисляются в разных направлениях. Окончательно из (689)
имеем
(690)
Преобразуем правую часть уравнения (690), введя параметризацию
. В результате имеем
. (691)
Пусть в (691)
Тогда из (691) получаем
Последнее равенство в (693) получено с использованием теоремы
о среднем при
Пусть в (691)
Тогда из (691) получаем
. (692)
(693)
, стремящемся к нулю.
. (694)
. (695)
179
Последнее равенство в (695) получено с использованием теоремы
о среднем при
, стремящемся к нулю.
Из формулы (691), а также из (693) и (695) получаем
(696)
Формулы (12.26) дают возможность найти компоненты тензора напряжений в любой точке
вне контура С. Это позволяет установить
границу между упругой и пластической областями. Если выполнено
условие пластичности
в точке то эта точка
принадлежит пластической области, если в точке выполнено условие
, то упругой.
Замечание. Установленные выше формулы позволяют решать упруго
пластические задачи, даже если пластический контур не полностью
охватывает контур С, лишь бы на контуре С было выполнено условие пластичности.
Библиографические ссылки
1. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. . Упруго-пластическая задача. Ново-
сибирск : Наука, 1983. 238 с.
2.
Галин Л. А. Плоская упруго-пластическая задача // ПММ. 1946.
Т. 10, вып. 3. С. 367–386.
3.
Арутюнян Н. Х., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. М. : Физ-
матгиз, 1963.
4.
Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий
изаконов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2001. 190 с.
5.
Сенашов С. И., Гомонова О. В., Яхно А. Н. Математические во-
просы двумерных уравнений идеальной пластичности / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2012. 137 с.
6.
Сенашов С. И. Черепанова О. Н., Кондрин А. В. Elastoplastic
Bending of Beam J. // Siberian Federal Univ., Math. & Physics. 2014. № 7(2).
P. 203–208.
7.
Сенашов С. И., Филюшина Е. В. Законы сохранения плоской тео-
рии упругости // Вестник СибГАУ. 2014. Вып. 1(53). С. 79–81.
8.
Сенашов С. И., Черепанова О. Н., Кондрин А. В., Филюшина Е. В.
Расчет напряженного состояния во внутренних точках упругопластического стержня постоянного сечения / Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013618484. 2014.
9.
Сенашов С. И., Черепанова О. Н., Кондрин А. В., Яхно А. Н., Фи-
люшина Е. В. Построение упругопластической границы, возникающей при
кручении прямолинейного стержня с сечением прямоугольной формы /
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]