Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография
.pdf
Решения этой системы построены Р. Хиллом в 1948 г. [1], В. Прагером
в 1954 г. [2] и Д. Д. Ивлев в 1960 г.[3; 4], М. А. Задояном в 1964 г. [6–8].
Вот такая была ситуация, когда один из авторов начал решать
поставленную задачу. Сначала была вычислить группу симметрий, допускаемую уравнениями (4.2). В это время, а это был 1975 год, методика вычисления групп симметрий для произвольных систем дифференциальных
уравнений была еще не до конца отработана. Если система не имела эволюционного вида, а к таким системам относились уравнения, описывающие несжимаемые среды, то вообще говоря, как стало понятно позднее,
нельзя было утверждать, что, удалось, найти всю группу симметрий.
Это относилось, в частности, к уравнениям Навье-Стокса, а также к системе (4.2). Понимание правильного алгоритма вычисления симметрий
для таких систем уравнений пришло после работ А. М. Виноградова и его
учеников [10]. Позднее группа симметрий для уравнений (4.2), а также для
уравнений Навье-Стокса были корректно пересчитаны и результаты, к счастью, совпали с теми, которые были вычислены не совсем корректным
способом.
Оказалось, что группа симметрий системы уравнений (425) порождается следующими операторами
X ,
,
Y
xi
i
xxT
321 uu
xxZ
321 xx
23
ui
i
,
23
uu
32 uu
,
xN
xi
i
,
xxT
132 uu
31
,
23
,
uM
i
ui
i
xxZ
132 xx
3,2,1
, (426)
,
xxT
31
213 uu
12
,
uu
13 uu
31
xxZ
213 xx
Операторам
преобразования
MNYX
,,,
ii
,'
axx
iii
12
соответствуют следующие непрерывные
,'
buu
iii
Это переносы по координатам и компонентам вектора скоростей
деформации, а также растяжения.
T
Преобразования
показывают, что система уравнений (424) не ме-
i
няется при жестких перемещениях
,'
xсuu
,'
3122
Группы порождаемые операторами
динатных осей
x
cos'xx
cos'xx
cos'
xx
122
x
233
x
311
21 puu
ii
,'
xсuu
2133
,'
xсuu
1322
,sin
13
,sin
21
,sin
32
,exp' axx
– это вращения вокруг коор-
Z
i
sin'
xx
sin'
xx
sin'
xx
Suu
12
ii
xсuu
3211
.'
xсuu
2311
123
231
312
.,
,exp' buu
i
x
x
x
3,2,1
.
,'
xсuu
1233
,cos
13
,cos
21
.cos
32
101
Последнее преобразование описывает инвариантность гидростатиче-
ского давления относительно сдвигов
.' dpp
Во всех этих формулах
dcba
,,,,
групповые параметры, обычно
iiii
предполагается, что они непрерывно меняются в окрестности нуля.
Проведенные исследования показали, что все построенные решения
Р.Хиллом, В. Прагером, Д. Д. Ивлевым и М. А. Задояном суть инвариантные, решения относительно некоторых одномерных подгрупп точечных
преобразования порождаемых операторами (426). Инвариантность здесь
означает, что решения не меняются при некоторых преобразованиях, порождаемых группой симметрий (426). Так решение Р.Хилла инвариантно
относительно подалгебры порожденной оператором
2 TYXSC
,
1110
решение Д. Д. Ивлева инвариантно относительно подалгебры
2 YXSC
, решение Прагера инвариантно относительно подалгебры
110
TTXaS
, решение Задояна инвариантно относительно этой же по-
211
далгебры. О чем говорит этот факт? Он говорит о том, что фактически все
эти решения двумерны, т. е. в подходящей системе координат их можно
записать как функции только от двух независимых переменных. Это же
можно сказать и о решениях построенных авторами этой работы. Тогда
возникает вопрос: что надо понимать под пространственным решением?
Исходя из приведенных здесь решений, ответ получается такой: пространственные решения это такие решения, которые имеют три компоненты
вектора скорости, давление, фактически зависящие от двух переменных в
подходящей системе координат. Эти решения являются инвариантными
решениями ранга 2. В этом случае задача Б. Д. Аннина может быть формально поставлена так: построение новых инвариантных решений ранга 2
для пространственных уравнений идеальной пластичности. Вид таких решений можно без труда перечислить, если перечислить все различные,
с точностью до внутренних автоморфизмов, одномерные подалгебры
алгебры (426). Это будет сделано ниже.
Замечание. Оказалось, что задачу Аннина решают не только инвари-
антные решения, но и решения не являющиеся инвариантными. В работе
[10] построено решение, описывающее пространственное течение параллелепипеда, скручиваемого вокруг трех ортогональных осей, которое не
является инвариантным. Это замечание существенно расширяет границы
для решения поставленной Анниным задачи.
Подалгебры на которых можно построить инвариантные решения
ранга 2 существует несколько. Перечислим их
,,,,
SYNSNMSZXSX
1111
11111
,,,
SMZXSMNZSYNZ
(427)
,,,
STNMSTZXSTYX
1111111
102
,,
STTXXSTYZ
3221111
Здесь
.
STYZX
1111
,,
– произвольные постоянные, разным значениям этих посто-
янных отвечают неподобные подалгебры.
Теперь, основываясь на (4.4) мы можем перечислить все решения
уравнений (424), которые «решают» задачу Б. Д. Аннина. Здесь для удобства введены цилиндрические координаты
zr ,,
координаты вектора ско-
рости в декартовых и цилиндрических координатах обозначаются так
.,,
wuvuuu
Эти решения имеют вид [11]. Для удобства приведем их
321
здесь.
SX
1. Инвариантное решение на подалгебре
3
следует искать
в виде
),,( yxuu
),,( yxvv
),,( yxww
.),( zyxpp
(428)
Замечание. Иногда, для удобства, подалгебры из (427) будут заме-
SX
няться на подобные. Это сделано в этом пункте. Здесь
SX
3
. В дальнейшем такие замены оговариваться не будут.
2. Инвариантное решение на подалгебре
1
SXZ
31
заменена на
следует искать
в виде
3. Инвариантное решение на подалгебре
),,(ruu
),,(rvv
),,(rww
следует искать
SNM
.,),(
zrpp
(429)
в виде
4. Инвариантное решение на подалгебре
виде
5. Инвариантное решение на подалгебре
кать в виде
uu
)0(
)0(
uxu
uxu
)0(
zruu
)0(
uu
rzrpp
),,(
),,(
),,(ln
,),(
vv
vv
),,( zrvv
,),(
),,(
vxv ),,(
),,(
ww
),,(
wxw
1
ww
),,( zrww
vv
),,(
ww
),,(
.//,ln),( zyzxxpp
(430)
.//,1,ln),( zyzxxpp
(431)
SYN
следует искать в
),,(
.//,ln),( zyzxxpp
(432)
SYNZ
следует ис-
11
.),(
zrpp
),,(
).exp(/,),(
(434)
(433)
103
6. Инвариантное решение на подалгебре
искать в виде
)0(
7. Инвариантное решение на подалгебре
искать в виде
8. Инвариантное решение на подалгебре
кать в виде
9. Инвариантное решение на подалгебре
кать в виде
10. Инвариантное решение на подалгебре
кать в виде
11. Инвариантное решение на подалгебре
искать в виде
12. Инвариантное решение на подалгебре
ет искать в виде
SNMZ
1
)0(
uu
),,( zruu
,exp),(
),,( zrvv
vv
rzrpp
)0(
)0(
,exp),( zruu
,exp),(zruu ,exp),(zrvv
,exp),(zrww
pp
zzrpp
)0(
,exp),( zyxuu
,exp),( zyxww
),,( zyfxu ),,( zygxzv
,),(
),,(ruu
xuu
),,(
rrvv
zvzzv
),,(rww
),,(ln
),,( zruu
),,( zfxyxzu
,),(
rzrvv
2
),,( zrww
,exp),(
ww
).exp(/,),(
(426)
.),(
(427)
33
,exp),( zrvv
.,),(
(428)
,exp),( zyxvv
.),( zyxpp
(429)
),,( yxhxyw
ywyyw
./,/,ln),( zyzxxpp
),,( zrww
),,(2/
zgxv
.,),( axyxzpp
2
zrpp
STYX
111
STXZ
331
STNM
1
),,(ln
111
zrpp
следует
.),(
(425)
,exp),(
SMZX
следует
,exp),( zrww
следует ис-
.),( xyxpp
(430)
следует ис-
.,),(
zrpp
(431)
следует ис-
(432)
STYZ
следует
.),(
(433)
STTXX
следу-
3221
),,(2/1
zhxw
(434)
104
STYZX
13. Инвариантное решение на подалгебре
1111
следует
искать в виде
),,(ruu
,),(
rrvv
14. Инвариантное решение на подалгебре
,),( zrww
)(
.,),(
zzrpp
11
(435)
STNMZ
сле-
дует искать в виде
)0(
)0(
),,( zruu
ruu ),,(/ln
),,(
rzrpp
,),(
rzrvv
vrrv
),,( zrww
rww
).exp(,/,),(
(437)
.),( zzrpp
(436)
),,(
Для поиска инвариантного решения соответствующего формулам
(418)–(437) следует компоненты вектора скорости деформаций и давления
подставить в систему уравнений (414) и найти искомые функции. Следует
отметить, что еще не все инвариантные решения вида (418)–(437) найдены
и поэтому задача о построении пространственных решений далека
от завершения.
Подведем некоторые итоги по решению задачи Аннина.
1.
Построены точные решения, описывающие спирально винтовые
пластические течения [11; 12].
2.
Построен новый класс решений, обобщающих решение Д. Д. Ив-
лева [11].
Построено новый класс решений задачи В. Прагера [9].
3.
В заключение этой части приведем новое решение задачи Р. Хилла [1].
Хилл предложил искать решение уравнений (413) в виде
222
yzxzzyyz
,6)(62,
(438)
где
,
f
xxz
,,
– безразмерные компоненты тензора напряжений, отнесен-
yzxzz
f
ные к пределу текучести, остальные компоненты тензора напряжений равны нулю;
f
– некоторая гладкая функция двух переменных, которая есть
решение уравнения
fCByAx
)(
y
.0
22
ff
yx
(439)
где
x
CBA ,,
– произвольные постоянные.
1
)(
fCByAx
x
22
ff
yx
y
1
Найдем некоторые решения уравнения (439). Рассмотрим только
случай, когда
.1,0 CBA
После дифференцирования и простых преобразований уравнение
(439) запишется в виде
2
ff
.0))(1(
xxy
(440)
105
fff2
xyyx
ff ))(1(2
yyx
Замечание. В современных справочниках по дифференциальным
уравнениям, такого уравнения нет [14].
Укажем некоторые новые точные решения уравнения (440).
здесь
arctgf
x
21
– произвольная постоянная.
y
22
fyxArcshf
ln,,
3
xch
.
ych
Уравнение (440) с помощью контактных преобразований Лежандра
,wy
,
– новые независимые переменные,
,),(),(
yxyxfw
где
,wx
– новая искомая функция;
w
записывается в виде
22
)1(
w
2
2
w
22
.0)1(
(441)
В отличие от (440) уравнение (441) является линейным, поэтому линейная комбинация его решений снова будет решением этого уравнения.
21
Пусть
щие решениям
где
,ww
суть два решения уравнения (441), например соответствую-
, ff
, тогда
]1,0[
– решение уравнения (440) при любых .
21
21
, (442)
12
)1( www
Пусть теперь
образования Лежандра переходят в
ное преобразование Лежандра получим, что образ
, ff
два решения уравнения (440), которые после пре-
21
21
,ww
. Тогда применив к (442) обрат-
w
, при любых
12
дает
новые решения уравнения (440). Тем самым из двух любых решений уравнения (440) можно получить бесконечное число решений этого уравнения.
.,,
Проиллюстрируем эту процедуру на решениях
fff
321
После применения преобразования Лежандра и использования формулы (442) получим следующие решения уравнения (441):
2
1
1
1
)
Arsh
2
22
22
(
1
ArthArth
22
22
),1
22
22
).1
),
w
23
a
w
12
a
w
13
a
)(ln1(
arctg)1(
arctg)1(
2
1
2
1
(ln
(
Arsh
ArthArth
Применяя к этим выражениям обратное преобразование Лежандра
получаем следующие серии новых решений уравнения (440), которые
записаны в параметрическом виде.
106
2
,
1
a
f
12
arctg)1[(
a
f
13
(ln
22
arctg)1[(
,()]
2
1
22
,)/()1(
Arthx
(
Arsh
1
22
22
Arthy
22
]1
artharthArthArth
;)/()1(
2
(
x
y
a
f
32
[
)(1(
Arsh
1
x
y
22
22
)(1(
)(1(
2222
)/(1
22
)/()1(
22
)/()1(
22
))1
(ln
2222
2222
1
1
Arth
Arth
22222
)),/(1
2222
),/(1
2222
);/(1
2
2
)],
ArthArth
,))/(1
.))/(1
Полученные решения описывают пластическое течение призматического стержня с постоянной формой поперечного сечения, который деформируется силами, приложенными на его краях. Если предположить,
что ось z параллельна образующей, а оси x, y лежат в плоскости поперечного сечения, то внешние нагрузки статически эквивалентны:
– продольной силе
22
13
dxdyffkZ
yx
;
– крутящему моменту
fdxdykdxdyyxG
– и изгибающему моменту с компонентами
xzyzz
2)(
22
,13
dxdyffykG
yxx
22
.13
dxdyffxkG
yxy
;
Законы сохранения уравнения (440)
Для нахождения законов сохранения уравнения (440) найдем сначала
алгебру Ли точечных симметрий, допускаемых этим уравнением.
Воспользовавшись методикой Ли-Овсянникова, получаем, что
алгебра Ли порождается следующими операторами
X
1 x
X
,
2 y
,
X
3 f
,
4 xy
107
,
yxX
5 fyx
fyxX
.
(443)
Замечание. Поскольку уравнение (440) можно линеаризовать преоб-
,
разованием Лежандра, то оно допускает и другие, не точечные, симметрии,
но здесь мы их указывать не будем.
Определение. Законом сохранения для уравнения (440) назовем выражение вида
2
).))(1(
ff
xxy
(444)
Здесь
функция
),(
ffA ),(
yxx
,,BA
не может быть тождественно равна нулю.
– некоторые гладкие функции, предполагается, что
ffB
yxy
ff ))(1((2
yyx
fff2
xyyx
Нетрудно показать, что уравнение (440) допускает вариационную
формулировку о минимуме функционала
Ldxdy
S
1
S
22
dxdyff
yx
.
По теореме Нетер, каждому оператору (443) соответствует закон сохранения. Укажем эти законы.
Оператору Х
соответствует закон сохранения
1
2
)/(
LfL
xx
yxy
;
0)/( LffL
оператору Х2 – закон
yxx
)/( LffL
2
yy
;
0)/(
LfL
оператору Х3 – закон
;
xx
)/( Lf
yy
0)/( Lf
оператору Х4
;
0)/)(( LfyfxffyL
0)/)(( LfxfyffyL
.
оператору Х
xyxx
5
xyxx
)/)(( LfyfxffxL
)/)(( LfxfyffyL
yyxy
yyxy
Укажем еще некоторые другие законы сохранения, которые вычислим непосредственно из формулы (444).
Расщепим уравнение (444) по вторым производным и исключая
функцию
где
получим два уравнения
22
BvAu
vu
.,
fvfu
yx
,0)1()1(
2
uvBBAu
,02))(1(
(445)
vuv
Из (4.33) следует, что уравнение (440) допускает бесконечную серию
законов сохранения. Укажем один из них.
108
Из уравнений (442) получаем
2
1
v
)
(
Пусть
2
2
1
u
)()1(
vBuB
. Подставляя это соотношение в (446) имеем
B
vv
2
uv
(
1
u
).
BB
(446)
2
uvu
обыкновенное дифференциальное уравнение
2
vvv
Оно сводится к гипергеометрическому уравнению Гаусса и одно
из его решений можно записать в виде
B
1
v
F
v
;2,0,3(
2
1
)
где
;2,0,3(vF
– гипергеометрический ряд.
2
Инвариантное решение вида (418). Решения инвариантные ищем
в виде
Подставляя соотношения (447) в систему уравнений (424) получим
,0
xyyxx
)(
yx
2
2
)(
zx
,upxx
yxxy
,0
yyxyx
yy
),(2 uv
xxz
Сделаем замену переменных в (448) по следующим формулам
.02)1(2)1(
BBvBv
1
),
2
.),(),,(),,(),,( zyxppyxwwyxvvyxuu
,
yzyxzx
,0
,vp
,2 w
p
z
.2 w
yyz
,0
vu
yx
22222
,6)(6)(
k
syzxzxyzy
(447)
(448)
Здесь
),2cossincos3(
x
kk ||0
– некоторая постоянная.
s
k
k
xy
y
,2sinsin
(449)
Подставляя эти соотношения в(448) получаем
)2cossin3cos(
,
yzyxzx
,vp
yy
z
x
)2cossin3(cos
y
yx
,0 p
,0 vu
yxxy
109
2sinsin3
y
2sinsin3
x
syzxz
),(2 uv
),2cossincos3(
k
22222
,
Kkk
xxz
,0sin2
y
x
,2 w
(450)
,0sin2
,up
xx
.2 w
yyz
Из (450) видим, что исходная система распалась на две подсистемы:
z
два первых уравнения по сути совпадающими с уравнениями, описывающими плоское напряженное состояние
)2cossin3cos(
x
2sinsin3
y
y
,0sin2
(451)
)2cossin3(cos
y
2sinsin3
x
x
,0sin2
и уравнениями, напоминающими уравнения, описывающими пластическое
кручение стержня, при
0
и другом пределе текучести
,
yzyxzx
syzxz
Kkk
22222
.
(452)
Решая уравнения (451) и (452) можно найти компоненты тензора напряжений, при этом
ределение постоянной
p
.k
).(2/1
Единственная проблема – это оп-
yxz
Для определения компонент вектора скорости получаем следующие
уравнения
vv
u
x
2
)(
yx
w
x
x
ww
v
y
2
22
yx
xy
y
yx
,
6
xy
w
y
22
ww
yx
.)(
В итоге получилось, что решение системы уравнений (418) это фактически суперпозиция плоского напряженного состояния и пластического
.
кручения вокруг оси
В этом пункте сформулирована задача Б. Д. Аннина о построении
точных пространственных решений уравнений идеальной пластичности
с условием текучести Мизеса. Приведены новые решения задачи Б. Д.
Аннина.
4.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВУМЕРНЫЕ РЕШЕНИЯ
Рассматривается стационарные пространственные уравнения идеальной пластичности с условием текучести Мизеса. Материал предполагается несжимаемым. Подробно изучен случай, когда все три компоненты
вектора скорости и гидростатическое давление зависят только от двух координат x,y. Для этого случая введено новое название – пространственная
двумерная система уравнений, чтобы отличить ее от общепринятых двумерных систем уравнений, когда от нуля отличны только две компоненты
вектора скорости и гидростатическое давление. Доказано, что система
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]