Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Найдем законы сохранения для уравнений из §4, 5, 6, 7.



















1. Уравнения, описывающие упругое кручение имеют вид (562) в бо-

лее удобных обозначениях

где

Пусть

iii



 



yzxz



.2,

– некоторые функции только от

Из (576) с учетом (577) и (578) получаем





,0

(577)









111



 vuA

222



 vuB

yx,

(578)

yxxx

212222211111

vuvuvvuuvvuu





xyyxyyyyxx

Здесь и далее индекс внизу, когда это не вызывает недоразумений, будет означать производную по соответствующей переменной.

Отсюда получаем

221





221



111



 vuA

211



 vuB

















определяются из



(579)

(580)

где





Или, после несложных преобразований

Следовательно, сохраняющийся ток имеет вид



 ,





есть решение системы Коши-Римана;







уравнения (579).

С учетом (580) закон сохранения можно записать в виде







211111



dxvudyvu 0



(581)

где Г – произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур.



Пусть ной контуром



, yx

некоторая точка, лежащая внутри области ограничен-

. Возьмем







yyxx











yyxx

(582)

151

Пусть











– окружность

Нетрудно показать что интеграл (581)





Вычислим интеграл по

Rxx 

,cos





 











В последнем выражении устремим среднем, получаем

Теперь из (583) имеем

Пусть теперь

Для этого случая вычислим интеграл по





),(









Ryyxx 

(рис. 5.3).

Рис. 5.3. Окружность

211111





dxvudyvu



 

, переходя к полярным координатам

sin

Ryy 





sincos

















cos

 



yyxx





 





211111



dxvudyvu



211111







dxvudyvu



sincossincos dRuddRRu

sin

yxudxvudyvu







dRv

 





.,2.



cossin







0R

и используя теорему о

211111











 





211111





dxvudyvuyxu





yyxx

(583)

(584)

(585)

152

Имеем в полярных координатах































Устремляя



 







 



cossin

0R

из последней формулы и (583) получим

),(











 







cos



Rxx

 





sincos

,cos



sincos





dRv

222122





dxvudyvuyxv



Ryy 



sin

 

Выражения (585) и (586) позволяют вычислить значения

sin





dRv



 

в любой

(586)

внутренней точке области окруженной контуром значения

на контуре

. Но

, поэтому на контуре Г

yzxz

, если нам известны

нам эти две величины не известны, а известна только величина

.0 ml

yzxz

поэтому формулы (585), (586) не позволяют вычислить значе-

ние компонент тензора напряжений внутри области, а значит решить задачу о кручении упругого стержня. Зато, как это будет показано далее, эти формулы дадут нам возможность решить более сложную упругопластическую задачу.

Замечание. Аналогичные формулы без труда получаются для уравнений антиплоской теории упругости, приведенные в §7.

2. Уравнения, описывающие изгиб бруса, имеют вид (572). Положим

в них

где

 ,

yzxz

Будем искать сохраняющийся ток для этой системы в виде

iii



– функции только от









 vuA  vuB

yx,





тогда имеем

111



222



(587)

(588)

Аналогично предыдущему пункту имеем



Отсюда получаем





После несложных вычислений имеем



 ,











vuvu

xyyx

121

2222211111



yxxx

vvuuvvuuBA



yyyyxxyx



121



153





















(589)

Следовательно, сохраняющийся ток имеет вид

































































где



– произвольное решение уравнений Коши–Римана;



 vuA



 vuB



опре-

(590)

деляются из уравнения (589).

Для тока (790) закон сохранения можно записать в виде









dxvudyvu 0



Поступая полностью аналогично с предыдущим пунктом, окончательно получаем

).(













211111





dxvudyvuyxu



222122





dxvudyvuyxv



Для этой задачи справедливы замечания предыдущего пункта.

3. Законы сохранения плоской теории упругости.

Найдем некоторые законы сохранения для уравнений, описывающих двумерные деформации упругих тел (573), здесь будем следовать работе [7]. Ищем сохраняющийся ток в виде







vvuuA

yxyx

1111

где



,,,,

– некоторые функции от

iiii

Из соотношения







Из (591) получаем



Подставляя (592) в (593) получаем

 







































 





,021















112

,02















vvuuB

2222 yxyx

., y

FFB



2111







,021

(591)

(592)

(593)

.021















,02









,02



154

или

































,02















.02



 









Это означает, что























есть произвольные решения урав-









 



нений (573), которые связанны между собой соотношениями (7.18). Это позволяет, на основе точных решений уравнений упругости, выписать бесконечную систему законов сохранения.

5.8. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

Рассмотрим следующие уравнения двумерной плоской теории пластичности, которые несложно получить из уравнений §2.



















































 



,02sin2cos2 

 

 

.02cos2sin2 

 

(594)

(595)

Здесь  – гидростатическое давление;





 x где

– угол между



x,1

главным направлением тензора напряжений и осью ox.

Будем искать законы сохранения системы (594), (595) в виде функций









,CC 

0





,DD

, для которых равенство

или в силу формулы Грина

(596)



ГCdyDdx 0

выполняется в силу системы, т. е. соотношение:

















0



(597)

должно выполняться для всех ее решений в некоторой области ограниченной гладким контуром Г.

Запишем систему пластичности в нормальной матричной форме [5]:







2cos





 







 



































2sin

2sin2





2sin



2cos





2sin





















 











 



(598)

155

Умножая эту систему слева на вектор



















































































Сравнивая уравнение (599) с (567), получим два уравнения для определения функций

Выразим компоненты

Можно заметить, что если положить









2sin

и D:



 CkCD



 



 



























CkC













2cos





2sin





2cos



 



2sin



2cos

2sin





CCD







2sin2



, получим уравнение:





















2sin2





(599)

(600)





 DC 

















2sin











линейной системы (600) в явном виде:









2cos

2sin







,02cos2sin2 

 

(601)





























.02sin2cos2 

 





xD 

то сис-

тема (601) совпадает с линеаризованной системой пластичности









xyky



xykx



,02sin2cos2

.02cos2sin2

Это позволяет использовать все свойства этой системы при построении законов сохранения.

Таким образом, линеаризация системы пластичности достигается без необходимости требовать неравенства нулю якобиана

Далее, используя замену

сведем систему (601) к уравнениям:















Вводя новые зависимые функции







ctg





,0



.0

,CtgD

,CctgD

(602)

(603)

156

получим систему:









Окончательно, полагая







 







ctg





cos





, приходим к уравнению:

(604)





.04

(605)

А это есть известное телеграфное уравнение.

Тем самым построение законов сохранения для уравнений пластичности свелось к решению линейных уравнений, для которых разработано очень много хороших методов решения, как уравнений, так и краевых задач.

5.9. УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ ГРАНИЦА

В СКРУЧИВАЕМОМ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ СТЕРЖНЕ

Рассмотрим упруго-пластическое кручение прямого стержня, поперечное сечение которого ограничено выпуклым контуром Г (рис. 5.4).

При достаточно большом значении крутящего момента в стержне образуется пластическая область P. Она начинает образовываться на внешнем контуре Г. Предположим, что пластическая область полностью охватила контур. Тогда в поперечном сечении возникают две области – пластическая P и упругая F, L – граница раздела областей.

Рис. 5.4. Поперечное сечение

скручиваемого стержня

Решению задачи о напряженном состоянии упруго-пластического стержня посвящено много работ, но большинство из них основываются на некоторых предположениях о форме границы L, которая, вообще говоря, заранее не известна. Оригинальный метод по определению неизвестной границы предложен Б. Д. Анниным [1]. Этот метод основан на контактных преобразованиях и позволяет определить границу раздела между упругой и пластической областью в стержнях овального поперечного сечения. По-

157

становку задачи и подробный обзор результатов можно найти в [1] и цити-



























руемой там литературе.

В предлагаемой работе с помощью законов сохранения определяется напряженное состояние во всех внутренних точках стержня, и предлагаются формулы для аналитических вычислений этих напряжений для случая кусочно-гладкой ориентированной границы поперечного сечения. Законы сохранения уже давно и плодотворно используются для решения многих задач математики и механики. Краткий обзор результатов и решенных задач из разных областей механики можно найти в [4; 5; 6].

Пусть

– единственные ненулевые компоненты тензора напря-

yzxz

жений. В упругой зоне они удовлетворяют уравнению равновесия







0



и уравнениям

 







Здесь функция

 y





определяет депланацию поперечного сечения;  –

yx,







 























 x







постоянная; G – модуль упругости при сдвиге.

Введем функцию напряжения







по формуле







тогда для определения  в упругой области получаем уравнение

где

2Ga 

– постоянная, не равная нулю.













(606)

(607)

(608)

(609)

В пластической области компоненты новесия удовлетворяют условию пластичности



.122

yzxz

помимо уравнения рав-

yzxz

(610)

Здесь, для простоты дальнейших вычислений, постоянную пластичности считаем равной единице.

Вводя в это уравнение функцию напряжения, получаем





 





























 

(611)

Граничные условия. Предположим, что боковая поверхность сво-

бодна от напряжений. Это означает, что



,lll 

– касательная к контуру Г. Отсюда получаем, что

контура Г. Поскольку Г односвязный контур, то полагаем, что

158

0



– на контуре Г. Здесь

const

вдоль

на Г.

0

Окончательно получаем следующую задачу:

































В области ограниченной кривой L необходимо решить уравнение













В области ограниченной кривыми L и Г (т. е. в области пластичности Р) функция φ удовлетворяет уравнению





 





























 

На Г для функции φ выполняются условия

;

(612)

(613)

(614)

0

или

l





021

на границе раздела L функция φ непрерывна.

Требуется найти φ в упругой и пластической областях, а также найти границу раздела L.

Введем обозначения

. Тогда уравнения (9.7)–(9.8) при-

мут вид

 avuF

 vu

В силу введенных обозначений будет выполняться равенство

vuF

Определение. Назовем вектор (A, B) сохраняющимся током, для сис-

темы уравнений (616) ,(618) , если выполнено соотношение

2211

Здесь

 FFBA

некоторые линейные дифференциальные операторы.

, 

Это означает, что для функций A и B справедлив закон сохранения на всех решениях системы (618), (618)

 BA

Закон сохранения (620) в силу уравнений (616), (618) имеет вид

(615)

(616) (617)

(618)

(619)

(620)

или, учитывая, что



vau 



,xyvu

vBvBBvAaAA

vBuBBvAuAA

yvxuyxvux

yvyuyxvxux

159

Из последнего равенства следует, что функции A и B удовлетворяют

































уравнениям





BaAA

yux

(621) (622)

Уравнения (622) – уравнения Коши–Римана.

Рассмотрим область стичности

полностью охватывает упругую зону F. Пусть Г – гладкая

с границей Г, при условии, что область пла-

ориентированная кривая, т. е. непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек.

Из закона сохранения (620) следует, что





Из (623),используя формулу Грина, получаем





dxdyBA .0

ГBdxAdy 0

(623)

(624)

Наша задача найти такую область Fпринадлежащую, вместе с ее

границей

Пусть

области D, в которой выполняется неравенство



,vuA

 uvB

, тогда



Согласно закону сохранения (620) получаем равенство

из которого следуют условия на функции

 

 













vvuA

xxxx

uuvvB





yyyyyy

uuvvvvuuBA



,0

yyyyyxxxxyx

.122 vu

(625) (626)

(627)

(628)

Рассмотрим два решения системы уравнений (628).

Первое имеет вид















yyxx



yyxx











yyxx

(629)

тогда



yyxx







yyxx



(630)

(631)

Соответственно второе возьмем в виде









тогда











yyxx







arctga





yyxx



.ln

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.09.20262 Мб0Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем.pdf
#
06.09.2026476 Кб0Упражнения для глаз-1.pdf
#
11.08.2026476 Кб1Упражнения для глаз.pdf
#
15.08.20261 Мб0Упражнения по основам электроники.pdf
#
07.09.20261 Мб0Упражняйтесь! Ч.1. Практикум к учебному пособию «Сборник текстов для чтения на французском языке».pdf
#
08.09.20262 Мб0Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография.pdf
#
15.08.2026709 Кб0Ура, вперед! Военная песнь второй отечественной войны. Для голоса с фортепиано.pdf
#
07.09.20262 Мб0Ура, зима!.pdf
#
06.09.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3-1.pdf
#
09.08.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3.pdf
#
06.09.2026289 Кб0Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца. Учебное пособие-1.pdf