Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография
.pdf
Подставляем (395) в правую часть (392), получаем
A
dy Bdx
(sin cos ) (cos sin ) 2(,).uv cdyu vcdxvxy
()( )uvcdy uvcdx
12
12
00
(396)
В результате получаем формулы для вычисления компонент вектора
деформации
2(,) ,
где
cdx
ux y Ady Bdx
00
1
2
,
L
.cdx
2(,) ,
vx y Ady Bdx
00
L
(397)
Таким образом, получены новые бесконечные серии законов сохранения, которые позволили решить краевую задачу для разрешающей
системы уравнений, а также для автоморфной системы. Все это позволило
построить аналитическое решение краевой задачи для уравнений асимметричной теории упругости.
3.12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СИСТЕМЫ
ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛАСТОСТАТИКИ
В данном пункте приводится методика построения точных решений
первой краевой задачи теории упругости в трехмерном статистическом
случае. Для этого найдены законы сохранения специального вида, которые
позволяют находить решения трехмерных уравнений теории упругости
в виде нескольких квадратур, которые вычисляются по границе упругой
области.
Система уравнений эластоупругости в трехмерном случае изучалась
многими авторами. Особый интерес представляет построение точных решений этих уравнений. Такие решения строили Папкович, Нейбер,
Трефтц, Галеркин (см. [2]), Н. И. Остросаблин [17; 18]. Представление
решений уравнений теории упругости с помощью решений системы Моисила–Теодореску (СМТ) решения построили Ю. М. Григорьев, В. В. Наумов [19], Ю. А. Чиркунов [20]. Несмотря на такое внимание к этим уравнениям, методов решения краевых задач для тел конечных размеров в трехмерном случае практически нет. В данном параграфе строятся точные
решения краевых задач теории упругости в трехмерном случае. Для этого
найдены законы сохранения специального вида, которые позволяют находить решения трехмерных уравнений теории упругости в виде нескольких
квадратур, которые вычисляются по границе упругой области. Монография продолжает серию работ посвященных решению краевых задач
с помощью законов сохранения, последние результаты и необходимые
91
определения можно найти в [8–12]. Результаты, полученные в этом пара-
графе, показывают, что законы сохранения можно эффективно использовать и для решения краевых задач для трехмерных уравнений.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнения теории упругости в ста-
тическом трехмерном случае в декартовой системе координат
zyx,,
где
urotrotudivgrad
),,( wvuu
– вектор упругого перемещения;
,0)2(
(398)
,
– упругие постоян-
ные Ламе.
Для этих уравнений поставим первую краевую задачу на поверхности S ограничивающую объем V:
),,(| zyxhuS
(399)
Известно, что решения системы уравнений (398) можно представить
с помощью решений системы Моисила–Теодореску [19] (СМТ) следующим образом
2
,
yz
2
4
uwf
3
,
zx
13
zxy
zyx
,
vuf
xy
,0
ffpF
321
fffF
(400)
.0
(401)
причем функции
1
3
wvup
zyx
321
,,, fffp
связаны уравнениями СМТ
23
zyx
12
yxz
wvf
,0
ffpF
,0
ffpF
1
,
Замечание. Как оказалось системы уравнений (399) и (400) можно
получить как результат решения задачи группового расслоения системы
уравнений (398). В этом случае система (401) называется разрешающей
системой уравнений, а (400) автоморфной [22].
Построение решений краевой задачи (398)–(399) будем делать следующим образом. На первом этапе построим законы сохранения решающую краевую задачу для СМТ, далее на ее основе строим законы сохранения для уравнений (400), которые позволят построить решение задачи
(398)–(399).
Система Моисила–Теодореску (СМТ) [19] является трехмерным аналогом системы Коши–Римана и связана с пространственными статическими уравнениями Ламе [19; 20]. Решения СМТ сохраняют многие свойства
аналитических функций комплексного переменного. В операторном виде
система уравнений (400) запишется так
p
f
f
f
1
2
3
0
0
0
p
yzx
xyz
0
zyx
1
f
xzy
f
f
0
2
3
. (402)
92
Имеет место следующая лемма, которая потребуется в дальнейшем
x
Лемма. Решениями СМТ являются следующие функции
3
00
3
00
3
00
3
00
zzyyxxr
где
0
1
0
2
0
3
0
4
2
00
2
0
Доказательство леммы осуществляется простой проверкой. Другие
решения СМТ можно найти в [22].
Определение. Законом сохранения для системы уравнений (400) на-
зовем выражение вида
iFCBA
CBA
где
что функции
CBA ,,
– называются сохраняющимся током. При выполнении этих усло-
,,,
– функции от
i
не равны одновременно тождественно нулю. Функции
i
3
00
3
00
3
00
3
00
2
,)()()(
0
iizyx
Vzyx
000
,,,zy
3
),/)(,/)(,/)(,0(
rzzryyrxxg
00
3
),/)(,/)(,0,/)((
ryyrzzrxxg
00
3
),/)(,0,/)(,/)((
rxxrzzryyg
00
3
),0,/)(,/)(,/)((
rxxryyrzzg
.),,(
4,3,2,1,
,,, fffp
(403)
00
(404)
321
, предполагается,
вий, закон сохранения (404) будет нетривиальным.
Замечание. Более общее определение закона сохранения можно най-
ти в [8] и цитируемой там литературе. В данной работе законы сохранения
будут пониматься согласно этому определению.
Постановка задачи. Пусть для уравнений (400) поставлена следую-
щая краевая задача
),,,(|
0
S
2
2
0
S
zyxpp
),,,(|
zyxff
1
3
1
0
S
3
0
S
),,,(|
zyxff
),,,(|
zyxff
(405)
где S – кусочно гладкая поверхность, ограничивающая область V. Предполагается, что S ориентирована с помощью внешней нормали к V. Требуется
решить систему уравнений (400) с краевыми условиями (404). При этом
321
функции
рывны на
,,, fffp
и их частные производные первого порядка непре-
.VS
Для решения задачи (400), (404) будут построены законы сохранения
специального вида, которые позволят найти решение задачи (398), (399) в
квадратурах.
Законы сохранения для уравнений СМТ
Известно [8], что законы сохранения для линейных систем уравнения
можно искать в виде
93
где
L
p
1
f
L
*
матрица операторов сопряженная
–
2
f
3
f
*321
),,,(),,,( Lfffp
Несложные вычисления показывают, что
.L
,CBA
zyx
(406)
123
),(
fffpA
312
).(
fpffC
(407)
213
),(
ffpfB
Проверим, что сохраняющийся ток (407) соответствует нетривиаль-
,,,
ному закону сохранения вида (404), предполагая, что
ции только от
,,,
решение СМТ
zyx,,
. Подставляя (407) в (404) имеем
, а
2134
),,,(
не нулевое, то и сохраняющийся ток (407) соот-
),,,(
– есть решение СМТ. Если
есть функ-
ветствует нетривиальному закону сохранения.
Замечание. Тем самым показано, что СМТ допускает бесконечную
серию законов сохранения. Можно найти и другие законы сохранения, но
в этой работе они нам не потребуются.
Решение краевых задач (405) с помощью законов сохранения. Из
(404), используя формулу Гаусса–Остроградского, получаем
)()(
yx
V
z
S
dSCnBnAndVCBA
321
),(
yxD
),(
0)
dd
, (408)
где
),(
D
zyD
B
),(
D
(
A
,, nnn
– компоненты вектора внешней нормали к поверхности S,
321
),(
xzD
C
),(
D
которая задана параметрически с координатами определяемыми функциями
x
непрерывно дифференцируемыми в некоторой области параметров
),,(
y
),,(
z
),(),,(
(409)
).,(
При этом предполагаем также, что не все якобианы, в правой части формулы (408) одновременно обращаются в нуль.
Пусть точка с координатами
Опишем вокруг этой точки сферу радиуса
)(
0
22
zz
. Соединим поверхность сферы с поверхностью S плоско-
,, zyx
находится внутри области V.
000
:
2
0
2
)()( yyxx
0
стью P.
94
Из формулы (408) получаем, в предположении, что компоненты со-
P
P
храняющегося тока имеют особенность в точке
dSCnBnАn
)(
S
+
Поскольку интегралы по
P
321
dSCnBnAn )(
321
P
и
вычисляются по разным сторонам
,, zyx
000
dSCnBnАn )(
321
dSCnBnAn .0)(
321
плоскости Р, то их сумма равна нулю. В результате имеем
dSCnBnАn
)(
Рассмотрим решение СМТ в виде
S
321
3
00
g
из (403)
1
3
00
dSCnBnАn
321
Подставив его в (411), вычислим интеграл по сфере
0
2
2
0
321
)()()(
0
dSCnBnАn )(
22
zzyyxx
, имеем
),(
(
А
(412)
D
zyD
B
),(
D
),(
xzD
C
),(
D
(410)
0)(
. (411)
3
./)(,/)(,/)(,0
rzzryyrxx
00
,(
yxD
),(
.)
dd
Здесь введены сферические координаты ,coscos
ryy
0
,cossin
rzz
0
rxx
0
.2/2/,20,sin
В сферических координатах сфера будет иметь уравнение
переменные
Пусть в (403), в соответствии с леммой
(
А
D
будут параметрическими на ней. В результате получим
,
),(
D
zyD
),(
3
00
),(
zyD
B
),(
D
2
22
,coscos
),(
yxD
),(
D
3
тогда из (412), с учетом (413) получаем
/)(,/)(
rzzryy
00
),(
xzD
2
,(
yxD
C
),(
D
2/
),(
0
2/
D
xzD
),(
),(
.sincos
(413)
22
cos),,()
.),,(4cos
zyxwdwd
000
,sincos
ddzyxwdd
22
,
r
3
,/)(,0
rxx
00
при
Здесь использована теорема о среднем и сделан предельный переход
.0
95
Теперь из формулы (411) получаем
где
S
3
1
0
2
0
00
3
0
,
pfffB
0
321
3
00
2
1
0
0
3
0
3
/)(,/)(,/)(,0
rzzryyrxx
,
00
.
pfffC
0
3
),,,(4)(
zyxfdSCnBnАn
000
Функции
(414)
1
0
2
0
3
0
2
1
0
0
,
pfffA
0
3
,,, pfff
0
0
заданы на поверхности S.
Рассмотрим решение СМТ в виде
3
00
из (403)
g
2
3
00
3
/)(,/)(,/)(,0
rzzryyrxx
00
и подставим его в (412), вычислим интеграл по сфере с этим решением,
имеем аналогично предыдущему
D
,(
yxD
),(
zyxudud
000
cos),,()
ddzyxwdd
.),,(4cos
),(
D
zyD
B
),(
D
(
А
),(
xzD
),(
2
2/
C
0
2/
при
где
1
0
где
1
0
Здесь использована теорема о среднем и сделан предельный переход
.0
Из формулы (411) получаем
S
3
00
3
0
2
0
,
pf
0
3
,,, pfff
заданы на поверхности S.
0
0
1
0
2
0
Рассмотрим решение СМТ в виде
3
0
3
00
1
321
3
00
,
pfffB
0
g
3
1
0
из (403)
3
00
),,,(4)(
zyxfdSCnBnАn
(415)
000
3
,/)(,/)(,/)(,0
rzzryyrxx
00
2
0
3
0
.
pfffC
0
3
/)(,/)(,/)(,0
rzzryyrxx
.
00
1
0
Функции
Аналогично предыдущему получаем
S
3
3
0
2
0
,
pf
0
3
,,, pfff
заданы на поверхности S.
0
0
Рассмотрим решение СМТ в виде
00
1
0
2
0
3
0
2
321
3
00
,
pfffB
0
g
4
1
0
из (403)
),,,(4)(
zyxfdSCnBnАn
(416)
000
3
,/)(,/)(,/)(,0
rzzryyrxx
00
2
0
3
0
1
0
Функции
.
pfffC
0
2
ffA
0
2
ffA
0
3
00
3
00
3
,/)(,/)(,/)(,0
rzzryyrxx
00
96
Аналогично предыдущему получаем
x
),,,(4)(
где
1
0
S
3
00
3
0
2
0
,
pf
0
3
,,, pfff
заданы на поверхности S.
0
0
1
0
2
0
3
0
3
00
,
pfffB
0
0
zyxpdSCnBnАn
(417)
000321
3
,/)(,/)(,/)(,0
rzzryyrxx
00
2
1
0
3
0
.
pfffC
0
1
0
Функции
2
ffA
0
В этом пункте построена бесконечная серия законов сохранения. Эти
законы позволили решить краевую задачу (405) для уравнений СМТ.
Решения даны формулами (415)–(417). Показано, что для решения краевой
задачи достаточно вычислить поверхностные интегралы по граничной поверхности.
Законы сохранения для системы уравнений (400). Запишем систему
(400) в виде
,
1 zyx
2
3 zx
Здесь функции
wvupF
,
uwfF
321
,,, fffp
являются известными, поскольку вы-
2 yz
4 xy
1
,
wvfF
3
,
vufF
(418)
числены в предыдущем пункте. Опять ищем закон сохранения в виде
где
i
zyx
i
CBA
,,,
– функции от
,,, zy
i
.,, wvu
4,3,2,1, iFCBA
(419)
Ищем решение уравнений (419) в виде
где
4321
,
awavauaA
iiii
4,3,2,1,,,, icba
– функции только от x, y, z.
4321
,
bwbvbubB
Из (419) получаем
111
,0
cba
zyx
42
,
a
22
,
c
33
,
a
c
13
,
222
,0
cba
zyx
41
,
b
12
,
b
zyx
333
,0
cba
zyx
b
21444
1
23
,
3
pcba
2
11
,
a
41
,
c
4
.
3
4321
,
cwcvcucC
Отсюда получаем
341
,0
zyx
214
,0
zyx
Заметим, что уравнения (420) с точностью до обозначений совпадают с первыми тремя уравнениями СМТ, поэтому функции
ляются решениями системы уравнений (401).
97
123
.0
zyx
(420)
i
4,3,2,1, ig
яв-
Повторяя почти дословно, вычисления из предыдущего пункта полу-
чим формулы для вычисления
где
где
где
S
32
3
4
,
awa
0
,, wvu
заданы на поверхности S;
000
1
2
0
43
00
3
bwbvbubB
0
0
S
23
3
4
,
awa
0
,, wvu
заданы на поверхности S;
000
1
0
13
00
2
3
0
bwbvbubB
0
S
14
3
4
,
awa
0
,, wvu
заданы на поверхности S.
000
1
2
0
23
00
3
0
bwbvbubB
0
13
00
4
,
00
4
,
4
,
1
3
4
1
3
3
00
1
2
0
2
0
2
0
(421)
),,,(4)(
zyxwdSCnBnАn
000321
3
,
/)(,/)(,/)(,0
rzzryyrxx
00
3
0
zyxudSCnBnАn
0
zyxvdSCnBnАn
0
0
),,,(4)(
(422)
000321
3
,/)(,/)(,/)(,0
rzzryyrxx
00
3
0
),,,(4)(
(423)
000321
3
,/)(,/)(,/)(,0
rzzryyrxx
00
3
0
1
4
Функции
.
cwcvcucC
1
4
Функции
.
cwcvcucC
1
4
Функции
.
cwcvcucC
2
vauaA
0
0
0
0
2
vauaA
0
2
vauaA
0
В параграфе построены законы сохранения для уравнений пространственной теории упругости, которые позволяют решить краевую задачу
(405).
Библиографические ссылки
1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975.
2.
Новацкий В. Теория упругости. М. : Мир, 1975.
Olver P. Conservation laws in elasticity 1. General result. Arch. Rat.
3.
Mech. Anal. 85. 1984. Р. 111–129.
Olver P. Conservation laws in elasticity11. Linear homogeneous iso-
4.
tropic elastostatic. Arch. Rat. Mech. Anal. 85. 1984. Р. 131–160.
Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упругопластическая задача. Ново-
5.
сибирск, Наука, 1983.
Аннин Б. Д., Бытев В. О., Сенашов С. И. Групповые свойства
6.
уравнений упругости и пластичности. Новосибирск : Наука, 1983.
Бельмецов Н. Ф.,Чиркунов Ю. А. Точные решения уравнений
7.
динамической асимметричной модели теории упругости // Сиб. журн. Индустр. матем. 2012. Т. 15, № 4. С. 38–50.
Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий
8.
и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : СО РАН, 2001.
98
9. Senashov S. I., Vinogradov A. M. Symmetries and conservation laws
of 2-dimensional ideal plasticity // Proc. Edinburg Math. Soc. 1988. P. 415–439.
Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Симметрии
10.
и законы сохранения. М. : Фактор, 1996.
Vinogradov A. M. Local symmetries and conservation laws // Acta
11.
Appl. Math. 1984. № 6. P. 56–64.
Senashov S. I. Conservation laws and exact solution of the Cauchy
12.
problem for equations of ideal plasticity. Docl. Math. 40:12. 1995. P. 658–659.
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М. : Наука, 1975.
13.
Предельное состояние деформируемых тел и горных пород /
14.
Д. Д. Ивлев, Л. А. Максимова, Р. И. Непершин и др. М. : Физматлит, 2008.
Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математи-
15.
ческой физики. М. : Физматлит, 2001. 576 с.
Сенашов С. И., Савостьянова И.Л. Об упругом кручении во-
16.
круг трех осей. Сиб. журн. Индустр. матем. 2021. Т. 21, № 1. С. 120–125.
Остросаблин Н. И., Сенашов С. И. Общие решения и симметрии
17.
уравнений линейной теории упругости // Докл. РАН. Т. 322, в. 3,1992.
С. 513–515.
Остросаблин Н. И. Общее решение и приведение системы урав-
18.
нений линейной изотропной упругости к диагональному виду // J. Appl.
Industr. Math. 4:3. 2010. Р. 354–358.
Григорьев Ю. М. Некоторые решения пространственных стати-
19.
ческих уравнений Ламе // Математические проблемы механики сплошных
сред. 1984. Вып. 67. С. 29–36.
Чиркунов Ю. А. Групповое расслоение уравнений Ламе // Изв.
20.
АН, Механика твердого тела. 2009. № 3. С. 47.
Ovsyannikov L. V. Group Analysis of Differential Equations. Ne-
21.
wYork : Academic Press, 1982.
Moisil G. G., Theodoresco N. Fonctions holomorphes dan’s l’tspase //
22.
Mathematica. 1931. V/ 5. P. 141–153,
Сенашов С. И., Гомонова О. В., Яхно А. Н. Математические во-
23.
просы двумерных уравнений идеальной пластичности / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2012. 139 с.
Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М. :
24.
Наука, 1977. 416 с.
99
Глава 4
ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
Обсуждается задача Б. Д. Аннина о построении точных решений
пространственных уравнений среды Мизеса на основе знания группы непрерывных преобразований, допускаемой системой. Приводятся новые
классы решения пространственных уравнений пластичности.
4.1. ТОЧЕЧНАЯ ГРУППА И ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
Формулируется задача так: найти новые пространственные решения
уравнений пластичности с условием текучести Мизеса. Задача сложная.
Из литературы известно, что решения этих уравнений искали Р. Хилл [1],
В. Прагер [2] и Д. Д. Ивлев [3; 4]. Об этом написано в обзоре [5]. Позднее
стало известно о решениях, построенных в [6–8], которые составили основу докторской диссертации М. А. Задояна. Все перечисленные решения
были построены без всякой системы, т. е. были угаданы. Это позднее было
подтверждено в беседах с Д. Д. Ивлевым и М. А. Задояном. Особняком
среди решений, бесспорно, стоит решение, построенное В. Прагером. Он
решал конкретную задачу: построить поля скоростей, соответствующие
однородному напряженному состоянию. Как оказалось, и он кое-какие
случаи просмотрел, позднее в работе [9] нам удалось до конца решить
поставленную В. Прагером задачу.
Была вычислена алгебра Ли, допускаемая пространственной системой дифференциальных уравнений и на ее основе найдены новые пространственные решения.
Система пространственных уравнений пластичности в декартовой
системе координат
,1xx
,2yx
zx
в стационарном случае имеет вид
3
, + , (424)
где – компоненты девиатора тензора напряжений;
компоненты вектора скорости деформаций;
– неотрицательная функция;
,1uu
,2vu
wu
–
3
– постоянная пластичности; – гидростатическое давление, по повто-
ряющимся индексам проводится суммирование.
Исключая из системы уравнений (424) компоненты девиатора тензора напряжений, получаем следующую нелинейную систему уравнений
2
k
2
p
2
u
A
2
k
3
A
22
.,0,
eeAuuee
(425)
mnmniinmjmnijijji
Известно, что система уравнений (4.2) имеет эллиптический тип.
Опишем известные решения этой системы.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]