Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография
.pdf
то в каждой точке х оно имеет m-мерное касательное пространство, кото-
G
G
G
G
GGG
G
G
G
R
G
UUU
UVV
V
U
V
V
U
рое является линейным пространством.
Группы Ли
Определение.
если для любых двух элементов а,
Множество G называется группой с операцией ,
b
cba
(алгебраическая
полнота), при этом выполнены следующие условия:
1.
2.
существует единственный элемент
cbacba
для всех Gcba
,, (ассоциативность);
e
такой, что
aaeea для всех Ga ;
3.
для каждого элемента
1
a , такой, что .11eaaaa
a
существует элемент, обозначаемый
Определение. Группой Ли G называется:
а) гладкое многообразие и одновременно;
б) группа с умножением
:
;
и – гладкие отображения.
в)
:
и взятием обратного элемента
Поясним немного это определение. В силу а)
торая поверхность, на которой каждой точке
в соответствие некоторые координаты, т. е. можно считать, что
если
G – многообразие размерности m. Зная координаты точек Gba
G есть локально неко-
a
можно поставить
a ,
, ,
m
по свойству б), мы можем определить координаты их произведения
cba ,
и обратного элемента
.1Gaa
Пункт в) гарантирует доста-
точную гладкость этих функций.
Определение. Если группа Ли G как многообразие имеет размер-
ность r, то пишем G
Определения. Пусть Н – замкнутое множество в G
группой. Тогда Н называется подгруппой группы Ли G
.
r
, являющееся
r
или просто под-
r
группой.
Определение. Гладкое многообразие G называется локальной
группой Ли
– выделен элемент (единица)
– выделены окрестности
ведении
, если
e
;
UVVU , элемента е такие, что на произ-
определено отображение (групповая операция (
)),
удовлетворяющая условиям :
1)
2)
;
cbacba
для всех
cba
,,;
что
3)
4) для любого
11
eaaaa
5) отображение
для всех
aeaae
a существует (обратный) элемент Ua
a
;
1
;
baba гладкое на
1,
21
.
такой,
Другими словами, G есть локальная группа Ли, если для элементов х,
r
, достаточно близких к единице е, определено произведение ab и обрат-
у
–1
а
ный элемент
, гладко зависящие от а, b, причем выполнены все аксиомы
группы каждый раз, когда участвующие в этих аксиомах объекты определены. Окрестности
U, V не определены однозначно, ясно, что вместо U, V
можно взять соответствующим образом подобранные меньшие окрестности
UU
, VV . Этот произвол в определении локальной группы обес-
печивает необходимую в локальных вопросах общность вводимого понятия и расширяет область применения теоретико-групповых методов.
С другой стороны, чтобы исключить эту неопределенность, удобно считать две локальные группы Ли эквивалентными, если их пересечение содержит некоторую открытую окрестность
Каждому элементу
Ga соответствует набор чисел
е.
1
rr
Raa ,...,
,
который называется его координатами. При этом единица группы
чает координаты, равные нулю. Пусть
произведение
i
где
– гладкие функции. Поскольку aе = a, еb = b, то получаем
cba и новый элемент имеет координаты
11
,,...,1
,
i
ii
aa 0,
,
irrii
babbaac
ii
bb ,0
,
, тогда определено их
GUba
r
,,,...,,,...,
е полу-
(64)
(65)
i
j
i
где
пространство
размерность
– символ Кронекера.
j
G
Поскольку
– многообразие, то с ним ассоциируется касательное
r
TGT
многообразия G
r
r. Естественно, что касательное пространство несет опреде-
ленную информацию о строении
i
ba
i
при a = b = e,
j
j
в точке е. Пространство Т имеет
r
G
В нашем случае группа Gr наделяет
r.
(66)
касательное пространство дополнительной алгебраической структурой,
и тогда
Т содержит исчерпывающую информацию о G
. Поскольку каса-
r
тельное пространство есть векторное пространство, то его изучать проще.
Этим широко пользуются при исследовании групп Ли.
Определение. Кривая
ческой подгруппой
,stgsgtg ,
Gtg
,
t называется однопараметри-
r
группы Gr, если она обладает свойством
st
s .
22
Однопараметрические подгруппы обозначаются G1, они несут в себе
всю информацию о группе
параметрических подгрупп. Поэтому изучение группы Ли
G
. Группа Gr буквально соткана из своих одно-
r
G
можно свести
r
к изучению ее однопараметрических подгрупп.
Алгебры Ли
Определение.
Линейное пространство L над R с билинейной операцией [ , ] называется вещественной алгеброй Ли, если выполняются следующие свойства:
1.
всех
2.
.Li
(антикоммутативность);
,,
1221
0,,,,,,
213132321
(тождество Якоби) для
Произведение
называется коммутатором векторов
,
21
,...,
21
Размерностью алгебры Ли называют размерность векторного про-
странства
Пусть
L
ства
. Разложение коммутатора любой пары базисных векторов по этому
r
L. Алгебра Ли L размерности r обозначается символом L
L
– алгебра Ли,
r
,...,1 – базис соответствующего простран-
r
.
r
базису имеет вид
и
r
где
k
ij
Числа
rkjic
,...,1,, – вещественные числа.
k
c называются структурными константами алгебры Ли L
ij
c
,,
kkijji
с точностью до изоморфизма определяют ее структуру. Здесь и далее везде
в тексте по повторяющимся индексам проводится суммирование.
Кратко покажем, как по группе Ли G
вующую ей алгебру Ли L
Разложим функции
. Пусть умножение в группе Gr дано формулой
r
ii
i
по формуле Тейлора. В силу (65), (66) это раз-
можно построить соответст-
r
.,...,1,, ribac
(67)
ложение имеет несколько специальный вид:
i
2
kj
aa
i
2
kj
bb
kj
aab
kj
bb
,,0,0,0,
1
,0,00,00,0,0
2
где
i
b
есть величины третьего порядка малости относительно координат
,
21
ii
ii
bba
j
a
i
j
b
j
ab
j
b
а, b.
С учетом этих формул получаем
1
где
– величина четвертого порядка малости относительно координат а, b.
iii
kji
jk
jk
23
kji
1
1
jk
1
kji
,,
bbahbaagbababa
(68)
Числа
s
i
с
jk
i
jk
есть структурные константы группы
Формулы (68) показывают, что в первом приближении группа
i
,
kj
G
.
r
(69)
G
r
коммутативна. Однако второе приближение дает, как правило, уклонение
от коммутативности. В случае коммутативных групп структурные
константы равны нулю. Этот факт указывает на то, что структурные константы весьма существенны для групп Ли. Позже будет показано, что
структурные константы полностью определяют структуру группы Ли, что
и объясняет их название.
Пусть
Gba , , рассмотрим их коммутатор
,,
baqaab
тогда
11
с учетом (68) получаем
i
bacq
jk
ikji
.
(70)
Используя формулу (70), можно показать, что структурные констан-
i
ты образуют тензор. Это равенство может служить для определения
G
Структурные константы группы Ли
удовлетворяют следующим соот-
r
c
.
jk
ношениям:
p
ij
sjkp
is
p
,
cc
ji
ks
sijp
cccccc
.
skip
js
Соотношение (71) следует из (69) очевидным образом, (72) является
следствием ассоциативности умножения в группе Ли
G
Пусть
поставить в соответствие
L
вим в
операцию коммутирования, которое превратит Lr в алгебру Ли
r
исходя из свойств группы
b(t) – две кривые, для которых вектора
и
Положим
Тогда
Введем на этой кривой новый параметр
– группа Ли, как показано в предыдущем пункте, ей можно
r
L
– r-мерное векторное пространство. Устано-
r
G
. Пусть
r
tbtatbtatq
tq определяет кривую в G.
и
1
– два вектора из Lr, a a(t)
2
1
и
являются касательными.
2
11
.
s, положив ,st .0
G
(71)
(72)
.
r
(73)
Пусть теперь вектор
определим коммутатор по правилу
превращается в алгебру Ли, которое соответствует группе Ли Gr. Этот
L
r
– касательный к кривой
3
.,
321
.sq В пространстве Lr
В результате пространство
результат непосредственно следует из формулы (70).
24
Для работы с алгебрами Ли нам потребуются следующие опреде-
N
N
v
R
R
R
B
R
B
r
B
R
x
R
R
R
ления.
Определения. Векторное пространство
алгебры Ли L, если для любых
рой
L называется подалгеб-
u, следует, что
Nvu ,.
Заметим, что если G
Ли, то каждой подгруппе группы G
– группа Ли, а Lr – соответствующая ей алгебра
r
соответствует некоторая подалгебра
r
и наоборот. Это соответствие характерно и для более специальных классов
подалгебр и подгрупп.
Группа точечных преобразований
Пусть
n
жащий ноль, .
ждают преобразование
Здесь
1
называются параметрами преобразования (74).
r
и
aaa ,...,
– евклидовы пространства, В – открытый шар, содер-
r
Рассмотрим функции ,:
n
в себя:
n
r
,, xTaxfx
a
,,
Rxx
.
nn
RBRf которые поро-
a
(74)
Различным преобразованиям соответствуют различные значения
параметров. В дальнейшем считаем, что все параметры
1
r
aa ,...,
существен-
ны. Это означает, что они не могут быть заменены функциями от меньшего
числа параметров. Потребуем, чтобы преобразования вида (74) порождали
группу Ли. Для этого определим композицию двух преобразований:
где
ii
,,bac
i
.,...,1
,,,,, xTbaxfbaxffxTT
cba
Естественно потребовать выполнение следующих условий:
,0, xxf
11
которые выполняются для всех ,,,
Предположим, что
ba, есть аналитическая функция. В результате
aaaa
cba
,0,,
,,,,, cbacba
.
n
мы выделим множество преобразований пространства
образуют локальную группу Ли
дой точке пространства
пространства, то группу
ваний пространства
n
n
G часто называют группой точечных преобразо-
r
.
G . Поскольку преобразования из rG каж-
r
ставят в соответствие снова точку этого же
n
в себя, которые
(75)
(76)
(77)
25
Инварианты и инвариантные многообразия
R
M
M
A
M
S
S
x
S
M
x
RRF
R
x
F
x
R
R
R
x
Пусть G – группа преобразований некоторого множества .
Определение. Пусть ,
образует локальное многообразие, это многообразие называется
GT
r
орбитой, или
многообразие
Если группа
G – орбитой точки х. Орбитой множества
r
r
r
Ax
G транзитивна на М, то
r
Определение. Подмножество
относительно действия групп
n
RMx множество
.xGAG
называется инвариантным
, если для любых
G
r
всех образов Тх,
xG
r
r
,MxG
где х любая точка М.
,rGT
является
элемент
Tx .
Отсюда ясно, что орбита каждой точки
ным подмножеством относительно группы
G . Получаем следующее оп-
r
является инвариант-
ределение.
Определение. Функция
G , если F постоянна на rG – орбите каждой точки
r
a
., xFaxfFxTF
Поэтому транзитивная группа
Следствие 1.1. Функция
n
:
G
1
называется инвариантом группы
не имеет нетривиальных инвариантов.
r
n
: RRxF
1
является инвариантом одно-
n
n
,
параметрической группы преобразований
,0
где
X
X
i
– одномерная алгебра Ли, соответствующая группе
i
G тогда и только тогда, когда
1
Доказательство (78) непосредственно следует из равенства
ii
xFaxfF
j
a
x
0
a
i
aXFxFaa
00,
при .0a
j
i
f
F
Из общей теории дифференциальных уравнений в частных произ-
водных следует, что для нахождения всех инвариантов группы
димо найти (n–1) функционально независимое решение
уравнения (78): всякий инвариант
где Ф – некоторая функция
n
параметрической группы
,,...,
xIxIФxF
11
G преобразований в
r
xF представим в виде
n
n
для нахождения инва-
1
. В случае r –
риантов следует решить систему дифференциальных уравнений
(78)
.
G
1
G необхо-
1
,...,
n 11
xIxI
где
F
FX
XX ,...,
– базис алгебры Ли
1
r
i
,0
i
L , соответствующий группе rG .
r
26
,,...,1 r
(79)
Число решений уравнений (79) определяется величиной
M
x
R
M
M
x
r
R
M
M
x
r
M
x
R
*
Если
система (79) имеет
r
*
не меняется в некоторой окрестности точки
rn функционально независимых решений, которые
*
образуют базис инвариантов группы
i
xrankr
G . При nr
инвариантов – она транзитивна.
Определение. Многообразие М называется инвариантным относи-
тельно группы преобразований
содержится в
Пусть
разований
G . Тогда имеет место следующий критерий инвариантности.
М, т. е.
,...,
1
r
r
r
базис алгебры Ли
G , если rG – орбита каждой точки
r
.MMG
L соответствующей группе преоб-
Предложение 2.1. Многообразие
группы тогда и только тогда, когда
и .,...,1
i
Если отображение
многообразие
n
задано уравнением
RRxF
: дифференцируемо и m-мерное
.
х и ,*nr то
r
r
n
инвариантно относительно
mnn
*
xi
группа
MTx
для всех
G не имеет
r
(80)
xF
,0
(81)
как множество решений этого уравнения;
mnxFrank
для всех
, то критерий инвариантности при-
нимает вид
F
i
i
x
,0
M
.,...,1
(82)
В дальнейшем рассматриваются только неособые (относительно
группы
r постоянен в некоторой окрестности многообразия М и меньше п.
*
В этом случае задание инвариантного многообразия
быть реализовано с помощью инвариантов группы
где
любой точки ,
гообразие
G ) многообразия М, т. е. такие, для которых
r
,0,...,
*
,...,
1
xIxI
rn
*
IIФ ,,...,1 mnk
1
rnk
– базис инвариантов группы
то .*mr Уравнение (83) представляет т-мерное мно-
М в
n
как многообразие размерности
M
М группы rG может
G и записано в виде
r
. Так как
G
r
.
rr
Пусть
**
(83)
r
MxG
для
в пространстве инвариантов .,...,
1 rm
rm
*
II
Это число называется рангом М.
*
27
(84)
Оптимальная система подалгебр
H
Для группового анализа очень важна задача о перечислении всех
различных подалгебр данной алгебры Ли
L . К этой задаче, например,
r
приводит задача описания существенно различных решений дифференциальных уравнений.
Замечание. В теории алгебр Ли, где решаются подобные задачи,
достигнуты замечательные результаты в перечислении неподобных подалгебр над полем комплексных чисел. Над полем действительных чисел,
а именно этот случай нас интересует, достигнуты определенные результаты в описании подалгебр малой размерности. Из-за отсутствия общих
результатов построение оптимальных подалгебр приходится делать практически для каждой конкретной системы дифференциальных уравнений,
для которой построена алгебра Ли.
Определение. Изоморфизм алгебры L на себя называется автомор-
физмом
.
Нетрудно видеть, что автоморфизмы образуют группу. Особую роль
играет группа внутренних автоморфизмов, потому что она может быть
описана в терминах исходной алгебры
ляет внутренний автоморфизм
:
a
разует группу, которая часто обозначается
G
группы
тельно, группе
соответствует некоторый автоморфизм алгебры Ли
r
IntG соответствует локальная группа Ли автоморфизмов
r
алгебры Ли. Эта группа локально изоморфна группе
группой внутренних автоморфизмов алгебры
группой группы
и обозначается
G
r
Определение. Две подгруппы Н и
добны), если существует такой
Группа разбивает все подгруппы группы
L. Каждый элемент
1
ababf
группы
IntG . Всякому автоморфизму
r
L или присоединенной
A
G .
r
группы
IntGA
, что
r
G на непересекающиеся
опреде-
Ga
r
G , множество af об-
r
, следова-
L
r
IntG , она называется
r
r
G сопряжены (по-
r
r
.HHA
семейства сопряженных подгрупп. Выбирая из каждого семейства по
представителю, мы получим оптимальную систему подгрупп группы
G .
r
При конкретных вычислениях следует ограничиваться подгруппами определенной размерности, так появляются оптимальные системы
подалгебр. Так
– это система неподобных одномерных подгрупп,
1
двумерных и т. д. Соответствие между подгруппами группы
гебрами соответствующей алгебры Ли
L позволяет все свести к построе-
r
s-мерных
–
2
G и подал-
r
нию оптимальной системы подалгебр.
A
Присоединенная группа
центр группы
. Для описания присоединенной группы следует постро-
G
r
ить касательный вектор к элементу
строить касательный вектор к произведению двух элементов ,
G изоморфна фактор-группе ,/ ZG
r
1
aba
,
.,
Gba
Для этого надо по-
r
ab .,
r
где Z –
Gba
r
28
Теорема 2.1. Пусть
R
N
, тогда элементу ab соответствует вектор
Gba ,
r
, – векторы
L , соответствующие элементам
r
1
,
2
1
,,
12
1
,,
12
1
24
,,,
1
720
,,,
1
720
...,,,,
Это знаменитый ряд Кэмпбелла – Хаусдорфа. Из теоремы получаем
важное следствие.
Следствие 2.2. Элементу а группы
из
L , который имеет вид
r
1
[,]
1
!
1
[,],
2
!
n
1
n
!
1
Gaba
соответствует вектор
r
[[,], ]
р
n аз
Для более удобного использования формулы (86) вместо вектора
a
рассмотрим вектор
aa a
[,]
12
!
, где .
2
!
a
[,],
1
Тогда получаем
n
[[,], ]
n
!
n аз
р
(85)
(86)
(87)
Формула (87) дает образ элемента
томорфизма, соответствующего вектору
ить неподобные подалгебры в терминах алгебры Ли
A
группы
G , а также используется в асимптотических методах и других во-
r
под действием внутреннего ав-
a . Эта формула позволяет стро-
L без построения
r
просах группового анализа.
2.2. ТОЧЕЧНАЯ ГРУППА, ДОПУСКАЕМАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
И РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Продолжение точечных преобразований и инфинитезимальных
операторов. Дифференциальные инварианты
Рассмотрим пространство ,
мые переменные;
N
R где ,mn
1
n
uu ,...,
– зависимые переменные. В дифференциаль-
1
n
xx ,...,
ные уравнения необходимым образом входят производные
,,...1 mk
.,...,1 ni
– независи-
k
u
i
x
k
p
i
,
29
Пока, чтобы не усложнять выкладки и не вводить сложные обозна-
R
p
чения, мы будем ограничиваться только первыми производными.
Рассмотрим однопараметрическую группу точечных преобразований
в пространстве
R
N
,
,,,'auxfxii
i
0ia
,
xf
(88)
k
,,,'auxgukk .
ug
0ka
Группе преобразований (88) соответствует инфинитезимальный оператор
i
uxX
x
Рассмотрим пространство
k
i
ux
mN
переменных
.,,
k
u
В этом
.,, pux
(89)
пространстве преобразования (88) индуцируют преобразование переменных
'
k
k
i
,
i
k
,,,,
apuxhp
i
a
k
ph
i
0
(90)
которые, очевидно, согласованы с равенствами
k
u
для любой функции
k
p
i
.xuukk
,
i
x
(91)
Условия (90) однозначно определяют для каждой группы G преобразования (91). В результате получается однопараметрическая группа
действующая в пространстве ,
mNR
которая называется первым продолже-
G ,
1
нием группы точечных преобразований (88).
где
Оператор продолженной группы
k
XX
i
k
dh
k
i
da
i
Х – оператор (89).
,
0a
Определение. Инварианты продолженной группы
k
p
i
G равен
1
,
01
a
(92)
G для 0s
s
называются дифференциальными инвариантами (порядка s) исходной
группы G.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]