Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Канонический вид уравнения (490) следующий



0224 

AAA



В настоящее время решений для этого уравнения отличных от решения (505) неизвестно.

Вывод. Найдена группа точечных преобразований, допускаемых уравнением (496) в смысле Ли-Овсянникова. Эта группа имеет размерность восемь. Она порождается тремя переносами по пространственным переменным и искомой функции, трем растяжениям по этим же переменным, круговому и гиперболическому вращениям в плоскости оху. Найдены новые классы точных решений этого уравнения, зависящие от произволь-

ных функций из класса

.2С

На основе точечных симметрий найдены шесть законов сохранения уравнения (496). Приведена новая бесконечная серия законов сохранения, которая найдена прямым вычислением.

4.5. О ПЛАСТИЧЕСКОМ КРУЧЕНИИ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

ВОКРУГ ТРЕХ ОСЕЙ

Теория предельного состояния имеет дело со статически определимым состоянием твердых тел. В этом случае система замкнута за счет предельных условий и такие свойства материи как вязкость, упругость и т. п. на предельное состояние влиять не могут. Другими словами при достижении предельного состояния характер связи между напряжениями и деформациями не оказывает влияния на предельное состояние. Исследование таких систем последовательно проводил Д. Д. Ивлева и его соавторы. К уравнениям равновесия они присоединяли два или уравнения, связывающие компоненты тензора напряжений. Это приводило к замкнутости системы уравнений равновесия. В теории пластичности хорошо изучены уравнения, которые замыкаются одним пределом текучести. К наиболее известным системам, описывающим предельное состояние деформируемых тел, относятся хорошо исследованные уравнения, описывающие кручение пластических тел, двумерные задачи стационарной теории пластичности.

В данной монографии рассмотрены некоторые другие системы уравнений, которые замыкаются только одним уравнениям текучести, что соответствует классической теории пластичности. Предполагается, что компоненты вектора скоростей зависят только от двух пространственных координат. При этом для компонент вектора скорости деформаций выполняются тождественно условия совместности деформаций. Построенные системы могут быть использованы для описания кручения параллелепипеда вокруг трех ортогональных осей. Для построенной системы уравнений найдены точечные группы симметрий, законы сохранения. Показано, что система допускает восьмимерную алгебру Ли. На основе группы симмет-

131

рий построены некоторые классы инвариантных решения ранга 1. Они















зависят от произвольных функций одной переменной. Показано, что эти решения можно использовать для описания пластического кручения параллелепипеда вокруг трех ортогональных осей. Показано, что система допускает бесконечную серию законов сохранения. В заключительном пункте описано построение упругого решения поставленной задачи. Показано, что оно сводится к нахождению трех гармонических функций.

Некоторые задачи механики деформируемого твердого тела исследованы достаточно хорошо. Это так называемые статически определимые задачи. К ним относятся задачи о кручении призматических стержней и задачи о плоском деформированном состоянии. Они относятся к широкому классу задач – задачам о предельном состоянии деформируемых тел.

Теория предельного состояния – один из фундаментальных разделов механики деформируемого твердого тела [3]. Теория предельного состояния имеет дело со статически определимым состоянием твердых тел. В этом случае система замкнута за счет предельных условий и такие свойства материи как вязкость, упругость и т. п. на предельное состояние влиять не могут. Другими словами при достижении предельного состояния характер связи между напряжениями и деформациями не оказывает влияния на предельное состояние. Некоторые такие системы рассмотрены в [3].

Впервой части рассмотрим одну система уравнений пластичности,

которая описывает предельное состояние. Эта система может быть использована для описания пластического течения вокруг трех ортогональных осей.

Постановка задачи. Пусть x = x ма координат, u, v, w – компоненты вектора скорости деформаций,

, y = x2, z = x3 – ортогональная систе-

–

компоненты тензора скоростей деформации,

– компоненты тензора на-

пряжений. Компоненты тензора напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия

iji

(508)

По повторяющимся индексам предполагается суммирование. Девиатор тензора напряжений и тензор скоростей деформации сосны

где

ijijij

– символ Кронекера; – некоторая неотрицательная функция,

(509)

Система уравнений (508)–(509) замыкается условием пластичности Мизеса

 

132





kppp 

(510)

Известно [1], что в случае кручения призматического стержня вокруг



оси oz поле скоростей деформации имеет вид

u = –yz, v = xz, w = w(x, y). (511)

Обобщая соотношения (511) потребуем

u = u(y, z), v = v(x, z), w = w(x, y). (512)

Построим систему уравнений, соответствующую полю скоростей деформации. В результате получаем следующую систему, которая и будет исследоваться в этой работе



xzy







,31p



yzx



k

,21p







zyx

(513)

Система уравнений (496) может быть использована, в частности, для описания кручения прямоугольного параллелограмма находящегося в пластическом состоянии, вокруг трех осей (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Кручение прямоугольного параллелограмма,

находящегося в пластическом состоянии, вокруг трех осей

Предположим, что параллелограмм закручивается вокруг осей ox, oy, oz равными и противоположными парами сил с моментами При этом существует некоторые предельные моменты

, , когда

параллелепипед перейдет в пластическое состояние и начнет закручиваться. Из системы (513) видно, что такая задача является статически опреде-

133

лимой и может служить для определения значения предельных моментов

















по формулам

12*



 dydzzyM





31*

 dxdzxzM



 dydzyxM





23*



(514)

Кроме моментов (514) на тело еще действует гидростатическое давление

PP 



где  – боковая поверхность параллелепипеда.

Изучим некоторые свойства системы (496).

1. Характеристические поверхности системы (513).

Система (513) содержит конечное соотношение, связывающее вели-

.,,

чины



Дифференцируем его по x, y, z в результате получаем сис-

тему



xzy

,21p







yzx

332211





xxx

332211





yyy

332211





zzz



,32p



zyx

Уравнение характеристической поверхности системы уравнений (515) представим в виде



zyx ,,

Характеристические поверхности системы (516) находятся из определителя





zyx





zxy







yxz

321



Замечание. Нетрудно видеть, что все три последних уравнения системы (515) дают одинаковые строки в определителе (517).

Раскрываем определитель (500) по последней строке получаем

222









222





zyxx



 

(515)

(516)

(517)

222





zxyyyxzz

134

Это уравнение можно записать в виде































,0121212

 nnnnnn

(518)

где





























Одно из решений уравнения (518), которое не зависит от величин

321



таково



3,2,1

Следовательно, угол между нормалью к характеристической поверхности



характеристической поверхности образуют конус раствора

0,, zyx

и вектором равен

Совокупность элементов



вокруг

направления, которое определяется третьим корнем уравнения (518) и зависит от напряженного состояния.

2. Точечные симметрии системы уравнений (515).

Точечные симметрии широко применяются при исследовании дифференциальных уравнений. Необходимые сведения о симметриях и их примени для уравнений пластичности и упруго-пластичности можно найти в главе 2, а также в работах [11; 19].

Поскольку система (496) содержит конечное соотношение, то необходимо работать с ее следствием, которое имеет вид (516), где для удобст-

ва введены обозначения

qx



qqq 





qx

qqq 

313212111

 qqq



3 2

qx

qqq 

qpx

и т. д.

323222121

 qqq









333232131

 qqq

k

Будем искать точечные симметрии, относительно которых инвариантно многообразие, определяемое системой уравнений (519).

Согласно методике Ли-Овсянникова, будем искать допустимый оператор точечной симметрии в виде













;3,2,1

,4,3,2,1

продолжаем оператор (520) на первые производные по формулам

где

iii





Dq ,

















(519)

(520)

(521)

135

Действуем оператором (521) на систему уравнений (519) и перехо-















дим на многообразие, задаваемое этой системой. В результате получаем многочлены второй степени относительно «внутренних» – эндогенных переменных

. «Внешние» – экзогенные переменные определя-

ются из системы (519) через эндогенные переменные. В полученных многочленах второй степени приравниваем нулю коэффициенты при первых и вторых степенях эндогенных переменных. Это позволяет получить переопределенную систему линейных дифференциальных уравнений

относительно коэффициентов

. Решая эту систему, получаем следую-

щий результат

Теорема. Система уравнений (515) допускает алгебру Ли даемую операторами





113





Наличие операторов







xxX

























212



323





, где i = 1, 2, 3, 4 означают, что система (515)

допускает сдвиги и растяжение по осям x, y, z



,exp

axx

сдвиг для гидростатического давления

вращение вокруг трех координатных осей.

3. Инвариантные решения системы уравнений (515).

3.1. Построим инвариантное решение относительно подалгебры, по-

рождаемой оператором





Такое решение следует искать в виде







,, yx



., yxpp

, порож-



















' app 

















axx 

iii

, а также





,3,2,1i

(522)

Подставляем (522) в систему (515) получаем











k

,032

(523)

,1p





,1p



Из (523) без труда получаем





Теперь функции

yxgyxf 





определятся из системы уравнений



,032



,yxgyxfp









.21p



xzy

(524)

(525)

Система уравнений (525) описывает кручение стержня в условиях, когда предел текучести зависит от переменных x, y. Такие задачи рассмотрены в [3] и цитируемой там литературе.

136

3.2. Построим инвариантное решение относительно подалгебры, по-





































рождаемой оператором

Этот оператор в цилиндрической системе коор-

динат r

z имеет вид В этом случае система (523) запишется так

,pr





rrzzr









zrzzrzr

2222

k

Szrzr

rzzrr

,pr

,2 prr



(526)

Инвариантное решение в этом случае определяется из следующей системы

,02



(527)

В этом случае

,pr



rrzz



определяется из линейного дифференциального

zrzrzr

2222



k

Szrzr



rzzrr

,pr

уравнения

2222

rrr





rzzrzrzrrzr

Остальные функции определяются из системы (527).

4. Законы сохранения системы уравнений (515).

Законы сохранения находят применение для решения уравнений упруго – пластичности. Необходимые определения и примеры использования законов сохранения можно найти в Главе 2, а также в работе [18].

Будем искать законы сохранения системы уравнений (515) в виде

Это равенство выполняется в силу системы уравнений (515). Из этого следуют соотношения







X



где



X



 CABX



 BCX

Покажем, что эти уравнения совместны. Пусть

тогда одно из решений – бесконечная серия

где

 



S





SCSBSA ,,

– произвольные гладкие функции.

Замечание. Есть ли другие законы? Неизвестно, но по мнению автора других законов сохранения нет.

321321321

zyx

 CBAX



,,, SCSBSA

 ABX





 BAX



.0,,,,,,,,,

 pCpBpA

 ACX



ppp

CBA

137

5. Понятно, что для системы (496) наиболее актуально напряженное



























состояние. Пусть оно известно. Тогда для нахождения трех компонент вектора скорости имеем три уравнения











(528)

где

vue



wue

wve

(529)

Покажем, что уравнения (528) можно решить в терминах компонент тензора скоростей деформации. Как известно, компоненты тензора скоростей деформации кроме уравнений (528) должны удовлетворять еще и уравнениям совместности. В силу соотношений (529) и (512) их остается только шесть

 e

 eee

131223

yzxx

 e

(530)

 eee

231213

xzyy

xyzz

 eee

231312

Теорема. Уравнения совместности скоростей деформации выполня-

ются тождественно.

В этом случае из (528) имеем

 



 



 



21222

ekeee



22322

ekeee



21322

ekeee



(531)

Системы уравнений (514) – это система линейных однородных уравнений относительно переменных





  



.,,

eee

Ее определитель







Этот определитель равен нулю, поскольку сумма всех строк равна нулю. Это означает, что система (531) имеет только два независимых уравнения для трех компонент тензора скоростей деформации. Например,

величина

может быть выбрана произвольно, поэтому для данного

напряженного состояния, определяемого из системы (515), поле скоростей определяется с функциональным произволом.

6. В этой части рассмотрим трехмерные уравнения упругости в ста-

тическом случае. Система уравнений равновесия описывается уравнения-

138

ми (518), связь между компонентами тензора напряжений и тензора де-











































формаций имеет вид





332211











331122









112233

(532)

где



– компоненты тензора деформаций;

















vE ,,

– упругие постоянные.

Пусть компоненты вектора деформаций имеют вид



,,11zyww



zxww



zxww

(533)

Подставляя (533) в (532) получаем

 ww



 ww



 ww



(534)

В этом случае уравнения (518) с учетом (533)–(534) принимают вид

 ww

,011 ww

zzyy

zzxx

yyxx

(535)

Показано, что компоненты вектора деформации являются гармоническими функциями. Решения, полученные здесь можно использовать для описания упругого состояния параллелепипеда скручиваемого вокруг трех ортогональных осей. Причем моменты определяются из формул (514).

Поскольку



332211

то дилатация (изменение объема) равна нулю.

Решение (534) описывает вихревое перемещение, которое характеризуется вектором



kji







zyx



www

321





 

 



При этом траектории движения будут вихревыми линиями, которые определяются из уравнения



321

Рассмотрена система, которая может быть использована для анализа напряженного состояния возникающего при кручении параллелепипеда вокруг трех ортогональных осей. При этом он может находиться как в пластическом, так и в упругом состоянии.

Библиографические ссылки

1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М., ГИТТЛ, 1956.

Прагер В. Трехмерное пластическое течение при однородном на-

пряженном состоянии // Механика : сб. переводов и обзоров иностр. литературы. 1958. № 3. С. 23–27.

139

3. Ивлев Д. Д., Максимова Л. А., Непершин Р. И и др. Предельное

состояние деформируемых тел и горных пород. М. : Физматлит, 2008.

Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. М. : Наука, 1966.

Ольшак В., Мруз З., Пежина П. Современное состояние теории

пластичности. М. : Мир, 1964.

Задоян М. А. Частное решение уравнений идеальной пластично-

сти // ДАН СССР. 1964. Т. 156, № 1. С. 38–39.

Задоян М. А. Частное решение уравнений идеальной пластичности в

цилиндрических координатах // ДАН СССР. 1964. Т. 157, № 1. С. 73–75.

Задоян М. А. Пространственные задачи теории пластичности. М. :

Наука, 1992.

Сенашов С. И., Савостьянова И. Л. Новые трехмерные пластиче-

ские течения, соответствующие однородному напряженному состоянию // Сиб. журн. индуст. матем. 2019. Т. 2, № 3. С. 114–117.

10.

Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Симметрии

и законы сохранения. М. : Фактор, 1996.

11.

Аннин Б. Д., Бытев В. О., Сенашов С. И. Групповые свойства

уравнений упругости и пластичности. Новосибирск : Наука, 1983.

12.

Сенашов С. И. Решение уравнений пластичности в случае спи-

рально-винтовой симметрии // Докл. АН СССР. М., 1991.

13.

Аннин Б. Д. Новые точные решения пространственных уравне-

ний пластичности Треска // Доклады Академии наук. 2007. Т. 415. № 4. С. 482–485.

14.

Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of nonlinear partial differen-

tial equations. 2

15.

Сенашов С. И., Савостьянова И. Л. Новые решения динамиче-

edition, 2012, Taylor&Francis Group. 1875 p.

ских уравнений идеальной пластичности // Сибирский журнал индустриальной математики. 2019. Т. 22, № 4(3. 80). С. 89–91.

16.

Senashov S. I., Yakchno A. N. Reproduction of solutions for bidi-

mensional ideal plasticity // Journal of Non-Linear Mechanics. 2007. Vol. 42. P. 500–503.

17.

Senashov S. I., Yakchno A. N. Deformation of characteristic curves

of the plane ideal plasticity equations by point symmetries // Nonlinear analysis.

2009. Vol. 71. P. 1274–1284.

18.

Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симмет-

рий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : СО РАН, 2001. 201 с.

19.

Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения не-

линейных уравнений математической физики и механики. М. : Физматлит,

2005.

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.09.20262 Мб0Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем.pdf
#
06.09.2026476 Кб0Упражнения для глаз-1.pdf
#
11.08.2026476 Кб1Упражнения для глаз.pdf
#
15.08.20261 Мб0Упражнения по основам электроники.pdf
#
07.09.20261 Мб0Упражняйтесь! Ч.1. Практикум к учебному пособию «Сборник текстов для чтения на французском языке».pdf
#
08.09.20262 Мб0Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография.pdf
#
15.08.2026709 Кб0Ура, вперед! Военная песнь второй отечественной войны. Для голоса с фортепиано.pdf
#
07.09.20262 Мб0Ура, зима!.pdf
#
06.09.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3-1.pdf
#
09.08.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3.pdf
#
06.09.2026289 Кб0Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца. Учебное пособие-1.pdf