Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография
.pdf
Здесь A, B, C, произвольные постоянные, а функции определяются из системы (466). Подставляем соотношения (483) в (476). По-
лучаем следующие соотношения между функциями и постоянными
. (484)
Из (483) следует, что все компоненты тензора напряжений – постоянны и имеют вид
.
Подобное решение, при отсутствии конвективных членов было построено в [10].
Деформация нестационарного решения системы (470)–(473).
А. Рассмотрим стационарное решение (482), построенное в преды-
дущем пункте, и с помощью преобразований (475) деформируем в нестационарные решения исходной системы (470)–(473).
Имеем
. (484)
В этом случае касательные напряжения
уже не являются
постоянными на плитах, как это было в предыдущем пункте, а меняются
в зависимости от выбранной функции
грузок на плиты
тоже меняют свою форму
некоторое фиксированное число, если
, входящей в функцию (475).
. При этом сами плиты
Здесь –
, то получаем исходное ста-
ционарное решение.
Б. Рассмотрим второе стационарное решение, построенное в пунк-
те 2 Б. Его с помощью преобразований (475), аналогично предыдущему
решению, деформируем в нестационарные решения исходной системы
(470)–(473). Для этого используем замечательное свойством точечных
симметрий является то, что они решение системы (470)–(473) снова переводят в точные решения этой же системы.
+
Система (470)–(473) допускает операторы
+
121
Это означает, что она не меняется при преобразованиях
(t), (t). (485)
Здесь переменные без штриха исходные, а переменные со штрихом
получены в результате точечных преобразований, соответствующих
подалгебре, порожденной операторами
Здесь – групповые пара-
метры, которые непрерывно меняются в некоторой окрестности нуля.
Пусть
какое-то решение системы (470)–(473) тогда, согласно
(467)
есть новое решение этой же системы
(486)
,
,
тоже является точным решением этой же системы (470)–(473). Используем
это свойство для построения новых решений системы (470)–(473). Применим формулы (477) к решению, построенному в предыдущем пункте.
Имеем
. (487)
Новое автомодельное решение системы уравнений (470)–(473).
Построим инвариантное решение на подалгебре
Оно имеет вид
uu
В литературе, такие решения принято называть автомодельными.
Подставляем (470) в систему уравнений (470)–(473). Получим
1111
.
),,,(
vv
),,,(
ww
),,,(
./,/,/
txtxtx
321
pp
),,,(
(488)
, (489)
,
,
2
2222
2
3333
122
2
2
1212
2
1313
2
12
aaapapapa
2323
.
Система уравнений (489) проще, чем исходная систем уравнений,
поскольку содержит на одну независимую переменную меньше.
Будем искать решение системы уравнений (489) в следующем виде
(490)
где
– гладкая функция.
Подставляя (490) в (489) получаем
. (491).
Заметим, что уравнение несжимаемости удовлетворяется тождественно.
Из системы (491) получаем
Из последнего уравнения системы (491) следует уравнение для определения функции
. (492)
Уравнение (492) встречается при изучении поверхностей равновесия
в гидромеханике невесомости. Оно же встречается в теории пластичности
[12] при описании медленных нестационарных течений в цилиндрическом
канале, образующие которого параллельны оси z.
В общем случае решить уравнение (492) затруднительно, поэтому
рассмотрим частный случай, когда
В этом случае получаем обык-
новенное дифференциальное уравнение второго порядка, которое допускает понижение порядка и сводится к уравнению первого порядка вида
, (493)
где С – произвольная постоянная. Уравнение (493) решается квадратурами
и решение записывается в виде эллиптических интегралов первого и второго родов.
Для удобства интерпретации построенного решения, преобразуем
переменные следующим образом. Введем новые независимые переменные
по формулам
. Здесь положи-
тельные постоянные. Это преобразование сделать можно, поскольку
исходная система допускает операторы растяжения и переноса. В этом
случае построенное решение имеет вид
123
Это решение можно интерпретировать как пластическое течение
слоя расположенного вдоль оси oz, который сжимается жесткими и шероховатыми плитами в направлениях x и y. При этом плиты сближаются
с постоянной скоростью
. Тогда , толщина слоя в момент
времени
Обобщение решения Аннина на анизотропный случай.
В этом пункте обобщим решение Б. Д. Аннина [11] на анизотропный
случай. Для этого найдем инвариантное решение на двумерной подалгебре, порожденной операторами
Его следует искать в виде
u =
–
(494)
Здесь
функции определяемые из системы (460)–(463). Под-
ставляя (494) в систему уравнений (470)–(473) получаем
0, ,
Здесь
произвольные функции от t. Функции определяются из
уравнений
=
Это решение может быть использовано для анализа пластического
течения параллелепипеда, изготовленного из анизотропного материала,
сжимаемого жесткими плитами.
Заключение. Показано, как с помощью симметрий, можно стацио-
нарное решение уравнений пластичности превратить в целый класс нестационарных решений динамических уравнений пластичности. Эти решения
можно использовать для анализа динамических технологических процессов. Кроме того стандартными методами группового анализа построены
новые решения динамических уравнений пластичности.
124
4.4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩЕГО
АНТИПЛОСКОЕ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ
Рассмотрено нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее антиплоское пластическое течение. Для этого уравнения найдена
группа точечных симметрий. Вычислена оптимальная система одномерных
подалгебр. Построены новые решения.
Решение и исследование дифференциальных уравнений по – прежнему являются одной из важнейших задач современной математики.
В линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях
исследуются вопросы разрешимости смешанных, нелокальных краевых
и обратных задач, содержащие действительные параметры и дифференциальные операторы математической физики (см. [19] и цитируемую там литературу). Точные решения для линейных дифференциальных уравнений,
как правило, находят либо с помощью метода Фурье, либо с использованием функции Грина.
Точные решения для нелинейных дифференциальных уравнений
известны только в исключительных случаях. Для их поиска применяют
методы обобщенного разделения переменных, методы группового анализа [19], метод дифференциальных связей и некоторые другие. Большой
список решенных уравнений и обзор методов их решения приведен в фундаментальной работе [14]. В последнее время для решения краевых задач
для нелинейных дифференциальных уравнений начали использоваться
законы сохранения [18]. Ранее они чаще всего играли вспомогательную
роль.
Групповой анализ в настоящее время все шире и шире применяется
как для классификации не только дифференциальных, но и так называемых нелокальных уравнений. Способы использования группового анализа
к разнообразным уравнениям, которые возникают в физике и механике
можно увидеть в работах [3; 11; 18].
Постановка задачи. Известно [3], что антиплоское пластическое те-
чение описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением
x
22
ww
yx
w
y
y
022
, (495)
ww
yx
где
w
x
),( yxww
– скорость деформации пластической среды вдоль оси oz.
Индекс внизу означает дифференцирование по соответствующему аргументу, все функции предполагаются гладкими.
Уравнение (495) приведем к виду
22
wwwwwww
125
02
yyxxyyxxxy
. (496)
Это уравнение приведено в [14], там для него указаны только реше-
ния вида
),( byaxfw
(497)
ba,
где
– произвольные постоянные; f – произвольная гладкая функция.
Решения такого вида не интересны с точки зрения механики, поскольку
они соответствуют постоянным значениям компонент тензора напряжений.
Цель работы: исследовать групповые свойства уравнения (496) и
найти его новые решения и законы сохранения.
1. Точечные симметрии уравнения (496). Пользуясь методикой Ли-
Овсянникова [11] найдем точечные симметрии уравнения (496). Ищем допустимый оператор в виде
где
X
21
,,
– бесконечно дифференцируемые функции от
21
,
wyx
wyx,,
. Продол-
(498)
жим оператор (498) на вторые производные, получаем
XX
2
, (499)
wwwww
32121
yyxyxxyx
где
DwDwD
),()()(
211
xyxxx
DwDwD
),()()(
2111
xxyxxxx
DwDwD
).()()(
2123
yyyyxyy
DwDwD
DwDwD
),()()(
212
yyyxy
),()()(
2112
yxyyxxx
Здесь
wwwD
...
wxywxxwxxx
,
yx
wwwD
...
wyywxywyyy
yx
операторы полного дифференцирования.
Действуем оператором (499) на уравнение (496), получаем
2
2
В уравнении (500) заменяем
12211
w
на его выражение из (496) по фор-
xx
2
wwwwwwwwwwwww
022222
yyxyyxyxxyxxyyyxxy
. (500)
муле
22
/)2(
wwwwwww
.
yyyxxyyxxx
В результате получим полином первой степени по вторым производным
и четвертой степени по переменным
ww ,
yyxy
. Приравниваем ко-
ww ,
yx
эффициенты этого полинома к нулю. Решаем полученные дифференциаль-
21
,,
ные уравнения относительно
. Получаем, что группа точечных сим-
метрий порождается следующими операторами
X
1 x
5 x
,
X
2 y
,
xX
6 y
X
,
3 w
,
yX
126
,
yX
7 x
wX
4 w
,
8 y
,
.
xX
(501)
Операторы (501) порождают следующие непрерывные преобразо-
вания:
трансляции:
,'
axx
1
'
ayy
;
2
растяжения:
exp'
aww
;
6
XX
):
87
sincos'
axayy
;
77
.'
xshaychay
88
XX
Здесь
,exp'
,exp'
axx
4
ayy
5
вращения ((501) порождают разность операторов
,sincos'
ayaxx
77
гиперболические повороты ((501) порождают сумма операторов
):
87
a
– групповые параметры, которые меняются в некоторой окрестно-
i
yshaxchax
,'
88
сти нуля.
Знание операторов (501) позволяет описать инвариантные решения
уравнения (496). Для описания существенно различных решений этого
уравнения необходимо построить оптимальную систему одномерных по-
далгебр алгебры Ли
Определение. Две подалгебры
L
, порождаемой операторами (501).
8
LNиLM
назовем подобными
88
(4.сопряженными) если существует внутренний автофорфизм А алгебры
L
такой, что
8
).(NAM
Опишем действие внутренних автоморфизмов на операторы (501).
Известно, что каждый оператор
A
физм
Здесь
, который действует на оператор
j
],[ YX
– коммутатор соответствующих операторов,
окрестности нуля.
Для удобства приведем таблицу коммутаторов алгебры Ли (501)
(табл. 4.1).
Таблица коммутаторов алгебры Ли
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
8
X1
0 0 0 0 X
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 –X3 0 0 0 0 0
–X
1
0 –X
0 –X
–X
2
X
2
X
3
0 0 0 0 0 –X
2
1
0 0 0 0 X7 –X8
0 0 X
0 0 0 –X
X
порождает внутренний автомор-
j
X
по следующей формуле
i
2
XXXbXXbXXA
...]],,[[!2/],[)(
jjijjijiij
b
параметр из
j
Таблица 4.1
X
4
X
5
1
X
6
0 0 X2
0 X2 X
7
8
–X7 0 X6 – X
X8 X5 – X6 0
X
7
1
7
X
8
0
X
8
5
127
В табл. 1 на пресечении строки i и столбца j стоит коммутатор
].,[
XX
ji
Внутренние автоморфизмы действуют по следующим формулам
,)(
XbXXA
11551
,)(
XbXXA
33443
),exp()(
bXXA
5775
,)(
XbXXA
17227
2
XbXXbXXA
7567887
,)(
XbXXA
88668
Рассмотрим одномерную подалгебру вида
,)(
XbXXA
21881
,)(
XbXXA
34334
,exp)(
bXXA
5885
,exp)(
bXXA
6776
,)(
XbXXA
77557
,)()(
7
,)(
XbXXA
22662
),exp()(
bXXA
6886
,)(
XbXXA
28118
1
8
i
2
XbXXbXXA
8568778
XX
ii
2
которые постоянные, под действием автоморфизма А
8
51
вием автоморфизма А
будет подобна подалгебре
далгебры вида
8
3
i
XX
4
сопряженные подалгебры вида
Эта подалгебра под действием автоморфизмов А
что
2
')1(
XaX
2
i
под действием автоморфизма А
ii
, где
ii
2
8
i
'
– постоянные, которые изменились под дейст-
i
. Если положить
5
8
'
X
2
i
XX
3
под действием автоморфизма А
ii
ii
1
a
, то исходная подалгебра
5
. Аналогично можно рассмотреть по-
, и подалгебру
6
. В результате получаем не-
4
XXXXX
.
87654
и А8, при условии
2
04)(
04)(
подобна подалгебре
, то получаем еще две несопряженные подалгебры
7
''' XXX
,)(
XbXXA
15115
,)(
XbXXA
26226
,)(
XbXXA
77667
XbXXA
.)()(
8
, где
получаем
5
, если же
654
– не-
i
,)(
XbXXA
12772
,)(
88558
XXXX
и
8754
щую систему неподобных подалгебр
654
,
XXX
Найдем вид инвариантных решений на подалгебре
Имеем
функция. Если
/
),/(
yxfxw
при и
то инвариантных решений нет.
,0
Укажем вид некоторых инвариантных решений построенных на этой
подалгебре.
Здесь
21
,r
– полярные координаты;
),(,
21
C
XXXX
. В результате получаем следую-
8764
XXXX
XXXX
,
8754
/
3
weCeCrww
при
),(
xfyw
1
r
– постоянные.
i
128
CC
21
Здесь f гладкая
.0
).cossin(
. (502)
8764
(503)
.
XXX
654
Замечание. Для нахождения инвариантных решений на оставшихся
двух типах подалгебр из (484) получены обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, которые авторам монографии решить не
удалось.
2. Имеет место следующая теорема.
Теорема. Пусть
извольная гладкая функция класса
),( yxf
некоторое решение уравнения (496), w – про-
2
C одного аргумента. Тогда
)),(( yxfw
–
есть решение уравнения (496).
Доказательство теоремы осуществляется простой проверкой.
Действительно, имеем
222222
223
fffffffw
yyxxyyxxxy
.0)'2'('
)'''('')'''(''2)'''(''
fwfwfwfwffwfwfwfwfwfw
yyyxxyyxyxxxxy
Теорема доказана.
3. Законы сохранения уравнения (495).
Дадим неформальное определение закона сохранения. Законом сохранения уравнения
где
– линейный дифференциальный оператор, который не равен тожде-
ственно нулю. В этом случае
F
называется выражение вида
FBA
yx
),( BA
называется сохраняющимся током.
,
Уравнение (495) выведено из вариационного принципа и есть минимум функционала
22
yx
LdxdydxdywwwZ
.)(
Для уравнений, выводимых из вариационного принципа, каждому
оператору, допускаемому уравнением, соответствует, по теореме Нетер [4]
некоторый закон сохранения. Используем эту теорему для уравнения (495).
Заметим, что алгебра Ли допускаемая уравнением (495) есть подалгебра
алгебры Ли (501). Она порождается операторами
.,,,,,
XXXXXXXX
87654321
Укажем эти законы сохранения.
Оператору
2
w
x
L
x
L
ww
x
L
Оператору
y
yx
L
y
X
X
соответствует закон сохранения
1
ww
yx
0)()(
. Оператору
L
2
w
y
0)()(
.
X
соответствует закон сохранения
2
L
соответствует закон сохранения
3
129
w
x
x
L
w
y
0)()(
y
L
.
Оператору
w
x
w
x
L
Оператору
xL
x
Оператору
yL
x
w
y
w
y
L
wywxw
L
wxwyw
yxx
L
X
соответствует закон сохранения
4
0)()(
.
XX
соответствует закон сохранения
65
22
yxx
yL
y
XX
87
xL
y
соответствует закон сохранения
wxwyw
yxy
0)()(
.
L
22
wywxw
yxy
0)()(
.
L
Уравнение (477) имеет и другие законы сохранения. Для построения
этих законов в уравнении (496) введем следующие обозначения
vwuw
,
.
yx
В этих обозначениях уравнение(496) запишется в виде системы
уравнений
1
22
2
.0,02
vuFvuuvuuvF
xyyyx
Пусть компоненты сохраняющегося тока зависят только от
, тогда
vu,
имеем
Из этого соотношения, после исключения
yvyuxvxuyx
i
FFvBuBvAuABA
.
2211
2,1,i
получаем систему
линейных дифференциальных уравнений
222
AuBvuvAABv
.0,02)(
uvuvu
(504)
Укажем некоторые решения уравнений (496). Пусть
. (505)
)/(),/( vuGauBvuFavA
где
– произвольные непрерывно дифференцируемые функции; a –
GF,
произвольная постоянная.
Подставляем соотношения (505) в (504) получаем одно дифференциальное уравнение на две функции
, которое имеет вид
GF,
(506)
GvFu
.0''/
Предложение. Уравнение (496) допускает бесконечную серию зако-
нов сохранения, причем компоненты сохраняющегося тока связаны уравнением (506).
Замечание. Систему уравнений (506) можно свести к линейному гиперболическому уравнению второго порядка
22
AvuvAAu
.02
vvuvuu
(507)
Это уравнение имеет две характеристики
vuvu
130
.12,12,/,/
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]