Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография
.pdf
λ
),(21II
,
),(21II
удовлетворяют всем условиям, которые обычно налага-
ются на эти величины.
Будем искать решения системы (325), описывающие кручение параллелепипеда.
Решения системы (325). Потребуем, чтобы компоненты вектора де-
формации имели следующий вид
u = u(y, z), v = v(x, z), w = w(x, y) (327)
Подставляя (327) в (326) и (325) получим систему уравнений, соответствующую полю деформаций (327). В результате система, которая и
будет исследоваться в этой работе, имеет вид
F
1
12
yz
F
0,
2
13
xz
0,
Здесь для удобства введены обозначения
F
3
23
xy
12 3
,,.
12 13 23
0.
(328)
Система уравнений (328) может быть использована, в частности, для
описания кручения прямоугольного параллелограмма находящегося в упругом состоянии, вокруг трех осей (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Кручение параллелепипеда вокруг трех осей
Предположим, что параллелепипед закручивается вокруг осей ox, oy,
oz равными и противоположными парами сил с моментами М
, М2, М3.
1
При этом предполагается, что параллелепипед закручивается, находясь
в упругом состоянии. Из системы (328) видно, что такая задача является
71
статически определимой и может служить для определения значения мо-
M
M
M
f
f
f
H
H
H
H
ментов, которые задаются формулами
21
1
2
3
yzdydz
13
z x dxdz
32
xydydx
,
,
.
(329)
Изучим некоторые свойства системы (328).
Из (7.4) получаем
21 22
xy xz
21 23
0,
xy zy
22 23
0,
(330)
zx zy
0.
Система (330) есть система трех линейных однородных уравнений
с тремя неизвестиыми. Поскольку ее определитель отличен от нуля, получаем
21
xy
0,
22
xz
0,
23
(331)
yz
0.
Из (331) имеем
1
(,) (,),gxz f yz
11
2
(, ) (,),hxy f yz
12
3
(, ) ( 1,2)
(,), (,),
gxz f yz
где
ii
hxy i
i
связанные уравнениями (330).
Подставляя соотношения (332) в уравнения (330) имеем
(,) 0,
(,)
yz
1
y
Введем функции
(,)
yz
1
Ggxz
x
fyz
2
z
(, )
hxy
1
x
,,FGH
,zF
(,),
2
Отсюда следует
1
(,) (,)gxz f yz
11
(, ) (,),hxy g xz
22
(332)
– произвольные гладкие функции,
(,)
gxz
1
x
(, ) 0.
hxy
2
y
по следующим формулам
hxy
2
(, ),
(,)
yz
2
x
gxz
2
y
,yF
G
z
y
+
Ggxz
z
hxy
1
,zF
(,) 0,
(,),
1
(, ),
2
(, ) (,)hxy f yz
12
3
(, ) (,)hxy g xz
22
72
y
.
x
,yF
(333)
G
x
В результате получаем, что касательные компоненты тензора напря-
x
x
A
B
x
жений зависят от трех произвольных функций
( , ), ( , ), ( , ).Fyz Gxz Hxy
Задавая эти функции мы можем определить моменты по формулам (329),
которые скручивают параллелепипед вокруг трех осей.
Характеристические поверхности системы (330).
Уравнение характеристической поверхности системы уравнений
(330) представим в виде
,, 0xyz
Характеристические поверхности системы (330) находятся из определителя
yz
xz
0
0
xy
0
20.
xyz
Отсюда следует, что характеристические поверхности могут быть
одним из следующих трех видов
,,
y
1
2
,,
z
Следовательно, грани параллелепипеда на рисунке 3.1 являются характеристическими поверхностями системы (330).
Законы сохранения системы (330).
Законом сохранения системы уравнений (330) назовем выражение
вида
(334)
,.yz
3
(335)
x
yz
где A, B, C – искомые функции от
CF F F
11 2 3 3 3
,,, , ,xyz
123
;
,
(336)
– некоторые функции,
i
которые одновременно не обращаются тождественно в ноль. Величины A,
B, C называются компонентами сохраняющегося тока.
Раскрывая соотношение (336) получаем
11 1 2 13
,A
21 22 23
,B
31 32 33
.C
Здесь
iii
,,
функции только от
,,.
yz
Из уравнений (336) получаем
131223321
13
xy
,, , 0
0,
12
xz
0,
73
21
yz
,
(337)
0.
Из формулы (337) получаем
g
f
f
f
f
y
11 2 11 2 21 2
Здесь функции
(,) (,), (,) (,), (,) (,).a xy a yz b xz b yz c xy c xz
121212
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )axy a yz bxz b yz cxy cxz
произвольные гладкие функции двух переменных.
В силу уравнений (337) получаем следующие соотношения между
этими функциями
1
(, ),
hxy
y
1
2
(, ),
hxy
x
(,),
y
yz
1
2
(,),
z
z
xz
(,).
yz
Окончательно получаем вид сохраняющегося тока
( (,) (,)) ( (,) (,)) ,
A hxy fyz gxz fyz
Bhxygxz
Chxygxz
yy zz
((,) (,))
xx
((,) (,))
xx
12
1
((,) (,),
gxz f yz
zz
2
((,) (,)).
hxy f yz
yy
–
2
(,),
gxz
x
3
3
(338)
Здесь
В частности, если положить
– произвольные гладкие функции.
,,
gh
,,,
Fg Gh H
то получаем сле-
дующий закон сохранения
12
()
x
13
()
y
23
()0.
z
Показано, что система уравнений (330) допускает бесконечную
серию законов сохранения вида (338). Более подробно с построением
и использованием законов сохранения в механике можно ознакомиться
в главе 2 и статье [11].
Деформации, соответствующие напряженному состоянию (333).
Раннее, мы нашли решение системы (330) в терминах компонент
тензора напряжений. Теперь решим эту же систему в терминах трех компонент вектора деформации. Имеем три уравнения
1
12
2
,
13
3
,
23
,
(339)
где
2,
2,
12
uv
x
13
uw
zx
2.
23
vw
zy
(340)
),(21II
Предположим, что λ
антов, а
),(
II
21
= const.
по-прежнему есть функция двух инвари-
Тогда система уравнений (330), в предположении, что выполнены
условия (7.3):
u = u(y, z), v = v(x, z), w = w(x, y)
74
в компонентах вектора деформации сводится к трем уравнениям Лапласа
x
vv
yy zz
0,
uu
xx zz
0,
ww
xx yy
0.
(341)
Показано, что компоненты вектора деформации являются гармоническими функциями. Решения системы уравнений (341) можно использовать для описания деформированного состояния параллелепипеда скручиваемого вокруг трех ортогональных осей. Для этого следует восстановить
компоненты тензора напряжений по формулам (339). Поскольку
0,
11 22 33
то дилатация (изменение объема) равна нулю. Решение
уравнений (341) описывает вихревое перемещение, которое характеризуется вектором
ijk
uvw
yz
.
При этом траектории движения будут вихревыми линиями, которые
определяются из уравнения
dx dy dz
.
uvw
Для уравнений (341) можно поставить задачи, характерные для уравнений Лапласа: граничные задачи первого и второго рода. Решение этих
задач общеизвестно, поэтому здесь не приводится.
Таким образом, рассмотрена и решена система, которая может быть
использована для анализа напряженного состояния возникающего при
кручении упругого параллелепипеда вокруг трех ортогональных осей.
3.8. ПРОДОЛЬНЫЕ СДВИГОВЫЕ ВОЛНЫ
В УПРУГОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ
Строятся новые решения, которые можно, в частности, использовать
для описания сдвиговых волн возникающих в упругом параллелепипеде
конечных размеров. Эта задача сведена к трем волновым уравнениям
с двумя пространственными переменными. При этом задаются произвольные начальные данные, а на границах можно ставить любые условия,
которые относятся либо к первой, либо второй, либо третьей, либо смешанной краевым задачам.
Решению упругих задач посвящено много статей и монографий.
Особенно много работ посвящено плоскими задачами, поскольку они сводятся к уравнениям Коши–Римана, обстоятельно изученных математиками. Также достаточно хорошо исследованы задачи, описывающие упругое
75
кручение стержней и упругий изгиб балок. Менее исследованы пространственные задачи, но и здесь есть развитые методы, которые используют
гармонические функции для представления решений. Для этих задач имеются решения, которые описывают напряженно- деформированное состояние пространства, полупространства ограниченного плоскостью и т. п.
Если рассматривать динамические задачи, то здесь наибольшее внимание
уделяется различно рода волнам. Это не случайно, поскольку именно они
и представляют набольший практический интерес. Наименее изученной
областью в теории упругости представляют собой задачи, описывающие
упругое состояние пространственных тел конечных размеров. Это происходит потому, что, не смотря на линейность исходных уравнений решение
краевых задач для этих уравнений трудно осуществимо [2].
Здесь строятся новые решения, которые позволяют описать сдвиговые волны, которые могут возникать в упругом параллелепипеде. Эта задача сведена к трем волновым уравнениям с двумя пространственными
переменными. При этом задаются произвольные начальные данные, а на
границах можно ставить любые условия, которые относятся либо к первой,
либо второй, либо третьей, либо смешанной краевым задачам.
Постановка задачи. Рассмотрим классические уравнения упругости
(342)
где u, v, w – компоненты вектора перемещений,
– упругие постоянные,
– упругое объемное расширение, – плотность, которая
считается постоянной.
Уравнения (8.1) хорошо изучены. Для них построено много точных
решений и существует много методов их решения. Для системы (8.1) найдена группа точечных симметрий. Эта группа, в силу линейности уравнений, является бесконечномерной [6]. На ее основе с помощью техники
группового анализа построен ряд инвариантных и функционально инвариантных решений, которые можно использовать для решения конкретных
физически осмысленных задач.
В этой работе мы будем искать решение уравнений (342) в следующем виде
. (343)
Решения такого вида уже искались для уравнений идеальной пластичности [6]. Это позволило получить для уравнений пластичности новые
решения и законы сохранения.
76
Поиск решений. Подставим (343) в систему уравнений (342). В ре-
зультате получим следующие три волновых уравнения
(344)
где
Из (8.2) следует, что
.
, поэтому отсутствует упру-
гое объемное расширение и деформация состоит лишь из сдвиговых искажений и вращений [2]. В силу этого уравнения (344), можно назвать
уравнениями, описывающими сдвиговые искажения [2]. Из (344) следует,
что каждое уравнение этой системы описывает только поперечные волны.
В этом случае компоненты тензора напряжений равны
терминах компонент тензора напряжений уравнения (344) запи-
В
шутся так
(345)
Замечание. В стационарном случае система (345) превращается
в замкнутую систему. Она содержит три уравнения на три компоненты
тензора напряжений.
.
77
Такие системы Д. Д. Ивлев называл описывающими предельное со-
стояние деформируемого тела и придавал им особое внимание [14].
Первая краевая задача для уравнений (344). Рассмотрим прямо-
угольный параллелепипед
На гранях этого параллелепипеда по-
ставим первую краевую задачу для первого уравнения системы (344):
Тогда ее решение имеет вид [15]
yz yz
11 11
(,,) (,) (,,,,) (,) (,,,)
uyzt f Gyz tdd f Gyz dd
t
01
yz yz
00 00
z
t
1
2
2
0
2
0
z
t
z
t
0
1
z
0
1
2
0
y
1
3
y
0
)],,,,()[,(
)],,,,()[,(
y
ddtzyGga
y
0
1
–
ddtzyGga
+
)],,,,()[,(
ddtzyGga
z
0
–
(346)
y
t
1
2
0
4
y
0
)],,,,()[,(
ddtzyGga
z
1
,
где
),,,,(
tzyG
lal
21
nm
p
11
n
l
14
mn
m
q
l
21
22
.,,
qp
mnnmmn
Для других уравнений системы (344) первая краевая задача ставится
аналогично, а решение строится по приведенной выше формуле.
78
),sin()sin()sin()sin()sin(
taqpzqyp
nmmnmn
Построенное решение первой краевой задачи позволяет описать
распространение поперечных упругих волн в параллелепипеде, грани которого движутся по законам, определяемым формулами (346) и инициированы начальными условиями.
Замечание. Особый интерес представляет случай, когда все функции
равны нулю. Это соответствует случаю, когда параллелепипед
жестко закреплен по всем своим граням.
Вторая краевая задача для уравнений (344). Рассмотрим прямо-
угольный параллелепипед
На гранях этого параллелепипеда
поставим вторую краевую задачу для первого уравнения системы (344):
(347)
где все функции
Тогда ее решение имеет вид [17]
yyz
101
tzyu
t
z
0
2
z
t
z
0
2
1
0
t
0
2
0
предполагаются гладкими.
yyz
101
01
z
1
z
0
y
t
1
y
0
10
z
0
),,,,(),(
22
03
ddzyGfddtzyGf
),,,(),(),,,,(),(),,(
ddtyzyGga
+
(348)
ddtyzyGga
),,,,(),(
–
ddtzzyGga
),,,,(),(
+
2
y
t
y
0
1
14
0
ddtzzyGga
),,,,(),(
,
79
где
p
t
(,,,,)
Gyz t
ll all
12 12
nm
A при nm при nm n m при nm
nm
A
nm
cos( )cos( ) cos( )cos( )sin( );
11
mn
pq pq
nm nmnm
0, 0, 1, 0, ( ), 2, 0.
yqz p q at
nmnm nm
nm
,, ,
ll
12
2
22
Для других уравнений системы (344) вторая краевая задача ставится
аналогично, а решение строится по приведенной выше формуле.
Вторая краевая задача для уравнения (344) означает, что на гранях
параллелепипеда заданы сдвиги в направлении соответствующих производных.
Третья краевая задача для уравнений (344). Рассмотрим прямо-
угольный параллелепипед
На гранях этого параллелепипеда поставим тре-
тью краевую задачу для первого уравнения системы (344):
;
;
;
;
,
где
некоторые постоянные.
Тогда ее решение имеет вид (348), где
(,,,,) sin( )sin( )
Gyz t y z
41
a
nm
11
E
sin( )sin( )sin( ),
nn m m nM
22
nm n m
nn mm
22
at
(349)
n
arctg
n
,
l
1
80
arctg
m
m
,
l
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]