Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1917 18 19 > Следующая >>>

Перепишем уравнение (624) для функций A и B:











Разобьем границу

– окружность

 





 

 

 







vdy

















 



 















dxuvdyvuBdxAdy











ГГГ



dxvudy 0

 

 



 

 

dxdx

на части (рис. 5.5), т. е.

 

Ryyxx 











dxdx





ГГ









 

 



















vdy



 

 

 



 













dxudx





ГГГГ

(632)

ГГГГГ 

, где

4321

Рис. 5.5. Граница

Тогда



  

Очевидно, что

условия уравнение (633) примет вид



Вычислим интеграл



, где



dxvudydxvudydxv



ГГ



ГГ



ГГ

– окружность радиуса R.





dxvudydxvudy







dxvudydxvudy



udydxvudydxvudyBdxAdy





ГГГГ



.042

С учетом этого



(633)

(634)

161

















































тогда

Пусть









Введем полярную систему координат



 



В результате вычислений при



sin

cos







dRdx



dRdy



Аналогично при



yyxx



arctga

  





cos

 ,











Rxx

cos

Ryy

sin





sin



0R

, получим









yyxx

(635)

(636)

yxudxvudy

(637)

(638)

udy v dx v x y



В результате из () имеем



Зададим кривую



где



,' tf

– соответственно производные функций

Тогда функции по следующим формулам



yxu







yxv















 

Для получения этих соотношений использованы решения (631) и (635) соответственно.

udyvdxvxy

222 00







 





















yxudxvudy

00111



в параметрическом виде:





,tfx 

,,00yxu









,ty



,,00yxv

из (640), (641) будут вычисляться

ttfxtf







ytxtf



ttfyt

,0 Tt



arctgtaf





 

ln'

(639)

(640)

(641)

(642)









xtf



 

 

(643)









dtytxtftf

 

162

Теперь вычисляем значение выражения

















в точке



Те точки, в которых (610) больше или равно единице при-

vu 

(644)

надлежат пластической области, а те в которых выражение (610) меньше единицы – упругой.

На основе формул (634), (635) созданы программы, которые позволяют с любой точность строить пластические и упругие области в скручиваемом стержне [8; 9; 10].

Решение тестовых задач показало хорошее совпадение с известными решениями.

5.10. УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ ГРАНИЦА В ИЗГИБАЕМОЙ КОНСОЛИ

Рассмотрим консоль постоянного сечения, ограниченного контуром Г. Консоль находится под действием сосредоточенной силы P на свободном конце параллельно главным осям (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Упруго пластическая граница

в сечении консоли

Пусть компонента тензора напряжений консоли как и в случае чистого изгиба





Пусть компоненты тензора напряжений таковы

Тогда оставшиеся компоненты тензора напряжений удовлетворяют уравнениям













,0



распределена вдоль оси



xzip

xyyx







(645)

163

Обычно уравнения (645) заменяют двумя уравнениями совместности











































1 vl



где



– оператор Лапласа;

но решается полуобратным методом Сен-Венана.

Запишем систему (645) в терминах вектора деформаций (u, v; w). Для полученной системы будет поставлена краевая задача, и она будет решена с помощью законов сохранения.

Используя формулы, связывающие компоненты тензора напряжений и тензора деформаций, имеем

где

























– коэффициенты Ламе;

,02 











,0













,02 







zlp





(646)







































































– искомые функции

от x, y.

Из первых трех уравнений (646) мы получаем



где постоянные



BA ,



могут быть легко выражены через





,11xBxzA

xBxzA





,33xBxzA

.,,, lp

(647)

Из уравнений (647) мы получаем

zBzA





,,/

yxVv





VxUzy





.0//



xxyyxy

где

xzA

VU ,,

– искомые функции.

Из соотношения



 











yxxzB







0

находим



Соотношения



 

подставляем в предыдущее уравнение, в результате получаем







xxxx

yyyy





xAxA

yyxx





xBxzAUz

111

xBxzAUz

222

,,/

yxUz

164

Предположим, что боковая поверхность бруса свободна от напряже-

















































ний. Это означает, что

,012 nn

(648)



где

,nn



yzxz

– внешняя нормаль к контуру Г. Мы предполагаем, что пласти-

ческое течение начинается с внешней стороны боковой поверхности бруса. Условие пластичности Мизеса в этом случае имеет вид

где k – постоянная пластичности. Решая систему (648), (649) получаем



222



yzxz

.2kn

(649)

Выбирая в этих соотношениях верхний знак мы получаем следующую задачу. Необходимо решить уравнение

При следующих условиях на Г:



 

 







yyxx



 





,ax



xyAkn



(650)

(651)



Замечание. В сечении бруса есть две зоны пластическая и упругая. Если в некоторой точке выполнено условие

,122



yzxz

Она попадает в упругую зону. Остальные точки, включая границу контура Г, принадлежат пластической зоне.

Соотношение в форме

 BA

(652)

Назовем законом сохранения (652) для уравнения (10.6) если уравнение (652) верно для всех решений уравнения (650). Пусть сохраняющийся ток имеет вид

 

Из (10.6) и (10.8) мы получаем



,,,, yxyxyxA



111





11111





yyyyyxyxyxyxxyxxyy

.,,,

yxyxyxB

(653)

Соотношение (653) верно для всех решений уравнения (650), поэтому из (653) мы имеем

,0





(654)

Закон сохранения (652) может быть записан с помощью формулы Грина следующим образом







165

yxyx

 dxdy

Рассмотрим два решения уравнений (654).

















Первое решение возьмем в виде









yyxx











yyxx

,0

xa





 

arctgax

 











Второе решение пусть будет таким











yyxx







yyxx







xa

Используя закон сохранения и применяя его к контуру изображенному на рис.6, аналогично предыдущему параграфу, мы получаем









dxdy



yxyx









Ryyxx





dxdy



yxyx

Вычислим второй интеграл для первого и второго решений уравнения (10.10), в результате получим формулы для нахождения



состояние в произвольной точке

Формулы для





, yx

позволяют найти напряженное



, yx

. Это означает, что мы можем



,,00yx

для каждой точки области определить в пластической или упругой зоне она находится. Изложенный здесь метод позволяет построить границу между упругой и пластической зонами с любой степенью точности на компьютере. Предварительные вычисления подтверждают этот вывод.

5.11. УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ ГРАНИЦА

ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ

В этом параграфе мы ограничимся областями, граница которых гладкая выпуклая кривая.

Рассмотрим область, ограниченную контуром

(рис. 5.7).

Рис. 5.7. Область больших размеров

166

Пусть на Г заданы граничные условия, в этом случае они запишутся



































так



xyx



yxy

,Yml



(655)

,Xml



Кроме того предположим, что нагрузки на границе таковы, что вся граница и близкие к ним точки области находятся в пластическом состоянии. Тогда можно ввести переменные



,2cos

по следующим формулам

,2cos

.2sin

(656)

В этом случае условия (655) запишутся так



Эти условия можно записать в следующем виде





,2sin2cos Xmklk 



,'X

Y





.2cos2sin Ymklk 

(657)

Тем самым на границе Г мы имеем задачу Коши в пластической области (рис. 5.8). Решая эту задачу по формулам §9 вдоль

получаем два

семейства характеристик.

Рис. 5.8. Упруго-пластическая область

Для этих характеристик строим огибающую

(линию возврата). Эта огибающая (линия возврата) и будет искомой упруго-пластической границей. Теперь достаточно решить упругую задачу внутри области огра-

ниченной кривой

и упруго- пластическая задача будет полностью решена.

Теперь можно поставить задачу Коши для системы пластичности

(594)–(595).

Пусть на части граничной линии Г, которую обозначим SP заданы

начальные данные:





Выпустим характеристику

ристику

constRS 

из некоторой точки S. Тогда решение задачи Коши

определено в криволинейном треугольнике





constPR

из точки P и характе-

SPR

(рис. 5.9).

Таким образом, необходимо определить координаты точки

пересечения характеристик. Зная координаты точки

определим в ней значение функций

00

167



yxR ,

и значения

(658)







Рис. 5.9. Задача Коши

SPR

Запишем интеграл по замкнутому контуру

. Используя соотношение (596) в теореме Стокса для плоскости [4], заключаем, что этот интеграл равен нулю:

1. Для координаты

Интегралы





 

 



Полагая









 









,1

CdyDdx

имеем:

CDCdyDdx





SPRSPR

берутся по частям:







 





PRPR



RSRS

получим граничные условия для системы (604)

,0









RSPRSPR SP

 

.dx





















dxxdxdxCctgDdx







PRPR











RSRS



dxxdxdxCctgDdx



вида:

При таких граничных условиях, окончательное выражение для

координаты

принимает вид:



SPR



xxCdyDdxCdyDdx







xCdyDdxx 



,1'





168

(659)



,0



(660)

2. Аналогично, для координаты

















Интегралы

 









dyC

 





 















 

dyC



 



берутся по частям:





CctgD



ctg



CtgD



имеем:





DCdyDdx

 





SPRSPR





RSRS



PRPRPR









ctg

 

.dyC









 

PRPR























ctg





 

RSRS









 













ctg









Полагая

получим граничные условия для системы

,0

(8.10) вида:







 tg



(661)

При таких граничных условиях, окончательное выражение для

координаты

принимает вид:

SPR











yCdyDdxy 





CdyDdxCdyDdx



ctg









,0

(662)

Остается только решить задачи (604), (659) и (604), (661). Эти задачи для системы можно свести к следующим задачам для одного уравнения (8.11). А именно, учитывая, что







cos

связаны с функцией  так:





sin







(663)





получим задачи:



















cos













(664)























sin













(665)





169

Общим решением первой задачи (664) (для координаты

















функция:

   







причем









1 4

cos













Решением второй задачи (664) (для координаты функция:

   







причем









1 4

Во всех решениях фунция типа мнимого аргумента,

Функции

sin













восстанавливаются по формулам (604). Из

) является







































,10









sin

cos,

0001









001

sin







sin,

0002

















cos







001





cos





является функцией Бесселя первого



.00

I

















) является







(666)

(667)















(668)

(669)

соотношений (604) определим компоненты законов сохранения:





ctgtg





ctgtg





ctgtg









,cossin



(670)

.cossin



Подставляя найденные C и D в (660) и в (662), определим координаты точки

. Таким образом, задача Коши для системы пластичности (594), (595) с начальными данными (658) полностью и конструктивно решена.

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1917 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.09.20262 Мб0Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем.pdf
#
06.09.2026476 Кб0Упражнения для глаз-1.pdf
#
11.08.2026476 Кб1Упражнения для глаз.pdf
#
15.08.20261 Мб0Упражнения по основам электроники.pdf
#
07.09.20261 Мб0Упражняйтесь! Ч.1. Практикум к учебному пособию «Сборник текстов для чтения на французском языке».pdf
#
08.09.20262 Мб0Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография.pdf
#
15.08.2026709 Кб0Ура, вперед! Военная песнь второй отечественной войны. Для голоса с фортепиано.pdf
#
07.09.20262 Мб0Ура, зима!.pdf
#
06.09.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3-1.pdf
#
09.08.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3.pdf
#
06.09.2026289 Кб0Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца. Учебное пособие-1.pdf