Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография
.pdf
В результате мы получили алгоритм построения законов сохранения,
состоящий из трех этапов:
1) решение системы (191);
2) проверка условия (192);
3) восстановление оператора
из условия (191).
Из всех этапов наиболее трудоемкий 1 и наименее алгоритмичен 3,
но, как показали конкретные вычисления, все трудности здесь вполне преодолимы.
Способ построения законов сохранения, описанный выше, удобен
для построения законов сохранения с математической точки зрения как
описание всех законов сохранения, которые допускаются данной системой
дифференциальных уравнений. Механиков часто интересуют другие вопросы: описать все законы сохранения, для которых сохраняющийся ток
зависит от производных определенного порядка, это бывает связано с тем,
что для «старших» законов сохранения трудно дать механическую интерпретацию.
В этом случае удобен такой алгоритм.
AA A
Пусть
ii
AAxuuu
(,,,...,,...)
(,..., )
1
s
1
. Это означает, что
n
– сохраняющийся ток уравнения F = 0,
div A
(F), (193)
– некоторый линейный дифференциальный оператор.
где
Последнее соотношение и служит для определения компонент
*
вектора А. Затем вычисляем
(), что дает производящие функции этих
законов сохранения, и проверяем условие (192). Этот путь гораздо предпочтительнее с точки зрения механики в силу своей простоты, а проверка
условия (192) дает ему достаточную строгость и позволяет отбрасывать
тривиальные законы сохранения, что особенно важно для «старших» законов сохранения.
Высшие симметрии – это линейное пространство и одновременно
алгебра Ли. Это позволяет при описании и построении высших симметрий
пользоваться преимуществами и первой и второй структур. Совокупность
производящих функций законов сохранения образует только векторное
пространство, что может затруднить компактное описание всех законов
сохранения. Но часто выход из затруднительного положения здесь дают
высшие симметрии и рекурренции. Высшие симметрии являются автоморфизмами на множестве всех производящих функций законов сохранения, а именно – справедлива теорема.
Теорема 2.7. Если f – симметрия, а g – производящая функция закона
сохранения системы уравнений F, то
g
41
*
,
gflgf
(194)
также является производящей функцией закона сохранения. Здесь опре-
M
A
R
x
I
деляется из условия
() ()
F
.
lf F
Пусть F = 0 линейная система дифференциальных уравнений. В этом
случае ее можно записать в виде
0
uM
,
где М – матрица, состоящая из линейных дифференциальных операторов
размерности
nm
. Пусть
*
– матрица, сопряженная к M, и
.0* vM
Тогда имеет место известное равенство
TT
1
1
AAvMuuMv
...*
. (195)
nxx
n
Формула (4.8) позволяет существенно сократить и упростить вычисление законов сохранения для линейных систем дифференциальных уравнений.
2.5. ГРУППОВОЕ РАССЛОЕНИЕ
Пусть имеется система уравнений F и допускаемая ими группа
непрерывных преобразований G . Тогда систему уравнений F можно,
относительно группы G на автоморфную систему
систему
из одного решения системы
F . При этом все решения автоморфной системы получаются
F
с помощью преобразований группы G ,
F и разрешающую
а решения разрешающей системы при этих преобразованиях переходят сами в себя. Алгоритм такого расслоения системы F описан в [1]. В качестве
примера такого расслоения рассмотрим систему уравнений асимметричной
теории упругости, построенной в [4]. Эта система имеет вид [6]:
1
u
tt
2
u
tt
0
0
21
uu
xyxx
21
uu
yyyx
Коэффициент плотности положили равным единице. При этом
0, 0,0 | | ( ) / 2.
0
Известно, что система (5.1) допускает бесконечномерную подалгебру, которая порождается операторами вида
12
где
hh
12
,hh – произвольное решение системы Коши-Римана.
(197)
12
xy
uu
Базис дифференциальных инвариантов первого порядка для (197)
можно выбрать так
,,,,,,.
tI xI yI u u I u u I u I u
12 3 4 5 6 7
12 21 1 2
yxy tt
42
11
0
0
uu
yyxx
. (196)
22
uu
yyxx
Тогда согласно [1] автоморфная система имеет вид
x
x
x
x
x
x
12 21 11 22
u u txy u u txy u v txy u v txy (198)
xy xy t t
(, , ), (, , ), (, , ), (, , ),
а разрешающая запишется так:
1
v
t
2
v
t
2
00
12 21
vv txyvv txy (199)
xy t xy t
(, , ), (, , ).
00
2
x
y
y
,
x
Система уравнений (196) равносильна системе уравнений (198)
и (199). В [6] показано, что в разрешающей системе (198) можно заменить
функции
12
,vvна вектор перемещения
12
,.uu В результате система (198)
запишется так:
1
u
t
2
u
t
2
00
12 21
uu txyuu txy (200)
xyt xy t
00
2
(, , ), (, , ).
x
y
y
,
x
В [6] показано, что система уравнений (200) равносильна исходной
системе (196), т. е. любое решение системы (196) является решением системы (200) и наоборот любое решение системы (200) является решением
системы (196).
2.6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Законы сохранения эффективно используются для решения краевых
задач для двух квазилинейных уравнений первого порядка. Есть примеры
решения таких задач для уравнений гиперболического и эллиптического
типов. Покажем, что задача Коши для системы уравнений гиперболического типа может быть сведена к краевой задаче для линейного уравнения
с переменными коэффициентами второго порядка.
Рассмотрим систему двух квазилинейных уравнений гиперболического типа
(,)
auvu
1
(,)
auvu
2
(,)
auvv
y
3
(,) 0,
auvv
4
y
(201)
(,)
где ,
buvu
1
y – декартовы координаты; u,v – искомые функции; , , ,
(,)
buvu
2
(,)
buvv
y
3
(,) 0,
buvv
4
y
uvuv –
xyy
производные по соответствующим переменным.
43
Система (201) может быть записана в виде
A
где ,
– инварианты Римана. Характеристики системы (201) имеют вид
F
1
dy
dx
1
xy
1
(, ),
0,
F
(202)
2
dy
(203)
dx
2
xy
2
(, ),
0,
Соотношения на характеристиках запишем так
const,
0
(204)
0
const.
Замечание. Система уравнений (202) может быть линеаризована
преобразованиями годографа и приведена к виду
1
0,yx
2
(204)
0.yx
Это преобразование возможно только в том случае, когда якобиан
(, )
(, )xy
что накладывает существенные ограничения на использование
0,
уравнений (204) для решения краевых задач.
Для системы уравнений (201) поставлена задача Коши
|(,),
uuxy 0|(,),
0
L
vvxy (205)
L
где L не совпадает с характеристиками (203) и каждая характеристика пересекает L только один раз. (см. рис. 2.1 [5])
(, )mm есть пересечение характеристик, исходящих из то-
12
(, )Qq q , принадлежащих линии L.
12
чек
Точка М
(, ),Pp p
12
Для решения этой задачи построим законы сохранения системы
уравнений (202).
Определение. Законом сохранения для системы уравнений (202) на-
зовем выражение вида
где
, – функции одновременно не равные тождественно нулю. Функ-
12
(, ) (, ) ,
xy
BFF (206)
11 2 2
ции (A,B) называются компонентами сохраняющегося тока.
Замечание. Более общее определение закона сохранения можно най-
ти в [5; 7], для решения нашей задачи достаточно ограничиться этим определением.
44
Из (206) получаем
x
x
x
AA
x
BB
=
yy
()
1
1
y
()
.
2
2
y
(207)
Из (207) получаем следующую систему уравнений на компоненты
сохраняющегося тока
1
,
,BA
2
AB (208)
которая с точностью до обозначений совпадает с системой (202), но в отличии от (202) система (208) получена без каких-либо условий на якобиан.
Из (208) получаем
12 1 2
()( ) 0AA A A
(209)
или
12
(1 / 1 / )( ) ( ) ( ) 0BB B B
11
12
.
(210)
Сделаем преобразования уравнений (210) по следующим формулам
где
12
,, ,
12
12
, некоторые функции ,
,A
12
(211)
,B
. Подставим (211) в (208)
и потребуем выполнение следующих условий
111
222
0,
121
0,
0,
212
(212)
0.
Из (212) получаем
12121
() 0,
12212
() 0.
(213)
При выполнении условий (213) получаем следующие уравнения
на ,
11 2 21
() 0,
21 2 12
() 0.
(214)
Из (206) получаем закон сохранения в интегральной форме
0.
PQM
Ady Bdx
. (215)
Соотношение (215) есть сумма трех интегралов
Ady Bdx
PQM PQ QM MQ
45
0
.
Имеем
A
A
M
A
x
A
A
A
x
A
A
M
A
QM
dy Bdx
dy Bdx
MP
Пусть
При выполнении условий (218) из (215) получаем
или
Преобразуем условия (218), для этого продифференцируем первое
равенство по
2
()
QM
()
MP
2
()|1,
AB
Ady Bdx Ady Bdx m p q
PQM L
2.
Bdx
1
Bdx
PM
mpq AdyBdx
111
, а второе по
2
()|
()|
()|1.
(218)
1
1
AB
Bx
Q
QM
P
Bx
MQ
20
111
dAB
MP
2
();
dAB (216)
1
().
(217)
. (219)
L
, в результате получим, после несложных
преобразований,
(/ )| 0,A
1
0
(/ )| 0.A
2
(220)
0
Из (220) получаем
|,AC
0
1
1
|,AC
0
2
(221)
2
Из (221) следует условие согласования
1
(, )C
100
2
(, )C
.
200
Тем самым для нахождения первой координаты точки M необходимо
решить линейное уравнение с переменными коэффициентами (210)
с краевыми условиями (218), потом восстановить из уравнений (209) компоненту сохраняющегося тока B и выполнить интегрирование в (219)
по кривой L.
Аналогичные операции следует проделать для нахождения второй
координаты точки M –
.m
2
Получаем
2
Bdy
QM
dy Bdx
QM
(/)
=
(/)|
2
By
Q
46
yd A B
QM
(/);
(222)
2
A
A
M
A
MP
=
(/)|
dy Bdx
MP
1
By
P
Пусть
(/)
(/).
yd A B
MP
1
Bdy
1
(2.23)
При выполнении условий (224) из (222) получаем
PQM L
или
Преобразуем условия (224), для этого продифференцируем первое
равенство по
, а второе по , в результате получим, после несложных
преобразований,
Из (226) получаем
(/)|1,
AB
AdyBdx AdyBdx m p q
A
()| 0,
|1,AC
2
PM
(/)|1.
AB
(224)
2.
mpq AdyBdx
222
L
1
1
0
0
1
1
A
()| 0.
2
|1.AC
1
MQ
20
222
. (225)
1
(226)
0
2
0
(227)
2
Из (227) следует условие согласования
1
(, )C
100
+ 1
2
(, )C
200
– 1.
Тем самым для нахождения второй координаты точки M необходимо
решить линейное уравнение с переменными коэффициентами (209)
с краевыми условиями (227), потом восстановить из уравнений (210) компоненту сохраняющегося тока B и выполнить интегрирование в (225)
по кривой L.
Замечание. Уравнения (214) могут быть сведены к одному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами. Часто оно бывает
проще, чем уравнение (202). Например, в [8] уравнение (202) – телеграфное уравнение. Для функций
,
аналогично выписываются краевые
условия и определяются компоненты сохраняющегося тока.
В качестве примера можно рассмотреть уравнения одномерной газовой динамики [8], которые в инвариантах Римана имеют вид
rs
где
uc
постоянная.
,
()0,
rucr
tx
() 0,
sucrs
tx
(228)
2
47
В этом случае первая компонента вектора скорости определяется из
линейного уравнения с постоянными коэффициентами
11
AA A A
(229)
rr ss r s
44
cc
0.
При этом граничные условия имеют вид
A
|exp(),
rr
0
2
rs
c
4
A
| exp( ).
ss
1
(230)
0
rs
c
4
Решение уравнения (229) с граничными условиями (230) можно найти в [9].
Библиографические ссылки
1. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравне-
ний. М. : Наука, 1978.
2.
Vinogradov A. M. Local symmetries and conservation laws // Acta
Appl. Math. 1984. № 6. P. 56–64.
3.
Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Симметрии
и законы сохранения. М. : Фактор, 1996
4. Аннин Б. Д., Бытев В. О., Сенашов С. И. Групповые свойства
уравнений упругости и пластичности. Новосибирск : Наука, 1983.
5.
Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симмет-
рий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во СоРАН, 2001.
6.
Бельмецов Н. Ф., Чиркунов Ю. А. Точные решения уравнений
динамической асимметричной модели теории упругости // Сиб. Журн. Индустр. матем. 2012. Т. 15, № 4. С. 38–50.
7.
Senashov S. I., Vinogradov A. M. Symmetries and conservation laws
of 2-dimensional ideal plasticity // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1988. Vol. 3 (2).
P. 415–439.
8.
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М. : Наука, 1973.
9.
Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математи-
ческой физики. М. : Физматлит, 2001. 576 с.
48
Глава 3
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ
Плоская задача для уравнений упругости достаточно хорошо изучена. Это объясняется ее важностью для приложений и тому, что уравнения
сводятся к системе Коши–Римана. Не смотря на это точных решений,
которые описывали бы напряженно-деформированное состояние тел конечных размеров не так много.
3.1. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ
Законы сохранения для дифференциальных уравнений появились
более ста лет назад, но, как правило, они не использовались для решения
конкретных задач, а представляли «чисто академический» интерес. Ситуация изменилась с развитием техники построения законов сохранений для
произвольных систем дифференциальных уравнений, а потом с использованием законов сохранения для решения краевых задач теории пластичности и упруго-пластичности. В параграфе построены новые законы сохранения для уравнений плоской теории упругости в стационарном случае.
Эти законы образуют бесконечную серию, которая тесно связана с решениями уравнений упругости. Именно это позволило свести решение краевых задач, в терминах перемещений, к вычислению контурных интегралов
по границе области ограниченной изучаемым упругим телом. Из данной
методики следует, что область может быть многосвязной, а граница –
кусочно-гладкой.
Обычно уравнения двумерной статической упругости решаются
с помощью методов ТФКП. Эти методы были развиты Г. В. Колосовым
и Н. И. Мусхелишвилли. Использование методов ТФКП для решения задач
упругости требует хорошего владения техникой ТФКП и, как правило,
применяется для областей ограненных гладкими контурами см., например
[1; 2] и цитируемую там литературу. Здесь предложен метод решения этих
же задач с помощью законов сохранения. По-видимому, впервые законы
сохранения для уравнений упругости были вычислены в [3; 4]. Эти вычисления были основаны на теореме Э. Нетер. Еще Г. П. Черепанов [5]
заметил, что методы ТФКП, применяемые при решении плоских задач,
фактически восходят к законам сохранения. В этом параграфе найдена
бесконечная серия новых законов сохранения. Эти законы сохранения
позволили получить формулы, с помощью которых можно эффективно
сводить краевые задачи к квадратурам. Последние есть криволинейные интегралы по замкнутому контуру и задача без труда решается численно для
заданных краевых условий в перемещениях.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнения двумерной упругости
в стационарном случае
1
uvuF
,0)()2(
yyxyxx
49
(231)
где
2
,
– постоянные, называемые параметрами Ламе; u, v – компоненты
vuvF
,0)()2(
xxxyyy
вектора деформации, индексы внизу означают производные по соответствующим компонентам.
Найдем для (231) законы сохранения специального вида.
Законом сохранения для системы уравнений (231), назовем выражение вида
2
,),,,(),,,(
FFvuyxBvuyxA
1
2
(232)
где
yx
некоторые функции от x, y которые одновременно не тождественно
i
1
равны нулю. Величины A, B назовем компонентами сохраняющегося тока.
Ищем компоненты сохраняющегося тока в виде:
22
,
vv
(233)
yx
где
w
11
)2(
ii
22
,,,
– некоторые функции только от x, y.
uuwA
yx
12
,
vvw
yx
22
uuB
yx
Подставим выражения (233) в (232). В результате получим полином
.,,,,
первой степени по переменным
,,,,,
uuuuu
yyxyxxyx
vvvvv
Приравни-
yyxyxxyx
вая в этом полиноме к нулю коэффициенты при производных и учитывая,
ii
что
i
w
22
,,,
функции только от x, y, получаем после исключения
2,1, i
212
,)(
w
,)(
21
,0)2(
w
yx
w
yx
112
ww
,12w
,022
,)2(
yx
22
w
(234)
,021
.021
yx
Отсюда следует
w
yx
Подставляя (236) в (235) получаем
Очевидно, что (237), с точностью до обозначений, совпадает с системой (231), следовательно,
уравнений (231).
Из (233) с учетом (234), получаем сохраняющийся ток
где
1
,
11
– произвольное решение уравнений (231).
vuA
1
))(2(
yx
211
,0)()2(
ww
yyx
,011
121
,0)()2(
www
yyxyxx
,ww
),(
uv
yx
w
21
произвольное гладкое решение системы
12
.0)2(
1
xy
112
,0)(
ww
yyx
(235)
(236)
212
.0)()2(
www
1
))(2(
vuB
yx
xxxyyy
),(
uv
yx
(237)
(238)
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]