Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография
.pdf
Глава 5
РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
Решение упруго-пластических задач одна из сложнейших и актуальных проблем механики деформируемого твердого тела. Традиционно
эти задачи решаются либо методами ТФКП, вариационного исчисления
или полуобратными методами. К сожалению, все эти методы могут быть
применены лишь к ограниченному числу задач. В работе используется
техника законов сохранения. Это позволяет построить аналитические формулы для нахождения упруго-пластической границы для широкого класса
задач. В результате удалось построить упруго-пластические границы: для
скручиваемых прямолинейных стержней, сечение которых ограничено
кусочно гладким контуром; для изгибаемых консолей постоянного сечения, а также для антиплоских задач. Данная методика позволила написать
компьютерные программы для построения упруго-пластических границ
для скручиваемых прямолинейных стержней. В предлагаемой работе
построена упруго-пластическая граница, возникающая при кручении
прямолинейного бруса произвольного сечения, которое ограничено кусочно-гладким контуром, а также упруго-пластическая границы в задачах
об изгибе консоли и антиплоской деформации.
План главы следующий: в первом параграфе рассмотрены основные
уравнения упругости и краевые задачи, в §2 основные уравнения теории
идеальной пластичности Мизеса, в §3 сформулированы условия на границах упругих и пластических областей, в §4 рассмотрено кручение призматических упругих стержней, в §5 описан упругий изгиб брусьев, в §6 плоская задача теории упругости, в §7 – антиплоская задача теории упругости,
в §8 построены законы сохранения для уравнений упругости, в §9 – законы
сохранения двумерных уравнений пластичности, в §10 – найдена упругопластическая граница в скручиваемом прямолинейном стержне, в §11 –
упруго-пластическая граница в изгибаемой консоли, в §12 – предложена
методика для построения упруго-пластических границ для областей больших размеров.
Сложность решения упруго-пластических задач связана с тем, что
упруго-пластическая граница заранее не известна и подлежит определению
в процессе решения задачи. Решением упруго-пластических задач занимались многие известные механики. Хороший обзорный материал можно
найти в книгах Б. Д. Аннина и Г. П. Черепанова [1], Л. А. Галина [2; 5].
Общего подхода для решения таких задач до настоящего времени не выработано. Имеются лишь отдельные решения для разных частных случаев.
К классическим результатам здесь следует отнести точные решения задачи
об упруго-пластическом кручении стержня овального сечения, построенное В. В. Соколовским, а также решение Л. А. Галина о растяжении плоскости с круговым отверстием.
141
Интересный теоретический результат получен Б. Д. Анниным. Он
доказал, что в задаче упруго-пластического кручения стержня решение
существует и единственно.
Для решения упруго-пластической задачи применялись методы
ТФКП, вариационные методы и полуобратные методы. В этой работе для
построения упруго-пластической границы использованы законы сохранения. Законы сохранения были использованы в работах [4; 5; 6] для решения задач идеальной пластичности в двумерном случае. Они позволили
получить аналитические решения задач Коши и Римана. В последующих
работах, одного из соавторов, законы сохранения были использованы
для решения некоторых упруго-пластических задач [7; 8]. Данная методика
позволила написать компьютерные программы для построения упругопластических границ для скручиваемых прямолинейных стержней. На эти
программы получены свидетельства о регистрации объектов интеллектуальной собственности [9; 10].
В предлагаемой работе решены задачи об упруго-пластическом кручении прямолинейного бруса произвольного сечения, которое ограничено
кусочно-гладким контуром, а также задача об изгибе консоли и антиплоской деформации. Для удобства статья разбита на параграфы: в первом параграфе рассмотрены основные уравнения упругости и краевые задачи,
в §2 основные уравнения теории пластичности Мизеса, в §3 сформулированы условия на границах упругих и пластических областей, в §4 рассмотрено кручение призматических упругих стержней, в §5 описан упругий изгиб брусьев, плоская задача теории упругости, в §7 – антиплоская задача
теории упругости, в §8 законы сохранения для уравнений упругости, в §9 –
законы сохранения двумерных уравнений пластичности, в §10 – строится
упруго-пластическая граница в скручиваемом прямолинейном стержне,
в §11 – построена упруго-пластическая граница в изгибаемой консоли,
в §12 – предложена методика для построения упруго-пластической границы для областей больших размеров.
5.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ УПРУГОСТИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим стационарные уравнения линейной упругости в изотропном случае.
Уравнения равновесия имеют вид:
x
xy
xz
zyx
0
X
;
xz
yz
yzyxy
Y
zyx
z
zyx
142
0
;
0
Z
,
(536)
где
,,,,,
– компоненты тензора напряжений:
yzxzxyzyx
ZYX ,,
– ком-
поненты внешней силы, отнесенной к единице объема. Компоненты тензора напряжений связаны с помощью закона Гука с компонентами тензора
деформаций
xx
,2
e
yy
,2zze
,2
e
(537)
,2
xyxy
,2
e
e
xzxz
.2
e
yzyz
где
xy
y
x
v
u
x
y
,
z
,2
xz
w
v
u
u
,
x
x
w
u
x
z
v
,
y
,2
y
yz
w
,
z
z
w
u
z
,2
y
здесь
,
– постоянные Ламе;
,,,,,
– компоненты тензора деформации.
yzxzxyzyx
wvu ,,
– компоненты вектора деформации;
С учетом (520) уравнения теории упругости можно записать в перемещениях:
где
– оператор Лапласа.
u
v
w
x
y
z
,0
,0
,0
(538)
В силу соотношений (520) компоненты тензора напряжений, помимо
уравнений равновесия (519), удовлетворяют еще и уравнением совместности. Здесь условия совместности написаны в случае, когда внешние силы
отсутствуют
2
,01
y
xy
yz
2
y
2
2
,01
yx
,01
zy
(539)
x
z
xz
2
2
x
2
2
z
2
zx
,01
,01
,01
где
, – коэффициент Пуассона.
zyx
Задачи для уравнений упругости ставятся либо в перемещениях, тогда надо решать уравнения (521), либо в напряжениях, тогда надо решать
уравнения (519)–(521).
Если задача решается в напряжениях, то к уравнениям (519), (521)
необходимо добавить граничные условия
xzxyx
,nmlX
(540)
,nmlY
143
yzyxy
где
nml ,,
– направляющие косинусы внешней нормали к граничной по-
zyzxz
,nmlZ
верхности в рассматриваемой точке;
ZYX ,,
– компоненты вектора по-
верхностных сил, действующих на единицу площади.
Если задача решается в перемещениях, то на границе S задаются перемещения
где
,/ uus
wvu ,,
– некоторые функции определенные на S.
,/ vvs
,/ wws
(541)
Замечание. В теории упругости рассматриваются и иные задачи, но
в статье мы их касаться не будем, поэтому о них здесь не упоминаем.
5.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ МИЗЕСА
Для стационарных уравнений теории пластичности Мизеса необходимо к уравнениям равновесия (536) добавить закон пластичности Мизеса,
который имеет вид:
1
3
1
3
222
1
3
yzxzxyzyx
2222
,2222
k
(543)
где k– предел текучести при чистом сдвиге.
В случае плоской деформации закон пластичности (543) можно привести к виду
2
xyyx
22
,44
k
(544)
В пластической области, компоненты девиатора тензора деформации
связаны с компонентами тензора скоростей деформации соотношениями
где
где
1
3
,
eS
xxx
– неотрицательная функция, определяемая из соотношения (543)
e
x
321
,, uuu
– компоненты вектора скорости.
1
u
e
,
y
x
e
xz
1
yyy
3
,
e
xyxy
2
u
,
y
u
u
z
e
z
31
,2
x
Se
,
e
yzyz
3
u
e
e
,
z
yz
xy
u
z
,
1
3
,
e
xzxz
21
u
u
y
u
y
32
,2
,2
x
,
eS
zzz
(545)
5.3. КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
Рассмотрим упругий призматический стержень с поперечным сечением произвольной формы. Боковая поверхность свободна от напряжений,
а к торцам приложены силы, эквивалентны крутящему моменту М.
144
Пусть начало координат находится в некоторой произвольной точке
торцевого сечения, а ось z параллельна образующей стержня. Граничные
условия (540) примут вид
,0
а на торцах стержня (
ml
xyx
yxy
yzxz
lzz ,0
)
,0dxdy
,0dxdy
z
xzyz
xz
z
,0
ml
,0
ml
yz
,0dxdyy
,0dxdy
,0dxdyx
z
,Mdxdyyx
(546)
(547)
(548)
где – площадь поперечного сечения. Как обычно принято в теории кручения, считаем, что
,0
xyyx
(549)
а остальные компоненты тензора напряжений удовлетворяют уравнениям
равновесия (536), которые при предположениях (549) примут вид
xz
x
xz
Уравнения совместности (539) запишутся в виде
2
2
2
2
Из уравнений (551) следует, что
z
yz
,0
z
yz
2
zyx
xz
yz
,0
z
.0
zyx
2
zzzz
,0
2
2
z
yx
2
z
zy
,01
.01
yx
,HFzEyDxBzxAzy
(550)
(551)
(552)
где A,B,D,E,F,H – произвольные постоянные.
0
Подставляя (552) в соотношении (551) получаем, что
во всех
z
поперечных сечениях стержня. Поэтому уравнения (550), (551) сведутся
следующим
xz
xz
yz
yx
,0
,0
.0
yz
(553)
(554)
145
Преобразуем уравнения (553)–(554). Для этого дифференцируем
x
уравнение (553) по
Теперь дифференцируем уравнение (553) по y и вычитаем из него
и вычитаем из него первое уравнения (554).
yz
xz
.0
yxy
(555)
второе уравнение (554).
Из уравнений (555) и (556) следует
xz
xz
где C – произвольная постоянная.
Система (553)–(554) может быть заменена уравнениями (550) и (557).
Поскольку из (545) следует
xz
w
u
z
,
x
Тогда
xz
1
2
yz
u
y
v
x
Известно, что
wvurot ,,
. Имеем
yz
.0
xyx
yz
xy
,C
v
yz
z
zxy
v
u
x
y
w
,
y
.
(556)
(557)
(558)
(559)
– есть третья компонента вектора
xz
где
угол называется круткой и обозначается
z
– угол закручивания на единицу длины волокна стержня. Этот
z
yz
zC
z
,2
zxy
. Из (560) и (557) получаем
z
.22
Окончательно получаем, что задача кручения упругого призматического стержня сводится к интегрированию уравнений.
xz
yz
xy
xz
,0
yz
xy
,2
С граничными условиями
.0
ml
yzxz
146
(560)
(561)
(562)
(564)
Поскольку уравнения (562) сводятся к уравнению Пуассона, то
M
на этом основаны многочисленные примеры решения задачи о кручении
упругих призматических стержней.
Этот же факт привел к аналогиям, которые позволяли свести задачу
(562), (564) к другим механическим задачам, решение которых описывается этими же уравнениями. Перечислим некоторые: мембранная аналогия,
несколько гидродинамических аналогий, электродинамические аналогии.
Можно ввести понятия крутильной жесткости
./MC
Принято считать, что чем больше крутильная жесткость, тем лучше
данный ей стержень сопротивляется кручению.
Было показано, что среди всех призматических стержней, имеющих
одинаковою площадь поперечного сечения, наибольшую крутильную жесткость имеет стержень с круговым сечением.
Более того, доказано, что из всех призматических стержней с многосвязным поперечным сечением с данной площадью и с данной общей
площадью отверстий стержень с кольцеобразным сечением, ограниченный
двумя концентрическими окружностями, имеет максимальную жесткость
при кручении. Об этих и других задачах, возникающих в теории кручения
упругих тел можно прочитать в [11].
Сен-Венаном был отмечен интересный факт: максимальное касательное напряжение, как правило, достигается на боковой поверхности
стержня в точках наиболее близких к центру тяжести поперечного сечения.
5.4. УПРУГИЙ ИЗГИБ БРУСЬЕВ
Рассмотрим призматический стержень, изгибаемый в одной из главных плоскостей двумя равными и противоположными моментами
(рис. 5.1).
Рис. 5.1. Изгиб бруса
147
Начало координат возьмем в центре тяжести поперечного сечения,
xz
P
а плоскость
ментарное решение уравнений (536), при отсутствии массовых сил
– в главной плоскости изгиба. Получаем следующее эле-
Ex
,
z
R
,0
yzxzxyxy
(565)
где R – радиус кривизны стержня после изгиба; E – модуль упругости при
растяжении и сжатии.
Рассмотрим теперь более общий случай изгиба консоли постоянного
поперечного сечения, которая находится под действием силы
, приложенной на конце и параллельной одной из главных осей поперечного сечения (рис. 5.2)
Рис. 5.2. Изгиб консоли
Предположим, что в случае консоли напряжения на некотором рас-
стоянии
z от заделанного конца распределяются следующим образом
xzlP
z
.
l
Предположим, что в каждой точке поперечных сечений действуют
касательные напряжения
пряжений
,,
равны нулю.
xyyx
xz
и
, а остальные компоненты тензора на-
yz
При сделанных предположениях, в случае отсутствия объемных сил
получаем из уравнений (536)
xz
z
yz
,0
z
xz
,0
yz
yx
Из (568) следует, что касательные напряжения не зависят от z и для
каждого поперечного сечения будут одинаковы.
Px
l
(567)
.
(568)
148
Уравнения совместности сводятся к двум
P
xz
Аналогично выкладкам из предыдущего параграфа получаем
Из формул (570) получаем
xz
yz
xz
yz
xy
где C – постоянная. Можно показать, (см., например, [11]), что
Тогда уравнения изгиба консоли имеют вид:
xz
,
1
vl
xz
yxy
yz
xyx
Py
1
.0
yz
1 vl
P
,
.0
,
C
vl
(569)
(570)
(571)
C
yz
yx
xzxz
xy
Px
l
Py
.
1,vl
(572)
К этим уравнениям необходимо добавить граничное условие, кото-
0
рое имеет вид
ml
yzxz
на границе контура.
5.5. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В этом параграфе выпишем уравнения плоской теории упругости в
перемещениях и поставим для этих уравнений некоторые краевые задачи.
Для плоской задачи выполняются следующие условия
,, yxuu
Тогда из (538) имеем
2
u
F
1
F
2
Граничные условия (1.5) запишутся так
ml
xyx
ml
yxy
u
y
2
x
u
yx
u
x
v
l
x
v
yx
22
v
2
y
v
y
,, yxvv
22
u
2
x
2
v
2
x
u
x
l
v
u
y
x
.0
w
2
u
,0
2
y
2
v
2
y
u
y
.0
v
x
v
y
,. Xm
.Ym
(573)
(574)
0
.
149
5.6. АНТИПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
g
,
Рассмотрим уравнения (536), (537) в случае, когда
., yxw
Этот случай соответствует так называемому антиплоскому уп-
vu
,0
ругому состоянию.
Уравнения (536) сведется к
xz
а условия совместимости деформаций к соотношению
yz
yx
,0
Z
.0
yzxxzy
,0
YX
Пусть на упругое тело действует только его собственный вес, тогда,
если ось
oz
направлена вверх, получаем
z
, где – плотность, кото-
рая предполагается постоянной.
Окончательно получаем уравнения, описывающие упругое состояние
в условиях антиплоской деформации
xz
yz
yx
,0
g
(575)
yy
.0
yzxz
5.7. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ
Законы сохранения – фундаментальные законы природы были сформулированы к началу ХХ века. Понятие законов сохранения для дифференциальных уравнений появилось позднее, после работ Э. Нетер и ее
последователей. Широкое их применение к решению и исследованию некоторых дифференциальных уравнений относится к последней четверти
ХХ-го века. Но важность и полезность этого понятия не понята большинством исследователей до конца и сейчас.
В этой работе мы введем простейшее определение законов сохранения. Более подробно с этими важными понятиями и их приложениями
можно ознакомиться в главе 2 и работе [5] и цитируемой там литературе.
,0
Пусть
F
1
на две искомые функции
Определение. Сохраняющимся током для системы
вем вектор
где
– некоторые дифференциальные операторы. Предполагается, что
i
BA,
такой, что
,02F
система двух дифференциальных уравнений
, yxuu
.
,01F
A
x
y
,
FFB
2211
они оба одновременно не являются тождественно равными нулю.
150
назо-
,02F
(576)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]