Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

где



















kk k k



– положительные корни трансцендентных уравнений

[]

12 1 2

2222

()()

 

()()

kk k k

34 3 4



[],

2222

()( )

 

()()

 

 

12 1 2 1

()(),kk k k ctg l    

 

34 3 4 2

()().kk k k ctgl

Таким образом, приведен класс новых решений уравнений классических уравнений упругости. Эти решения можно использовать не только для описания распространения сдвиговых волн в упругих телах, но и для описания напряженно – деформированного состояния упругого параллелепипеда скручиваемого вокруг трех ортогональных осей, как это сделано в [16] в случае пластической деформации.

3.9. ТОЧЕЧНЫЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ ИЗОТРОПНОЙ УПРУГОСТИ

Рассмотрим уравнения упругости в изотропном случае, без массовых сил см. гл. 1, формула (281).

W W grad divW

()

(350)

Ищем точечные симметрии этой системы уравнений согласно методике, описанной в гл. 2.

Получаем, что точечные симметрии порождаются следующими операторами, обозначения взяты из [6], имеем



 

01 2 3

www



123

,Pw w w

 

Pf f f

12 3



www

123



(351)







Zx x

12 3





Zx x

31 2

где



123

– произвольное решение системы уравнений (350).















,ww

Zx x



23 1



,ww

(352)













,ww

Алгебра Ли, порождаемая операторами (351), (352) бесконечномерная.

Операторы (351) порождают нормальный делитель этой алгебры, фактор алгебра по нормальному делителю порождается восемью операторами (9.3) и порождают алгебру Ли

подалгебр

…,

. Укажем оптимальную систему

Оптимальная система одномерных подалгебр имеет вид











Z

,XZ



033 0

,, ,XXZ RX

Оптимальная система двумерных подалгебр имеет вид

,,XRZ

03 3

,,XX Z

03 3

,,XXRZ 

,,XX

,,XXX



013

,,XR3,,

,.XXXZ



0303

Оптимальная система трехмерных подалгебр имеет вид

,, ,XX RZ

03 3

01 3

,, ,XX X X Z 

12 0 3 3

,, ,XRZ

,, ,XXRX

,,,XXR

,, ,XXXX



0123

,, ,XX X Z

120 3

,, ,XXX

013

03 3

,, ,XX RZ

12 3



,, .

123

Оптимальная система четырехмерных подалгебр имеет вид

,,, ,XXRZ

03 3

,,, ,XXXX

0123

,,, ,XXRZ

12 3

,,, ,XXRX

03 3

0312 3

,,, ,XXXXRZ 

012 3

,,, ,XXXRX

,,, ,XXX RZ

013 3



,,,.

ZZR

123

,,, ,XXX RZ

012 3

031203

,,, ,XXXXXZ 

,,, .

ZZX

123 0

Оптимальная система пятимерных подалгебр имеет вид

,,,,,XXXXR

0123

,,,, ,XXXRZ

012 3

,,,, ,XXXX RZ

0123 3



,,XXR

,, ,XXRZ

,,,, ,XXXXRZ



0312 3

,,,,.

ZZXR

123 0

Оптимальная система шестимерных подалгебр имеет вид

,,,,, ,XXXXRZ

0123 3

,,,, , .

ZZXX X

123 1 2 3

Оптимальная система семимерных подалгебр имеет вид

,,,,, , ,

ZZX XXX

123 0 1 2 3

,,,, , ,,

ZZXX XR

123 1 2 3

Построенная система оптимальных подалгебр позволяет строить инвариантные и частично инвариантные решения любого ранга, которые допускаются необходимыми условиями соответствующих теорем.

Замечание. Точечные симметрии для систем линейных уравнений можно вычислять и по-другому. Опишем это на примере системы уравнений (350)

Систему уравнений (350) запишем так



      



Lw w

   

  

(2) ( ) ( )

tt xy xz

() (2) () 0. () () (2)

     

xy tt yy yz

xz yz tt zz





 



где









нений

Ищем допускаемый оператор в виде









 





1, 2, 3

i

есть функции только от

Тогда необходимо решить на

[] ,

XLXLX L

,,,txyz



 (353)

1, 2, 3

следующую систему урав-

где

искомая функция от



,,,txyz

Ясно, что из системы уравнений (353) мы не сможем найти операторы вида

,fPP

, которые допускаются любой системой линейных диффе-

ренциальных уравнений, но зато остальные операторы вычисляются гораздо проще. Поэтому если пользоваться способом, описанным здесь, который подходит для большинства линейных систем дифференциальных уравнений, то необходимо помнить об этих двух операторах, образующих нормальный делитель в полученной алгебре Ли.

3.10. ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

В этом параграфе предлагается метод, позволяющий свести уравнения теории упругости к более простой, диагональной системе. При этом обратное преобразование не требует интегрирования, а задается транспонированной матрицей. Приводятся формулы производства новых решений из известных решений. Подробно рассмотрен случай изотропного материала. Для него указан способ построения высших симметрий и законов сохранения. Этот параграф написан на основе работ [17; 18].

Запишем уравнения упругости при произвольной анизотропии и отсутствии массовых сил в декартовой системе координат

где

123

(, , )wwww

Lw L L A

ij ij ji i kl j kl tt

– вектор смещения,

0, ,

стоянный тензор модулей упругости,



– символ Кронекера.

Пусть матрица невырожденная матрица

подобна некоторой матрице D, т. е. существует

такая, что

LT TD

()

()/2,

()

i kl j iklj ilkj iklj

AA A

(354)



– постоянная плотность материала,

(355)

– по-

что



Так как

'DD

, то

'LL

(штрих означает транспонирование) и предполагаем,

Пусть

0,Du 

где

а w – решение системы (354). Тогда с учетом (355), (356) име-

ем

Таким образом, по формулам (359) решения уравнений (358), (359) переходят одно в другое.

Так как

'LL

, то D – диагональная матрица. Тогда из (358) имеем

ttD

1111

ij j i

Т. е. получили задачу на собственные операторы

торы

tt t

123

jj j

для матрицы операторов

''.TL DT

''0.Du DT w T Lw

ttD

2222

ij j i

(356)

,wTu ,uTw



(357)

0,Lw LTu TDu

(358)

(359)

ttD

3333

ij j i

В силу симметричности

11 22 33

и век-

собственные векторы

Если

– числа, то формулы (355) соответствуют ортогональному

tt t

123

jj j

ортогональны.

преобразованию координат, и система (354) становится диагональной для специального ортотропного материала, когда

где

2211 1221 3311 1331 3322 2332

Для изотропного материала

L    

ij ij kk tt ij

,, .AAAAAA  

– операторы. В этом случае имеем

()( ),

, – коэффициенты Ламе. В [11] показано, что

() ,

DDD    

123

kk tt kk tt

(360)

(361)

cуть собственные операторы для матрицы (360), а собственные векторы с точностью до произвольных множителей будут

tt ctc c       

12 3

jjjjpspsjmmjjkk

,, ,

(362)

где



– символы Леви–Чивиты;

ijk

– произвольный ненулевой числовой

или операторный вектор. Таким образом, система (354), (360) для изотроп-

ного материала сводится к диагональной системе с операторами (361).







Векторы (362) ортогональны

tt cc cc t t            

ip ig p g jj m m sn s n p g sn k k p g ll

Причем

tt cc c c c c            

ji ii jl jps lps p g sr m m j j kk n n l i hh

11 2 2 22 3 3

Ttt cccc       и

k k ll s n m m sn sn ll

Если выполняются (363), (364) и

() ,

()

()().

0,Lv

то

– также реше-

'wTTv

(363)

(364)

ние этого уравнения. Аналогичная формула связывает решения уравнения

0, ' .

vuTTv

Соотношение так как из любого решения

является формулой производства решений,

'wTTv

получаем новое решение .w Эту формулу

можно применять многократно. Для изотропного материала матрицы

'TT

имеют вид (363), (364).

Другой способ производства решений состоит в отыскании матриц

, коммутирующих с оператором ,L т. е. таких матриц, что .LB BL

[]',

За такую матрицу можно взять нение элемента

в матрице .L Для изотропного материала одна из мат-

где

– алгебраическое допол-

'TT

риц

здесь

имеет вид:

 

 

[( 2 ) ) [( 2 ) ] ,

kk kk

 

  

[( 2 ) ) [( 2 ) )

kk kk



,,b 

11 33 3 22 2

33 3 11 11 1

22 2 11 1 11

– произвольные операторы с постоянными коэффициентами.

[( 2 ) ] [( 2 ) ]

    

kk kk

Результаты первого пункта позволяют вычислить высшие симметрии для уравнений упругости. С помощью симметрий опишем еще один способ производства решений для уравнения (354).

Напомним, что симметрия порядка s для уравнения (354) есть функция

(10.7), где

ff f

такая, что

(, ,..., ), 1,2,3

fxw wi w

на всех решения системы уравнений

– совокупность всех производ-

123

(, , )

ных порядка s.

Формула производства решений

для симметрий означает

'wTTv

наличие оператора рекурсии, который позволяет строить симметрии F системы (10.7) из известных симметрий f, повышая их порядок

(365)

BF TT F



Из этой формулы следует утверждение 1.

Утверждение 1. Система уравнений (354) допускает бесконечную









алгебру высших симметрий.

Стартуя с точечных симметрий, которые приведены в предыдущем параграфе, получаем требуемое.

Покажем, как можно использовать некоторые из построенных симметрий для производства решений. С помощью (365) получаем, что уравнения (354) допускают симметрии второго порядка вида

111

Aw Bw Cw



xyyzz



fAwBwCw

222

xyyzz

333



Aw Bw Cw

xyyzz





 

где A, B, C – произвольные постоянные.

Из определения симметрии следует, что функция

, которая опреде-

ляется из решения задачи Коши для системы эволюционных уравнений

,| ,







есть решение системы уравнений (354), при условии, что вольное решение этой же системы. Здесь

(366)

есть произ-

– новая независимая перемен-

ная.

В частности, при A = B = C = 1 производство новых решений системы (10.7) сводится к решению задачи Коши для трех уравнений теплопроводности.

В силу того, что оператор L систем уравнений (354) самосопряжен, следует, что система допускает бесконечную серию законов сохранения. Некоторые из них уже были указаны в предыдущих параграфах.

3.11. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

АСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

При решении групповой задачи классификации уравнений, описывающих движение чисто механического континуума, появились некоторые новые системы дифференциальных уравнений, которые можно использовать для описания реальных физических процессов. Одна из таких новых систем: асимметричная теория упругости. Эта система может быть использована для материалов имеющих малый модуль Юнга, а также для материалов, которые работают при нагрузках близких к критическим. В этом параграфе на основе группового расслоения: разложения системы на автоморфную и разрешающую системы, которые являются системами дифференциальных уравнений первого порядка. Построены бесконечные серии законы сохранения для разрешающей системы уравнений и автоморфной системы. Эти законы позволили решить краевые задачи для асимметрич-

ной теории упругости в двумерном случае. Решения эти построены в виде































квадратур, которые вычисляются по контуру исследуемой области.

В работе [6] предлагается следующая связь тензоров напряжений и тензора деформаций

,)(2)(

221201111

– компоненты тензора



(367)

221201122

где

 ,)(2)(





– компоненты тензора напряжений;

2201211012

деформаций;

0, 0  – постоянные Ламе;

венное число, если

0

, то (367) есть классический закон Гука для изо-

– произвольное вещест-

тропного, однородного случая.

Подставляя (367) в уравнения равновесия, то в случае отсутствия массовых сил получаем

(2) ( )

uuvv     

xxyxxxy

uuv v

xy yy xy yy

() 0,

   

(368)

uuv v

где

()

yxyxy xy

(2) ( ) 0,

vuvu     

yy yy xy xy

- компоненты вектора деформаций, индексы внизу, если не указано

иное, означают производные по соответствующим переменным.

Групповые свойства уравнений асимметричных уравнений упругости в динамическом случае изучены в [7], там, в частности, показано, что система (368) допускает бесконечную группу точечных преобразований, порождаемую операторами

где

Xh h

,hh

– произвольное решение уравнений Коши–Римана

 

(369)



(370)

Сделаем групповое расслоение системы уравнений (368) по методу [21] на подалгебре, порождаемой (369). Для этого продолжим операторы (369) на первые производные. Имеем

XXh h

uyv



yu x v

(371)

Дифференциальные инварианты для (371), с учетом (370), имеют вид

,Ix

,Iy





(3.72)

Тогда автоморфная система уравнений имеет вид

uv xy (, ).

(, ),

uv xy



(373)

Напомним некоторые свойства автоморфных систем. Любое реше-











ние автоморфной системы может быть получено из одного решения этой системы с помощью преобразований, порождаемых оператором (369).

Подставляя (373) в (368) получаем разрешающую систему

(2) 0,

F       

100

xyy x

(374)

(2) 0,

F 

200

yx yx

Повторяя почти дословно рассуждения из [7], можно утверждать, что система (368) равносильна системе уравнений (374).

Поэтому, построив решение системы (374), мы получим решение системы (368).

Пусть для системы (374) поставлена следующая краевая задача:

|(,),

y

|(,),



(375)

где L – некоторая гладкая замкнутая кривая.

Для решения этой задачи построим законы сохранения для системы уравнений (374).

В силу линейности системы (374) она будет иметь бесконечное число законов сохранения. В работе будут найдены только те законы сохранения, которые позволят решить краевую задачу (375).

Определение. Законом сохранения для системы уравнений (374) назовем выражение вида

(, ,, )

Axy

(, ,, ) 0,

Bxy F F

  

(376)

где , – некоторые функции, которые не равны тождественно нулю од- новременно;

,AB – компоненты сохраняющегося тока.

Более подобная информация по построению законов сохранения для произвольных систем дифференциальных уравнений может быть найдена в гл. 2 или в работах [8–12].

Предположим, что компоненты сохраняющегося тока имеют вид

где

,,aa

,bb

– некоторые функции от x, y.

Тогда из (376) получаем

(2) ,a    

Отсюда получаем

 0.

aa

  

,a    

 



 

(377)

(2) ,b  



(378)

(379)

Из (376) следует







Пусть

где

(, )

yS

() .

 

(, )

yS

:( ) ( )xx yy  

222

, тогда из (380) следует

 



, если функции A,B имеют особенности в этой точке. Вычислим

Bdxdy Ady Bdx

dy Bdx Ady Bdx



– окружность радиуса вокруг точки

(380)

(381)

интеграл в правой части (381) для разных решений уравнений КошиРимана. Пусть





()( )

xx yy

dy Bdx











 

((( 2) ) ( ))dy







;



()( )

xx yy



;

(382)

(383)

(( ) (( 2) )dx    .

Подставляем (382) в (383) и сделаем замену переменных

cos ,xx 



[(( 2 ) ( )) 2sin cos( ))]d

             



2[( 2 )( , ) ( ) ( , )]

В формуле (384) устремили

sin ,yy

00 0

получаем

dy Bdx

 





000 0 00

yxy       



и использовали теорему о среднем.

(384)

Теперь сделаем аналогичные вычисления, положив





()()

xx yy



;



()()

xx yy



В результате получим

dy Bdx

 







2( )( , ).

 

000

Формулы (384) и (385) позволяют, с учетом граничных условий (375) и равенства (381) определить значения функций

(, )

ке

yS

(385)

в произвольной точ-

и

Теперь после восстановления решений разрешающей системы, най-

















дем решения автоморфной системы, т. е. решения исходной системы уравнений (368). Имеем

Fuv xy 

(, ) 0,

Fuv xy

Здесь в правой части стоят известные функции. Найдем законы сохранения уравнений (386) в следующем виде

где

,,aa

3412

,,,bbcc

– некоторые функции от x, y.

341

aa c

34 2

bb c

Имеем

(, ,,)

xyuv

(, ,,) 0.

Bxyuv F F

Расщепляя систему уравнений (388) получаем

ab

,a 

44 12

ab cc

xy xy

,a

0, .



Отсюда получаем

 0.

 

Пусть для системы (368) поставлена следующая краевая задача:

 

 

 

,b

(, ) 0.

(387)

(386)

(388)

,b

(389)

(390)

|(,),

uuxy

|(,),

vvxy

(391)

Рассмотрим закон сохранения в виде

dy Bdx 





 





dy Bdx

(392)

Пусть решение уравнений (390) имеет вид





()( )

xx yy





()( )

xx yy



Подставляем (393) в правую часть (392), получаем

dy Bdx

 







(cos sin ) (sin cos ) 2 ( , ).cdy c dx ux y

      





()( )uvcdy u vcdx

      







Пусть решение уравнений (390) имеет вид

(393)

(394)







()( )

xx yy



()()

xx yy



(395)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.09.20262 Мб0Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем.pdf
#
06.09.2026476 Кб0Упражнения для глаз-1.pdf
#
11.08.2026476 Кб1Упражнения для глаз.pdf
#
15.08.20261 Мб0Упражнения по основам электроники.pdf
#
07.09.20261 Мб0Упражняйтесь! Ч.1. Практикум к учебному пособию «Сборник текстов для чтения на французском языке».pdf
#
08.09.20262 Мб0Упруго-пластичность и законы сохранения. Монография.pdf
#
15.08.2026709 Кб0Ура, вперед! Военная песнь второй отечественной войны. Для голоса с фортепиано.pdf
#
07.09.20262 Мб0Ура, зима!.pdf
#
06.09.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3-1.pdf
#
09.08.2026168 Кб0Уравнение Бернулли. Методические указания к лабораторной работе №3.pdf
#
06.09.2026289 Кб0Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца. Учебное пособие-1.pdf