Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
ÓÄÊ 519.2
ÁÁÊ 22.171
Ê49
Ð å ö å í ç å í ò
академик АН УССР Б.В. Гнеденко
Отв. редактор В.Ф. Матвеев
Климов Г.П.
Ê49 Теория массового обслуживания. — 2-е издание, перерабо-
танное. — М.: Издательство Московского университета. — 2011. —
312 с.
ISBN 978-5-211-05827-9
В основу книги положен курс лекций, читавшихся автором (профессором кафедры Прикладной математики и компьютерного моделирования
РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина) на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, в университетах и научных центрах в
Варшаве, Берлине, Льеже, Брюсселе, США. Основное внимание уделяется
строению процессов обслуживания, системам обслуживания с приоритетами, с разделением времени обслуживания, оптимизации порядка обслуживания, статистическому оцениванию параметров процесса обслуживания.
В тексте содержится более 150 задач и поясняющих примеров.
Для студентов и аспирантов университетов и институтов, а также для
справки и для лиц, изучающих или использующих прикладную математику
в своих исследованиях.
Ключевые слова: очередь; регенерирующий поток; время обслуживания;
разделение времени; приоритетная система обслуживания.
G.P. Klimov, PhD, D.Sc. (Prof. of Appl.Math & Computer Modeling Dept.,
Gubkin Russian State Oil & Gas University) has lectured in mathematical
statistics at Moscow University. His scientific interests lie in the field of random
processes, queue theory, invariant statistical inference, and applied mathematical
statistics. He is the author of more than 150 papers and 20 books published in
Russia, German, English, Polish, French, Bulgarian. Prof. G. P. Klimov has also
held courses of lectures at the Sorbonne, Universities of Liege, Brussels, Berlin,
Madagascar, USA(St.Louis, Chicago), and Stefan Banach international mathematical center in Warsaw.
Key words: Queue; regenerative input; Klimov’s model; service time;
time-sharing; priority service system.
ÓÄÊ 519.2
ÁÁÊ 22.171
ISBN 978-5-211-05827-9 © Издательство Московского университета, 2011
Оглавление
Оглавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Глава 0. Теория входящего потока . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 0. Определение потока событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 1. Строение простейшего потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 2. Эквивалентные определения простейшего потока . . . . . . 14
§ 3. Строение стационарного потока без последействия . . . . . . 17
§ 4. Пуассоновский поток с переменной интенсивностью . . . . . 19
§ 5. Рекуррентный поток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§ 6. Квазирекуррентный поток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§ 7. Рекуррентный поток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 8. Строение стационарного потока с ограниченным последей-
ствием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§ 9. Просеивание потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§ 10. Наложение потоков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§ 11. Поток Бе рнулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§ 12. Метод введения дополнительного события . . . . . . . . . . 44
§ 13. Время обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Глава 1. Регенерирующие процессы . . . . . . . . . . . . . . . 49
§ 0. Процесс восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§ 1. Элементарная теорема восстановления . . . . . . . . . . . . . 51
§ 2. Теорема Блекуэлла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§ 3. Узловая теорема восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§ 4. Определение регенерирующего процесса . . . . . . . . . . . . 58
§ 5. Предельная теорема для регенерирующего процесса . . . . . 60
§ 6. Цепи Маркова с непрерывным и дискретным временем . . . 66
§ 7. Процесс гибели и размножения . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§ 8. Эргодическая теорема для регенерирующих процессов . . . 73
Глава 2. Системы обслуживания одним прибором . . . . . . 79
§ 0. Определение переходных вероятностей для системы обслуживания с ограниченной очередью; пуассоновский пот ок,
экспоненциальное обслуживание . . . . . . . . . . . . . . . . 79
§ 1. Период занятости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§ 2. Число вызовов, обслуженных в период занятости . . . . . . 100
§ 3. Обслуживание ненадежным прибором с ожиданием; пуассоновский поток, произвольное время обслуживания; произвольное время жизни прибора и его восстановления как в
свободном, так и занятом состояниях . . . . . . . . . . . . . 103
4 Оглавление
§ 4. Обслуживание ненадежным прибором с ограниченной очере-
дью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
§ 5. Обслуживание с преимуществом (произвольное время обслу-
живания для вызовов каждого приоритета) . . . . . . . . . . 120
§ 6. Определение возможного времени ожидания . . . . . . . . . 131
§ 7. Рекуррентный поток, экспоненциальное время обслуживания 134
§ 8. Рекуррентный поток, произвольное время обслуживания . . 137
§ 9. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
§ 10. Инверсионный порядок обслуживания ненадежным прибором 155
Глава 3. Системы обслуживания многими приборами . . . 160
§ 0. Определение переходных вероятностей; бесконечное число
приборов, пуассоновский поток, произвольное время обслу-
живания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
§ 1. Неординарный пуассоновский поток, бесконечное число при-
боров, произвольное обслуживание . . . . . . . . . . . . . . . 170
§ 2. Определение переходных вероятностей; бесконечное число
приборов, рекуррентный поток, экспоненциальное обслужи-
вание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 3. Рекуррентный поток, произвольное обслуживание, бесконеч-
ное число приборов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
§ 4. Задача Пальма; пуассоновский поток, экспоненциальное об-
служивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
§ 5. Задача Пальма; рекуррентный поток, экспоненциальное об-
служивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
§ 6. Обслуживание дублирующими приборами . . . . . . . . . . . 185
§ 7. Рекуррентный поток, экспоненциальное обслуживание (разное для разных приборо в); прямой и инверсионный порядки
обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§ 8. Рекуррентный поток, постоянное время обслуживания . . . 190
§ 9. Рекуррентный поток, произвольное время обслуживания на
каждом приборе; распределение вызовов, независимое от со-
стояния приборов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
§ 10. Обслуживание с преимуществом (рекуррентный поток вызо-
вов, экспоненциальное время обслуживания) . . . . . . . . . 197
§ 11. Свойства процессов обслуживания; закон сохранения интен-
сивностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
§ 12. Некоторые реш е нные и нерешенные задачи в обслуживании
последовательной цепочкой приборов . . . . . . . . . . . . . 211
Глава 4. Системы обслуживания с разделением времени . 218
§ 0. Описание системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
§ 1. Функция потерь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 19
§ 2. Оптимальный порядок обслуживания . . . . . . . . . . . . . 220
§ 3. Вложенная цепь Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
§ 4. Случайные процессы η
§ 5. Связь процессов n
+
−
и η
N
+
и n(t) в стационарном режиме . . . . . 228
N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
N
Оглавление 5
§ 6. Соотношения для первых моментов вложенной цепи Маркова 232
§ 7. Вид функции потерь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
§ 8. Экстремальная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§ 9. Оценка снизу функционала потерь . . . . . . . . . . . . . . . 235
§ 10. Структура оптимальной дисциплины обслужива ния . . . . . 237
Глава 5. Статистический метод оценивания характеристик
систем обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
§ 0. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
§ 1. Метод получения оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
§ 2. Оценка надежности в случае экспоненциального распределе-
ния; постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
§ 3. Формулировка результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
§ 4. Доказательство для плана 1◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
§ 5. Доказательство для плана 2◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
§ 6. Доказательство для плана 3◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
§ 7. Доказательство для плана 4◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Дополнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
§ 0. Интеграл Лебега—Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
§ 1. Преобразование Лапласа и Ла пласа—Стилтьеса . . . . . . . 266
§ 2. Тауберовы теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
§ 3. Метод Винера—Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
§ 4. Тождество Вальда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
§ 5. Решение уравнения Винера—Хопфа в нормированном кольце 273
§ 6. Комбинаторная формула Спитцера . . . . . . . . . . . . . . . 276
§ 7. Решение линейной системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений с матрицей Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . 277
§ 8. Многочлены Пуассона—Шарлье . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
§ 9. Формула обращения Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
§ 10. Сужение процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
§ 11. Обобщение неравенства Колмогорова . . . . . . . . . . . . . 286
§ 12. Предельные теоремы для специального класса однородных
марковских процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Предисловие
Теория массового обслуживания есть один из прикладных раздело в
теории вероятностей. В настоящей книге дается систематическое изложение этой теории. При этом преследуются две одновременно не
достижимые цели: изложение и результаты должны быть (1) интересны специалистам по теории вероятностей и (2) полезны и доступны инженерам-прикладникам. Опыт чтения лекций по этой тематике
в Московском Университете позволил принять компромиссное решение,
которое предлагается читателю и которое, как считает автор, не является самым худшим.
Когда говорят о системе обслуживания, то иногда представляют ее
в виде напра вленного гра фа, вершины которого символизируют обслуживающие приборы, а направленные дуги — пути перемещения изделий (заявок, вызовов, требований) от одного обслуживающего прибора
к другому. Тогда работа такой системы обслуживания есть процесс
перемещения изделий по дугам на правленного графа с задержками на
случайное время в вершинах графа. Формализация систем обслуживания на таком пути может быть продвинута далеко и, по крайней м е ре, можно создать алгоритмы и компьютерные программы имитации
таких систем с последующей статистической обработкой результатов
имитации.
Аналитические же методы исследования систем массового обслуживания встречают на своем пути значительные трудности и реализованы
для дово льно узкого класса систем обслуживания, который, впрочем,
еще представляет интерес для практики. Именно такие системы и есть
основной объект изложения в этой книге.
После изложения в главе 0 теории входящего потока в следующей
главе 1 дается подробное (доказаны все утверждения, кроме теоремы
Блекуэлла в § 2) изложение предельных теорем для регенерирующих
процессов: процес с ов в осстановления, самих регенерирующих процессов, цепей Маркова с дискретным и непрерывным временем, процессов гибели и размножения. Эти результаты используются в исследовании случайного процесса ξ(t), описывающего работу системы обслуживания, для выяснения условий, при которых существуют пределы
lim
P {ξ(t) ∈ B} = P (B), порождающие вероятностную меру P .
t→∞
В следующей главе 2 исследуются системы обслуживания, состоящие из одного прибора. В частности, изучаются характеристики приоритетных систем обслуживания (при разных предположениях о судьбе
прерванного вызова в случае абсолютного приоритета) в стационарном
режиме. Для одной бесприоритетной системы указывается распределе-
Предисловие 7
ние виртуального времени ожидания в нестационарном случае. Анализ
проводится с помощью метода введения допо лнительного события (как
и в некоторых §§ главы 0). Отметим, что математическая база этого
метода есть формула полной вероятности, а сам метод (из-за вероятностной трактовки преобразования Лапласа—Стилтьеса и производящей функции) позволяет придать ясный вероятностный смысл промежуточным и окончательным формулам. Более детальное изложение
приоритетных систем на основе метода введения дополнительного события дано в [3] Б. В. Гнеденко и др., [14] В. Ф. Матвеева, Б. Г. Ушакова. Отметим в этой связи еще книгу N. K. Jaiswell, Priority Queues,
Academic Press, NY, 1968.
Прокомментируем § 0 следующей главы о системах обслуживания
многими прибо рами. В этом параграфе рассматривается система, состоящая из бесконечного числа одинаковых обслуживающих приборов,
в которую поступает нестационарный пуассоновский поток, определяемый ведущей функцией α(t) — средним числом поступивших заявок
за время t. Время обслуживания заявки имеет распределение B(x/t),
которое может зависеть от момента t поступления заявки. Для такой системы показано, что выходящий поток является вновь пуассоновским нестационарным с легко определяемой ведущей функцией
t
Z
β(t) =
B(t −u/u) dα(u). Кроме того, если ν(t) есть число заявок в си-
0
стеме в момент t, то определяются конечномерные распределения процесса {ν(t), t > 0}. Отметим, что знание конечномерных распределений
этого процесса позволяет находить вероятность вида
o
P {ν(t) 6 n, 0 6 t 6 T }= lim
N→∞
Pnν(tk) 6 n; k = 0, 1, . . . , N; tk= k ·
T
,
N
равную вероятности того, что в [0, T ] не произойдет потери заявки
в «урезанной» системе из n приборов (т.е. надежности «урезанной»
системы). Это же замечание касается других процессов и систем обслуживания.
В главе 4 исследуется вопрос о выборе такого порядка обслуживания заявок разного типа, который минимизирует средние потери из-за
ожидания и/или пребывания в системе. Это делается для систем обслуживания с разделением времени, т.е. таких систем, в которых одновременно может обслуживаться не более одной заявки. Результаты
главы 4 касаются «рафинированной» системы, к которой с водятся многие системы обслуживания с разделением времени, см. G. P. Klimov,
"Time—sharing service systems I, "Theory Probability Appl., volume 19,
Issue 2, Pages 558 — 576, 1974 и G. P. Klimov, "Time—sharing service
8 Предисловие
systems II,"Theory Probability Appl., volume 23, Issue 2, Pages 331—339,
1978. В некоторых книгах и статьях (см. например книгу Jean Walrand
«An introduction to Queueing Networks», Prentice Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey и книгу Jos´e Ni˜no—Mora, Wiley EORMS (Encyclopedia of
Operations Research and Management Science), 2010 John Wiley & Sons,
Inc., Published Online, 2011) такая «рафинированная» система обслу живания и найденный оптимальный порядок обслуживания связывается с
именем Климова.
В главе 5 указывается прием статистического анализа систем массового обслуживания, основанный на понят ии полной статистики.
В предлагаемой книге не отражены следующие вопросы, излагаемые
часто в связи с теорией массового обслуживания:
• точечные процессы;
• инвариантность стационарног о распределения характеристик
процесса обслуживания относительно семейства распределений,
задающих процесс обслуживания;
• асимптотические методы в теории массового обслуживания;
• неравенства в теории массового обслуживания;
• детальное изложение систем обслуживания, описываемых про-
цессами гибели и размножения;
• метод статистических испытаний применительно к системам массового обслуживания.
В книге приведены более 150 задач. Некоторые из них приве дены
с целью помочь усвоить и углубить разбираемую тему, другие — с целью
указать новые направления исследований.
Обозначения
ф.р. — ф ункция распределения;
сл.в. — случайная величина;
E — символ математического ожидания;
A(t) ∗ B(t) =
Функции, к которым применяется преобразование Лапласа—Стилтьеса, обозначаются прописными латинскими буквами; преобразование
Лапласа—Стилтьеса — соответствующими строчными латинскими или
греческими буквами, например
моменты обо значаются соо тветствующими малыми латинскими или
греческими буквами, снабженными внизу индексом (указывающим порядок момента), например
x ↓ a — означает: x стремится к a, оставаясь большим a;
x ↑ a — означает: x стремится к a, оставаясь меньшим a.
t
Z
A(t − x) dB(x) — стилтье совская свертка.
0
∞
Z
−st
e
dA(t); ωk(s) =
0
∞
Z
t dWk(t); αk= (−1)kα
0
α2=
α(s) =
∞
Z
t2dA(t), ωk1=
0
∞
Z
−st
e
dWk(t);
0
(k)
(0);
Глава 0
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
§ 0. Определение потока событий
Цель этого параг рафа — привести понятие потока событий, способы
его задания, классификацию потоков и понятие эквивалентности потоков.
Рассмотрим поток однотипных событий. Вместо событий мы иногда
будем говорить о вызовах, требованиях, клиентах, изделиях и т.д.
Обозначим через ν(t) число событий, наступивших до момента t.
Предполагается, что до момента t = 0 никакие события не наступали.
Ясно, что 1) ν(0) = 0; 2) ν(t) для каждого t > 0 принимает лишь целые
неотрицательные значения; 3) траектории процесс а ν(t) не убывают.
Случайный процесс ν(t) с такими свойствами будем называть потоком
(однотипных) событий.
Поток (процесс) ν(t) считается заданным, если для каждого целого
числа n > 1 и любых неотрицательных чисел τ1, . . . , τnзадано распределение случайного вектора
{ν (τ1), . . . , ν(τn)}
Другой эквивалентный (показать!) способ задания потока событий
заключается в следующем. Пусть t1, t2, . . . — последовательные моменты наступления событий; tk> t
при k > 1 и t0= 0. Положим
k−1
zk= tk− t
k−1
, k > 1.
Говорят, что задан поток однотипных событий (входящий поток требований, поток вызовов и т.д.), если для каждого целого числа n > 1
задано распределение случайного вектора
(z1, . . . , zn).
Если случайные величины z1, z2, . . . независимы в совокупности, то
соответствующий поток событий называется потоком с ограниченным
последействием. Для задания такого потока достаточно задать набор
функций распределения
Ak(t) = P {zk< t}, k > 1.
Поток с ограниченным последействием, для которого A2(t) = A3(t) =
= . . . = A(t), называется рекуррентным потоком с запаздыванием,
определяемым функциями A1(t) и A(t).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]