Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Содержание и структура специальной математической подготовки инженеров и магистров в технологическом университете. Монография
.pdf
ВВ ЕДЕ НИЕ
Дисциплина «Дополнительные главы математики» относится к циклу дисцип-
лин федерального компонента.
Данная дисциплина изучается на шестом курсе студентами-магистрами по направлению 240100 «Химическая технология и биотехнология».
Форма обучения студентов – очная.
В соответствии с учебным планом магистров по направлению 240100 дисциплина изучается студентами в обязательном порядке. Код дисциплины по учебному
плану – ДНМ.05.
Изучение дисциплины «Дополнительные главы математики» предусмотрено
ГОС ВПО (2000 г. утверждения) по направлению 240100.
1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ, ЕЕ МЕСТО В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
1.1 Ц е ли пр е по дав ан и я дис цип ли н ы
1.1.1 Объект изучения дисциплины – методы математического описания на-
учных исследований, современные методы математической обработки результатов
экспериментов и наблюдений.
Предмет изучения – теория матриц, дифференциальные уравнения в частных
производных, методы их решения, уравнения математической физики, численные
методы, статистика многомерных случайных величин.
1.1.2 При организации учебного процесса по дисциплине устанавливаются
следующие цели ее преподавания:
1) дать студентам дополнительные знания по теории матриц;
2) ознакомить студентов с общей классификацией дифференциальных урав-
нений в частных производных, научить студентов основным методам их решения;
3) ознакомить студентов с основами современных численных методов и их
применения к решению прикладных задач, в том числе к решению задач математической физики;
4) показать приложения методов оптимизации;
5) рассмотреть методы статистики многомерных случайных величин для
математической обработки результатов экспериментов и наблюдений.
1.1.3 В результате преподавания данной дисциплины могут быть решены сле-
дующие задачи:
1) получение студентами дополнительных знаний по теории матриц;
2) освоение студентами основных методов решения дифференциальных урав-
нений в частных производных;
3) освоение студентами основных современных численных методов, методов
оптимизации и возможности их применения к конкретным прикладным задачам;
151
4) рассмотрение основ статистики многомерных случайных величин, использование методов дисперсионного и корреляционного анализа для математической
обработки результатов экспериментов и наблюдений;
5) изучение основных положений теории планирования эксперимента.
1.2 Р е зу л ьт аты , д ос т иг а ем ые п ри об уч е ни и
1.2.1 Студент, изучивший дисциплину, должен знать по ГОС ВПО2000:
а) основы статистики многомерных случайных величин (многомерные случайные величины, элементы математической статистики, методы корреляционного,
дисперсионного, кластерного анализа) и их применение;
б) основы теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (определение, задача Коши, линейные однородные уравнения, квазилинейные уравнения первого порядка), дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (классификация линейных уравнений второго порядка, приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме, канонические
формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, краевые задачи: задачи
Коши, Дирихле, Неймана, метод Римана);
в) основы теории планирования эксперимента (роль эксперимента в развитии
науки и техники. Эффективность научных исследований. Задачи теории планирования эксперимента);
г) основы теории обратных задач (определения и методы решения).
Студент, изучивший дисциплину, дополнительно должен знать:
а) основные определения теории матриц (диагональная, единичная транспонированная, комплексно-сопряженная, самосопряженная (эрмитова) матрицы), сложение и умножение матриц, обратная матрица, определители и их свойства, собственные значения и собственные вектора и их свойства;
б) основы численных методов (интерполирование, решение систем линейных
алгебраических уравнений, численное интегрирование, приближенное интегрирование
дифференциальных уравнений, численное решение уравнений в частных производных,
численное решение интегральных уравнений);
в) основы методов оптимизации (линейное программирование: геометрическое решение, симплекс-метод; нелинейное программирование: методы Ньютона,
Фибоначчи, «Золотого сечения»).
1.2.2 Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:
а) анализировать и решать дифференциальные уравнения в частных производных;
б ) применять численные методы для решения прикладных задач;
в) решать задачи оптимизации;
г) производить обработку статистической информации;
д) использовать методы экспериментальных исследований и обработки экспериментальных данных.
152
1.3 П ред ш ес тву ющи е д ис ц ип лин ы
В таблице 1 представлены темы предшествующих дисциплин, которые
необходимо изучить студенту для успешного освоения материалов дисциплины
«Дополнительные главы математики».
Таблица 1 – Дисциплины и их темы, используемые при изучении дисциплины
«Дополнительные главы математики»
Код и наименование
дисциплины по учебному
плану
ЕН.Ф.01 «Математика» 1. Элементы линейной алгебры и аналитической гео-
метрии.
2. Введение в математический анализ.
3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
4. Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных.
5. Элементы высшей алгебры.
6. Интегральное исчисление функций одной переменной.
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
8. Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
9. Векторный анализ.
10. Числовые и функциональные ряды.
11. Уравнения математической физики.
12. Элементы теории вероятностей и математической
статистики.
13. Элементы теории функций комплексного переменного.
Перечень тем
1.4 П о сл е ду ющи е д ис ц ип л ин ы
В таблице 2 представлены темы дисциплины «Дополнительные главы мате-
матики», знание которых необходимо студенту для освоения материалов других дис-
циплин, изучение которых предусмотрено образовательной программой магистров
по направлению 240100 на базе данной дисциплины в будущем, а также при выполнении выпускной квалификационной работы, подготовке и сдаче междисциплинарного государственного экзамена.
153
Таблица 2 – Использование материалов дисциплины «Дополнительные главы
математики» при изучении последующих дисциплин и выполнении других видов
учебной деятельности согласно учебному плану
Перечень тем дисциплины
«Дополнительные главы математики»
Код и наименование последующей
дисциплины или вида деятельности
по учебному плану
Последующие дисциплины
Последующие виды деятельности
Тема 1. Теория матриц.
Тема 2. Дифференциальные уравнения в
частных производных, методы их решения.
Тема 3. Уравнения математической физики.
Тема 4. Численные методы.
Тема 5. Статистика многомерных
Выполнение выпускной
квалификационной работы.
Подготовка и сдача
междисциплинарного
государственного экзамена.
случайных величин.
Тема 6. Планирование эксперимента.
2 СОДЕРЖАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
2.1 Р а сп ред ел е ние у ч еб н ог о в рем ен и п о в и да м з ан я ти й
Распределение времени, отведенного учебным планом магистров по направле-
нию 240100 на изучение дисциплины «Дополнительные главы математики» (по видам занятий и их темам), представлено в таблице 3.
Таблица 3 – Распределение по видам занятий учебного времени дисциплины
«Дополнительные главы математики» (в часах)
Курсовая
*
Тема
Лекции
Практические
занятия
Лабораторные
занятия
СРС
работа
(курсовой
проект)
1
2
3
4
1 2
2 4
4 6
2 4
-
-
-
-
4
4
6
7
-
-
-
-
154
Окончание табл. 3
*
Тема
Лекции
Практические
занятия
Лабораторные
занятия
СРС
работа
(курсовой
проект)
Курсовая
5
6
ИТОГО:
* - нумерация тем соответствует нумерации тем лекций в подразделе 2.2 – см. ниже
6 12
2 6
17 34
-
-
-
12
6
39
-
-
-
2.2 Л е кц и и
Общая продолжительность лекционных занятий и распределение учебного
времени по отдельным темам представлены в таблице 3.
Тема 1. Теория матриц
Лекция 1. 1. Теория матриц. Основные определения. Сложение и умножение
матриц. Транспонированная матрица. Обратная матрица. Определители и их свойства. Собственные значения и собственные вектора и их свойства.
Тема 2. Дифференциальные уравнения в частных производных, методы их
решения.
Лекция 2. 2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие поня-
тия. Задача Коши. Линейные однородные уравнения. Квазилинейные уравнения первого порядка.
2.2. Дифференциальные уравнения второго порядка. Классификация линейных
уравнений второго порядка. Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
2.3. Краевые задачи. Задачи Коши, Дирихле, Неймана. Метод Римана.
Тема 3. Численные методы.
Лекция 3. 3.1. Интерполирование функций. Конечные разности и разностные
отношения. Алгебраическое интерполирование функций. Вычисление значений производных с помощью интерполирования функций.
3.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Методы Гаусса,
Гаусса с выбором главного элемента, ортогонализации, простой итерации, Зейделя.
Оценка погрешности приближенного решения.
Лекция 4. 3.3. Численное интегрирование.
Формулы Эйлера, трапеций, Симп-
сона. Простейшие формулы Ньютона-Котеса.
155
3.4. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений. Методы
решения задачи Коши. Решение с помощью ряда Тейлора. Методы Рунге-Кутта,
Адамса. Метод сеток для решения линейных граничных задач. Методы Галеркина,
моментов, наименьших квадратов, Ритца.
3.5. Численное решение уравнений в частных производных. Разностные схемы
для уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов.
Тема 4. Методы оптимизации.
Лекция 5. 4.1. Линейное программирование. Геометрическое решение,
симплекс-метод.
4.2. Нелинейное программирование. Методы Ньютона, Фибоначчи, «Золотого
сечения».
Тема 5. Статистика многомерных случайных величин.
Лекция 6. 5.1. Многомерные случайные величины. Дискретные и непрерывные
многомерные случайные величины, их числовые характеристики. Зависимые и независимые случайные величины. Признаки независимости случайных величин. Условные
законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин.
5.2. Корреляция.
Линейные и нелинейные функции регрессии. Линейная аппроксимация. Метод наименьших квадратов.
Лекция 7. 5.3. Элементы математической статистики. Выборочный метод.
Генеральная и выборочная совокупности. Повторная, бесповторная и репрезентативная выборки. Способы отбора. Статистическое распределение выборки, эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Статистические оценки
параметров распределения, их числовые характеристики. Точность оценки, доверительный интервал. Методы расчета сводных характеристик.
5.4. Корреляционный анализ. 5.4.1. Корреляционная зависимость между случайными величинами. Понятие корреляционной зависимости между случайными величинами. Корреляционная таблица. 5.4.2. Выборочные характеристики. Выборочные
функции регрессии. Выборочная линейная регрессия. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Выборочные коэффициенты и прямые регрессии. Методика
вычисления параметров линейной регрессии.
Лекция 8. 5.4.3. Применение корреляционного анализа. Выборочное корреляци-
онное отношение и его свойства. Простейшие случаи криволинейной корреляции.
5.5. Дисперсионный анализ. Понятие о дисперсионном анализе. Общая факторная и остаточная суммы квадратов отклонений и дисперсии. Связь между ними.
5.6. Кластерный анализ. Понятие о кластерном анализе.
5.7. Статистическая проверка статистических гипотез.
гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Сравнение двух
дисперсий нормальных генеральных совокупностей. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых извест-
Коэффициент корреляции и его свойства. Функция регрессии.
Статистическая
156
ны. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента
корреляции.
Тема 6. Планирование эксперимента.
Лекция 9. 6.1. Общие положения теории планирования эксперимента. Роль
эксперимента в развитии науки и техники. Эффективность научных исследований.
Задачи теории планирования эксперимента. Критерии оптимальности и типы планов.
2.3 П рак тич еск ие (с е ми нар ски е) за н ят и я
Учебным планом магистров по направлению 240100 предусмотрено проведе-
ние семинарских занятий по дисциплине «Дополнительные главы математики».
Цель проведения семинарских занятий – освоение лекционного материала и
выработка определенных умений, связанных с усвоением студентами современных
знаний о методах математического описания научных исследований, современных
методах математической обработки результатов экспериментов и наблюдений.
Режим проведения семинарских занятий – один раз в неделю по 2 часа.
Общая продолжительность семинарских занятий и их распределение по
отдельным темам согласно тематике лекционного курса представлены в таблице 3.
Конкретное содержание семинарских занятий представлено в таблице 4.
Таблица 4 – Содержание практических (семинарских) занятий по дисциплине
«Дополнительные главы математики»
Содержание занятий
Объем
в часах
Тема *
1. Теория матриц. Виды матриц. Действия над матрицами: сложение, умножение, умножение на число, обратная матрица, определитель. Собственные значения и собственные вектора.
2. Дифференциальные уравнения в частных производных
первого порядка. Линейные однородные уравнения. Квазилиней-
ные уравнения первого порядка.
3. Дифференциальные уравнения в частных производных
второго порядка. Классификация линейных уравнений второго
порядка. Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме. Канонические формы линейных уравнений с
постоянными коэффициентами.
157
2 1
2 2
2 2
Продолжение табл. 4
Содержание занятий
4. Численные методы. Интерполирование функций. Конечные
разности и разностные отношения. Решение систем линейных
алгебраических уравнений. Методы Гаусса, Гаусса с выбором
главного элемента, ортогонализации, простой итерации, Зейделя.
5. Численные методы. Численное интегрирование. Формулы
Эйлера, трапеций, Симпсона. Приближенное интегрирование
дифференциальных уравнений. Методы решения задачи Коши.
Решение с помощью ряда Тейлора.
6. Численные методы. Методы Рунге-Кутта, Адамса. Метод
сеток для решения линейных граничных задач. Методы Галеркина, моментов, наименьших квадратов, Ритца.
Объем
в часах
2 3
2 3
2 3
Тема *
7. Методы оптимизации. Линейное программирование: геометрическое решение, симплекс-метод.
8. Методы оптимизации. Нелинейное программирование: методы Ньютона, Фибоначчи, «Золотого сечения».
9. Статистика многомерных случайных величин. Дискретные и
непрерывные многомерные случайные величины, их числовые
характеристики. Коэффициент корреляции и его свойства. Функция регрессии.
10. Элементы математической статистики. Выборочный метод.
Генеральная и выборочная совокупности. Повторная, бесповторная и репрезентативная выборки. Способы отбора. Статистическое
распределение выборки, эмпирическая функция распределения.
Полигон и гистограмма.
11. Корреляционный анализ. Корреляционная зависимость между случайными величинами. Корреляционная таблица. Выборочные функции регрессии. Выборочная линейная регрессия. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.
12. Корреляционный анализ. Выборочные коэффициенты и
прямые регрессии. Методика вычисления параметров линейной
регрессии.
2 4
2 4
2 5
2 5
2 5
2 5
158
Содержание занятий
13. Статистическая проверка статистических гипотез. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная
гипотезы. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных
совокупностей. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с
гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.
14. Статистическая проверка статистических гипотез. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых
известны. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Проверка гипотезы о
значимости выборочного коэффициента корреляции.
15. Планирование эксперимента. Построение регрессионной
модели первого порядка по данным пассивного эксперимента.
Реализация процедур регрессивного анализа в матричной форме.
16. Планирование эксперимента. Построение регрессионой модели первого порядка при активном эксперименте. Постановка
задачи, выбор вида модели и плана эксперимента. Матрица планирования. Реализация опытов, определение выборочных оценок
коэффициентов регрессии.
17. Планирование эксперимента. Статистическая обработка
опытных результатов: оценка воспроизводимости результатов,
проверка однородности построчных дисперсий. Статистический
анализ уравнения регрессии: проверка значимости коэффициентов
регрессии, проверка адекватности и работоспособности полученной математической модели. Интерпретация результатов.
Окончание табл. 4
Объем
в часах
Тема *
2 5
2 5
2 6
2 6
2 6
ИТОГО 34
* - Нумерация соответствует тематике лекций (см. подраздел 2.2)
В процессе проведения семинарских занятий применяются следующие техно-
логии обучения: традиционные технологии и доклады студентов.
159
2.4 Л а бо рат орн ые за н ят ия
Учебным планом магистров по направлению 240100 не предусмотрено прове-
дение лабораторных занятий по дисциплине «Дополнительные главы математики».
2.5 К у рс ова я р аб о та
Учебным планом магистров по направлению 240100 не предусмотрено выполнение студентами курсовой работы по дисциплине «Дополнительные главы математики».
2.6 К у рс ово й п рое кт
Учебным планом магистров по направлению 240100 не предусмотрено выполнение студентами курсового проекта по дисциплине «Дополнительные главы математики».
3 ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
3.1 Х а ра кте рис тик а с ам ост оят ель но й р або ты сту ден тов
3.1.1 Общая продолжительность СРС, предусмотренная учебным планом
магистров по направлению 240100 по дисциплине «Дополнительные главы математики» для очной формы обучения, а также распределение учебного времени по
отдельным темам представлены в таблице 3.
СРС включает следующие виды работ:
♦ Проработка теоретического материала;
♦ Письменное выполнение домашнего задания;
♦ Подготовка реферата.
По результатам осуществления СРС применяются следующие виды контроля:
♦ Проверка домашнего задания;
♦ Собеседование;
♦ Реферат (на 10-15 страниц);
♦ Зачет.
3.1.2 Развернутая схема внеаудиторной работы студентов с указанием форм
деятельности и соответствующих им форм контроля результатов, а также примерного
времени, затрачиваемого студентом на выполнение различных видов работ (включая
подготовку к занятиям), и ссылок на рекомендуемые источники информации представлены в таблице 8.
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]