Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практика решения задач по общей физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
R=0,5 м от оси вращения скорость относительно диска составила 3 м/с. С какой
0,1
1 mкг
F bt
3 .
b H c
3500
m
кг
кг с
800
м с
3 3
40
кН
Н с м
кг с
2
м с
0,5
кг
1,0
кг
силой в этот момент диск действует на это тело?
Вариант 2
1. На рисунке показана система связанных
тел. Найти ускорение грузов при условии, что
m
> m1. Считать угол α и коэффициент трения
2
скольжения между бруском и наклонной
плоскостью известными, нить невесомой и
нерастяжимой, массой блока пренебречь.
2. К покоящемуся на горизонтальной поверхности (коэффициент трения
) телу
приложили вдоль поверхности силу
, где
На какое расстояние переместится тело за первые две секунды
движения?
3. Какое ускорение приобретет космический аппарат массой
если при маневрировании горючее расходуется со скоростью
скорость вытекания газа составляет
?
0,2
, а
4. Определите в какую сторону и на какое расстояние отклонится тело от
вертикали за время свободного падения из состояния покоя на Землю на
экваторе с высоты h.
Вариант 3
1. Брусок массой m, находящийся на наклонной плоскости, тянут вверх с
силой вдвое привыщающей действующую на него силу тяжести и
направленную параллельно плоскости. Определите при каком угле наклона
плоскости ускорение бруска будет наименьшим. Коэффициент трения между
бруском и наклонной плоскостью
.
2. Определите время необходимое для набора взлетной скорости 360 км/ч
самолету массой 10 т с силой тяги двигателей
воздуха пропорциональна скорости движения:
F
F
т
c
. Сила сопротивления
, где 200
.
,
3. Тележка с песком общей массой m0=100 кг начинает двигаться под
действием горизонтальной силы F=20 Н. Найти ускорение и скорость тележки,
спустя 10 с, если песок утекает через отверстие со скоростью
5
.
4. Через невесомый блок, прикрепленный к потолку кабины лифта,
опускающегося с ускорением
привязаны гирьки с массами
m
1 a
, перекинута нить, к концам которой
0
m
1
и
2
. Найдите силу, с которой
блок действует на потолок кабины.
71
Вариант 4
30
м с
0,2
16
м с
2 .
F
0,3
кг
0,7 .
кг
600
m
кг
км ч
0,2 .
50 Mкг
200
м с
кг с
2
t c
1. Вдоль наклонной плоскости с углом
скоростью
возвращаться к начальному положению. Определить скорость тела после
возвращения в исходное состояние, принимая коэффициент трения равным
. Найдите также интервал времени между началом и концом движения.
2. Катер массой m=400 кг развивает максимальную скорость
Определите время, в течение которого катер после выключения двигателя
потеряет половину своей скорости. Принять, что сила сопротивления
движению катера изменяется пропорционально скорости
3. В космическом пространстве начинает реактивное движение ракета
Струя газа выпускается со скоростью 100 м/с. Какую скорость будет иметь
ракета, к моменту умешьшения ее массы на 50%?
4. Из центра гладкого диска вращающегося с угловой скоростью
ω=10 рад/с вдоль радиуса пустили небольшую шайбу массой m=0,2 кг cо
скоростью 5 м/с. Найдите момент силы Кориолиса, дествующей на шайбу,
относительно центра диска спустя две секунды.
10
0
. Поднявшись на максимальную высоту, оно начинает
брошено вверх тело со
.
Вариант 5
1. Определите ускорения, с которыми движутся грузы.
F
u
m
1
и
Массы грузов
пренебречь.
2. Моторная лодка массой
50
0
лодка остановится? Сила сопротивления движению на воде
принять равной:
3. Начальная масса ракеты на старте
истечения газа
сопротивлением воздуха, определите, какую скорость приобретет ракета через
после старта.
4. Вдоль горизонтально расположенного стерженя, вращающегся с
постоянной угловой скоростью ω=10 рад/с вокруг вертикальной оси,
проходящей через его конец, движется муфта m=0,2 кг с постоянной скоростью
5,0
м/с. Определить силу, действующую на муфту в момент, когда оно
. Через какое время после выключения двигателя
m
2
, расход горючего
Массой блоков
движется со скоростью
0
. Относительная скорость
0,3
. Пренебрегая
находится на расстоянии r=0,2 м от оси вращения.
72
3. МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ.
A F dr F ds
cos
dr
Дж Н м
0
0
А
0
0
А
, .
i i i
A A F dr
( )
A F s ds
.
A
dt
1 1 .
Вт Дж с
t
t
, .
N F F
s
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
3.1. Основные понятия, формулы и уравнения
Элементарная работа – пространственная характеристика действия силы,
равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного
перемещения:
F F
где
– проекция силы на направление перемещения
Единица измерения работы:
При
F
(движущая сила):
. Если на тело действуют несколько сил, то:
Работа переменной силы:
Работа численно равно площади фигуры под графиком
Мощность – физическая величина, характеризующая скорость
совершения работы:
F
0
,
1 1 A
n n
1 1
i i
12
s
1
Рис. 3.1
; при
s
2
s
1
, (3.1)
.
.
F
(сила сопротивления):
. (3.2)
. (3.3)
)(sF
(рис. 3.1)
A
12
s
2
Единица измерения мощности:
Средняя мощность за интервал времени
Мгновенная мощность – скалярное произведение вектора силы на вектор
скорости:
N
N
N
A
73
(3.4)
:
12
. (3.5)
(3.6)
Энергия – универсальная мера различных форм движения и
( , ) ( ) ( ).
E r T U r
2
.
2
i i
2 1 12
2 2
T T T A
, .
U F dr C
r
11 2 2
Н м кг
,
U h mgh
2
.2kr
взаимодействия, является функцией состояния системы. Энергия никогда не
исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в
другой.
В классической механике механическая энергия системы равна сумме
кинетической и потенциальной энергии:
(3.7)
Кинетическая энергия механической системы равна алгебраической
сумме кинетических энергий всех частей этой системы:
n
T
i
m
(3.8)
1
Изменение кинетической энергии механической системы равно работе
всех внешних сил, действующих на систему (теорема об изменении
кинетической энергии механической системы):
2 2
m m
. (3.9)
2 1
Консервативные и диссипативные силы.
Консервативные силы – силы, работа которых по замкнутой траектории
перемещения равна нулю:
rdFA
.0),(
(3.10)
Работа неконсервативных (диссипативных) сил зависит от траектории
перемещения тела от одной точки к другой. К консервативным силам относятся
силы тяготения, силы упругости, а к диссипативным – силы трения, силы
сопротивления. Работа диссипативных сил всегда отрицательна.
Потенциальная энергия – энергия, зависящая от взаимного расположения
и характера взаимодействия тел. Отсчитывается относительно нулевого уровня
и определяется работой консервативных сил с точностью до некоторой
произвольной постоянной:
(3.11)
Потенциальная энергия частицы в различных силовых полях:
в гравитационном поле:
GrU
Mm
,
(3.12)
где
6,67 10G
– гравитационная постянная.
в однородном поле сил тяжести:
(3.13)
в поле упругой силы:
U r (3.14)
74
Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии:
1 2
.
A U U U
x
z
, ,
U x y z
U
U const
U
F
gradU
, ,
U x y z
x
z
2 2 2
.
x y z
F F F F
.
E t T t U t const
.нкE A
p m m const
c
(3.15)
Связь между силой и потенциальной энергией. Консервативная сила равна
градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком:
U
z
по соответсвующим
где
U
U
gradUF
U
U
,
,
y
– частные производные
k
x
U
i
y
j
координатам.
Градиент функции
эквипотенциальной поверхности
есть вектор, направленный по нормали к
в сторону возрастания U, его длина
численно равна производной по нормали функции
противоположен вектору
Функция координат
.
полностью определяет консервативную
силу по модулю и направлению:
U
,
F
y
z
U
.
(3.18)
F
U
F
x
,
y
Закон сохранения механической энергии: в замкнутой и консервативной
системе полная механическая энергия сохраняется:
,
(3.16)
. Вектор
. (3.17)
(3.19)
Изменение полной механической энергии равно работе всех
неконсервативных сил:
(3.20)
10. Закон сохранения импульса механической системы: в замкнутой
механической системе с течением времени импульс не меняется:
n
i
1
i i c
, (3.21)
где m – масса системы,
− скорость центра масс системы.
При любых процессах в замкнутой системе скорость ее центра масс
const
(центра инерции) не изменяется с течением времени
c
.
75
3.2. Основные типы задач и методы их решения
( )
A F s ds
U x
1. Определение механической работы, мощности и энергии.
Метод решения: при определении механической работы возможны два
принципиально разных подхода. Первый метод предполагает прямое
s
2
интегрирование выражения
12
s
1
, если известен характер силы,
совершающей работу по перемещению тела. Отметим, однако, что сила может
зависеть не только от координаты, но и от скорости или от времени. В этом
случае, интегрированию должны предшествовать динамико-кинематические
методы.
Если характер сил взаимодействия неизвестен, то единственно
возможным остается энергетический метод решения. Он основан на
использовании соотношений (3.9); (3.15); (3.20), связывающих приращение
механической энергии с работой. Применение энергетического метода
предусматривает следующий алгоритм действий:
1) выбор инерциальной системы отсчета, относительно которой будет
определяться значение энергии;
2) находят энергию механической системы в начальном состоянии;
3) определяют значение энергии в конечном состоянии системы;
4) для получения уравнения и нахождения работы используют закон
сохранения либо изменения энергии;
5) алгебраические преобразования и расчеты.
Энергетический метод часто быстрее приводит к достижению конечного
результата. Но, оба метода равноправны и выбор определяется конкретным
условием задачи.
2. Упругая деформация твердого тела.
Нахождение относительной и абсолютной деформации, энергии упруго
деформированного тела и работы при упругом деформировании.
Метод решения: применение закона Гука для основных видов
деформации, использование формул для объемной плотности энергии упруго
деформированного тела.
3. Нахождение силы, действующей на частицу в потенциальном поле и
определение условий равновесия.
Метод решения: использование соотношения (3.16), связывающего силу и
потенциальную энергию. Отыскание устойчивого и неустойчивого положений
равновесия механической системы осуществляется путем нахождения
минимума и максимума потенциальной энергии и последующим их анализом.
Целесообразно построение графиков потенциальной энергии
().
и силы
4. Упругое и неупругое столкновение частиц.
Метод решения: применение законов сохранения импульса и
76
механической энергии. Следует иметь в виду, что закон сохранения импульса
10 mкг
2
2 12 2 .
x t t
5
t c
носит векторный характер, и применим только к замкнутым системам, т.е. к
системам, на которые не действуют внешние силы (либо векторная сумма
внешних сил равна нулю). Применение же закона сохранения механической
энергии в свою очередь возможно только тогда, когда система не только
замкнута, но и консервативна. Условие консервативности – отсутствие
перехода механической энергии в другие виды. В частности, к неупругому
удару закон сохранения механической энергии неприменим.
При рассмотрении столкновения двух частиц (или любых тел)
ограничимся только абсолютно упругим и абсолютно неупругим ударом.
Промежуточный случай рассматривать не будем. Систему частиц будем всегда
считать замкнутой, а потенциальной энергией их взаимодействия будем
пренебрегать.
3.3. Примеры решения задач
Первый тип задач
jbiaF
Пример 1. Сила, действующая на частицу, имеет вид
, где
а и b – константы. Определите работу, совершаемую над частицей этой силой
на пути от точки с координатами (3; 4; 5) м до точки с координатами (6; 7; 8) м.
Решение
В данной задаче известна сила, действующая на частицу. Поэтому
следует напрямую воспользоваться формулой для определения работы.
Элементарная работа согласно определению равна
., dzFdyFdxFrdFA
zyx
Полную работу найдем путем интегрирования:
x
2
x
1
y
2
x
y
1
z
2
y
z
.
dzFdyFdxFA
z
1
Учитывая проекции силы на координаные оси, получим:
6
3
Пример 2. Движение частицы массой
кинематическим уравнением:
действующей на частицу силой, за время
7
).(3
babdyadxA
4
.
описывается
Найдите работу, совершаемую
.
Решение
Данная задача может быть решена разными способами. Вначале
воспользуемся динамическим методом.
На основании закона движения прежде определим скорость и ускорение
частицы:
77
12 4 ,
dx
м с
dt
dt
40 .
Н
12 4 0,
t
2 12 3 2 9 20 .
м
0t
3 tс
3
с
1
S
2
S
5
t c
3
с
x
t
d
a
x
x
2
/4 см
.
Сила, действующая на частицу, постоянна и противоположна оси Оx:
F ma
x x
Перед вычислением работы, совершаемой данной силой, обратим
внимание на то, что направление движения частицы в некоторый момент
времени изменяется на противоположное. Приравняв скорость к нулю, найдем
этот момент времени:
tв=3 с.
Положение тела в этот момент времени:
x
в
Таким образом, в начальный интервал времени движения (от
до
) действующая сила является тормозящей. Путь, пройденный частицей за
этот промежуток, определяется как разность координат в момент времени
t
в
и в начальный момент времени:
S1 = xв – x2 =20 – 2=18 м.
Путь за второй промежуток времени составит:
S2 = xв – x2= 20 – 12=8 м.
Отметим, что пути
телом за разные промежутки времени, можно
и
пройденные
см /,
найти и по графику зависимости скорости от
времени (рис. 3.2).
Работа тормозящей силы на первом
s
1
этапе пути отрицательна и равна:
s
A1=FS1cos(180°)=–720Дж.
2
В последующий интервал времени
движения (от
до
действующая на частицу, является движущей
t
в
), сила,
Рис. 3.2
силой, которая ускоряет ее движение и совершает положительную работу,
поэтому работа этой силы имеет значение:
A2=FS2 cos(0°)=320Дж.
.
Полная работа действующей силы за весь искомый интервал движения
будет равна сумме работ:
Рассмотрим энергетический метод решения этой задачи. Работа
А=A1+А2 =-400Дж.
78
равнодействующей силы приводит к изменению кинетической энергии тела:
2
2
2 mкг
4 2 .
F ti t j
( )
N t
2
t c
( ) ( , ).
.tadt
= .
F t t
a i j
m m m
.
i j t t
tdt t dt i j
m m m m
( ) 4 2 , 2 .
N t ti t j i j t
5,33
N
Вт
F kt
,
dA F t dx F t t dt
2
mm
1
.
A
2
2
Начальная и конечная скорости соответсвенно равны:
1
смx/12
,
2
Подстановка этих значений в формулу работы через разность
кинетических энергий, дает аналогичный результат.
Пример 3. Тело массы
2
Найдите мощность
начинает двигаться под действием силы:
, развиваемую силой в момент времени
.
Решение
По определению мгновенная мощность:
N t F
Вектор скорости тела к моменту времени найдем путем интегрирования
ускорения по времени:
0
Вектор ускорения выразим из второго закона Ньютона:
4 2
2
смx/85412
.
Подставляя найденное выражение в формулу для вектора скорости, получим:
t t
4 2 2 2
0 0
2
2 3
3
С учетом данного выражения мощность, развиваемая телом к моменту
времени t равна:
2 2
2 3 3 5 3
2 2 8 4 4 1
t t t t t
m m m m m
3 3 3
Вычисляя, получим:
.
Пример 4. Космический корабль массы m движется в отсутствии внешних
сил со скоростью
пропорциональную времени
. Реактивный двигатель корабля развивает силу тяги,
0
. Определите работу двигателя за первую
секунду его работы.
Решение
В данной задаче сила является функцией времени, поэтому представим
элементарную работу в виде
79
отсюда работа двигателя найдется интегрированием:
.tA F t t dt
( )
t
.
m kt
dt
0
,
d tdt
m
2
.
2
t t
m
A kt t dt
2 2 4 2
.
2 8 2 8
k t k t k k
m m
F k
кг с
100
m
кг
.tA k t t dt
.dm mg k
dt
1 .
Для нахождения зависимости скорости от времени
решить основную задачу динамики:
Разделяя переменные, интегрируя и учитывая начальные условия (при
0, t
), получим закон изменения скорости:
0
C учетом представленной зависимости
интегралом:
В результате интегрирования получим:
0
t
0
d t
k
0
0
необходимо
t
0
k
искомая работа выражается
t
k
2
.
2
m
A
0 0
Пример 5. Определите работу силы сопротивления воздуха, действующей
на парашютиста при затяжном пружке за первые три секунды. Силу
сопротивления воздуха при падении парашютиста необходимо считать
пропорциональной скорости
c
, где 20 k
. Масса парашютиста
.
Решение
В данной задаче сила, совершающая работу, пропорциональна скорости,
поэтому формулу работы из предыдущей задачи, приведем к виду:
0
Зависимость скорости парашютиста от времени находим из основного
закона динамики:
Разделяя переменные и интегрируя, после преобразований получим:
k
t
mg
m
e
k
Таким образом, искомая работа выражается интегралом:
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]