Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практика решения задач по общей физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
2 2 2
2 2 2
( )
d y d x d b
dt dt dt
3
a
dt
2
a
dt
1
a
dt
3 2 1
a tg a a
2
м с
2
м с
F b t
b
b
O
bt mg
mg
b
0
t t
0
( ) ( )
F t mg b t t
m m
t
2
( )
b b t t
3
( )
b b t t
tg
.
Очевидно, что
2
d y
2
2
d x
,
2
2
d b
,
. С учетом этого, искомое
2
соотношение между ускорениями приобретает вид:
.
Совместное решение уравнений динамики для клина и тела вместе с
полученным соотношением между ускорениями дает следующие результаты:
sin2
a
1
2 sin
M m
Проведя вычисления, найдем
mg
и
2
1,6a
,
1
a
2
2 sin
2
sin2
Mg
M m
3,1a
.
.
2
Второй тип задач
Пример 7. К покоящемуся на горизонтальной шероховатой поверхности
(коэффициентом трения ) телу массы m приложили силу
, где
–
постоянный вектор, направленный горизонтально. Найдите путь, пройденный
телом за первые t секунд действия этой силы.
Решение
Выберем систему отсчета. Ось Ох направим по вектору
, а точку
совместим с начальным положением тела, принимая его за материальную
точку. Тело придет в движение, когда приложенная сила достигнет
максимального значения силы трения покоя, равной силе трения скольжения:
t
Это произойдет в момент
Для
тело будет двигаться с ускорением:
0
a
Скорость и координата тела при условиях
произвольный момент времени
интегрирования:
( ) ( )
t t t t dt
0 0
( ) ( )
x t t t t dt
0 0
0
t
Для
функция )(tx возрастающая, поэтому:
.
.
от начала действия силы найдутся путем
t
m m
t
0
t
2 6
m m
t
0
2
2
.
0
,
0
.
0)(0t
и
0)(0tx
в
51
3
( )
( ) ( ) .
6
b t t
m
25
двигателя связаны варажением
max
N
m k
dt
m k
dt
d kdt
m
max
max
d kdt
m
ktm
s t x t
0
Пример 8. Прогулочный катер с двигателем мощностью N=40 кВт с
пассажирами на борту имеет общую массу 1200 кг развил максимальную
скорость
max
км/ч. За какое время после выключения двигателя скорость
уменьшится вдвое? Учтите, что сила сопротивления движению на воде катера
пропорционально скорости.
Решение
Мощность двигателя и сила тяги
=
. При движении кактера с постоянной скоростью сила тяги
двигателя уравновешивается силой сопротивления движению (рис. 2.7, а),
которая пропорциональна скорости его движения:
kF
c
, где k –
коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, формы тела и
свойств окружающей среды. Из сказанного, можно найти коэффициент
сопротивления k :
F =
=
k
.
2
После выключения двигателя, катер начинает двигаться равнозамедленно
под действием силы сопротивления (рис. 2.7, б). Запишем для него второй
закон Ньютона в векторном виде:
d
.
В прекции на направление движения имеем:
d
.
После разделения переменных получим:
Проинтегрируем левую часть уравнения от
.
до
0,5
, а правую
соответственно от нуля до t:
0,5
υ
max
0 0
0,5
ln
max
max
t
,
.
52
а) б)
ln2 ln2
k N
100
m
кг
F k
20 /
k
кг с
:
t
m mg k
dt
0, 0
t
Рис. 2.7
Окончательно, для t имеем:
m m
t
2
max
.
После подстановки числовых значений, получим:
t =1 c.
Пример 9. Парашютист массой
совершает затяжной прыжок.
Силу сопротивления воздуха при падении парашютиста необходимо считать
пропорциональной скорости
c
, где
. Найдите:
а) закон изменения скорости парашютиста при затяжном прыжке;
б) закон его движения.
Решение
Выберем систему отсчета, поместив начало координат в точку О, из
которой начинается падение парашютиста. Ось ОY направим вертикально вниз.
На парашютиста действуют две силы: сила тяжести и сила сопротивления
воздуха. По второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение
для неизвестной функции
d
.
Разделяя переменные, получим:
k
,dt
m
mg
k
d
или
mg
d
k
mg
k
k
.dt
m
Отсюда после интегрирования, получаем:
mg
k
k
m
.ln Ct
Постоянную интегрирования C определяем из начальных условий
(при
):
C
53
mg
.ln
k
После подстановки и преобразований, получим:
t
t
k
50 .
м с
k m t
k k
газов
0
ln
m
m
m t
d dm
dt dt
k
mg
1
m
e
.
k
Из полученной формулы видно, что при
своему максимальному значению
mg
, что составляет примерно
max
скорость стремится к
Такое значение скорости достигается через сравнительно небольшой
промежуток времени. В дальнейшем движение парашютиста будет
равномерным.
Закон движения парашютиста (обратная задача кинематики) найдем
интегрированием:
t
y t t dt t e
0
mg m g
2
1
2
.
Третий тип задач
Пример 10. Какую скорость приобретет ракета через t=1 с после запуска,
при расходе топлива
=0,4 кг/с и относительной скорости струи
u=800 м/с? Начальная масса ракеты m0=1,2 кг.
Решение
Для определения скорости движения тела переменной массы применяется
формула Циолковского:
u
.
С учетом того, что со временим масса ракеты уменьшается, получим:
lnmu
0
.
0
Подставив числовые значения, определим приобретенную через 1 сек
скорость ракеты:
= 324,4 м/с.
Пример 11. С какой установившейся скоростью осуществляет полет
самолет с турбореактивным двигателем, если из сопел двигателя с общей
площадью поперечного сечения S=0,25 м2 струя газа выбрасывается с
относительной скоростью u=300 м/с. Учесть, что сила сопротивления воздуха
пропорциональна скорости:
F
c
, где α=56 кг/с; плотность газа ρ=1,5 кг/м3.
Решение
Запишем уравнение движения для рективного движения самолета, с
учетом силы сопротивления:
m u
54
.
Так как при установившейся скорости полета
0
dt
dm
dt
u dm
dt
dm dV Sudt
2
Su
F
const
m m t
u
dt m t
m t C
0,
t
0
0
lnFC m
F m t
0
a
можно упростить:
d
, то уравнение
u
или
.
За время dt из сопла вытечет газ массой:
.
С учетом этого, получим:
Пример 12. Погрузка песка на платформу массой
m
осуществляется вертикально с постоянной скоростью
0
кг/с (рис. 2.8). Как изменяется скорость движения
платформы в процессе загрузки? Платформа приводится в
движение постоянной силой
Решение
По условию задачи
возрастает по закону
горизонтальном направлении
дне продолжают двигаться по инерции в горизонтальном направлении со
скоростью тележки в тот же момент времени. В данном случае уравнение
Мещерского приводится к виду:
трением пренебречь.
,
и = 603 м/с.
Рис. 2.8
, масса платформы
0
, а относительная скорость песка в
равна нулю, т.к. элементы песка у отверстия в
d F
0
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
F
При
Итак, скорость тележки в момент времени t равна:
Пример 13. Кабина лифта поднимается с ускорением
невесомый блок, прикрепленный к потолку лифта, перекинута нить, к концам
которой прикреплены грузы с массами m
и постоянная
Четвертый тип задач
ln( )
ln
0
.
.
0
m
.
0
. Через
и m2 > m1. С каким ускорением
1
55
Рис.
2.9
движется груз m1 относительно лифта? С какой силой блок действует на
1 0
2 0
,
.
F m a
F m a
1 1 1 0
2 2 2 0
,;m a T m g m a
m a m g T m a
T
a
0
a g a
0
F T g a
м с
TT
потолок кабины?
Решение
Выполним рисунок, на котором покажем все
силы, действующие на тела системы, и ускорения их
движения (рис. 2.9). Система отсчета, связанная с
кабиной лифта, движущегося с ускорением, является
а
а
неинерциальной. На два тела, находящиеся в данной
системе отсчета, действуют силы инерции:
ин
ин
а
gm
1
gm
2
Уравнения динамики для данных тел, составленные с учетом всех
реально действующих сил и сил инерции, в проекции на ось Oy будут иметь
следующий вид:
0
где
сила натяжения нити,
−
− величина ускорения тел в подвижной
системе отсчета.
Складывая полученные уравнения, и, тем самым, исключая силу
натяжения нити, находим ускорение:
m m
2 1
m m
2 1
Сила натяжения нити определяется из первого уравнения:
aagmT
01
Таким образом, сила, действующая на потолок кабины лифта со стороны
грузов, равна:
42m m
1 2
m m
1 2
Пример 14. От центра к краю вращающейся горизонтальной платформы
движется с постоянной скоростью 0,5
.
2
mm
21
mm
21
ag
.
0
.
небольшое тело массой
m = 0,5 кг. Определите равнодействующую сил инерции действующих на него
в момент, когда оно находится на расстоянии r = 0,3 м от оси вращения.
Угловая скорость вращения платформы ω=6 рад/с.
Система отсчета, связанная с вращающейся платформой является
неинерциальной. В этом случае, необходимо учитывать действующие на тело
силы инерции: центробежную силу и силу Кориолиса.
Решение
56
Рис.
2.10
Центробежная сила инерции равна по модулю:
2тЗ
mM
R
З
R
2
F m r
2 /
T
cos
4 cos
T
2 sin( , )
sin( , ) cos
g
4 cos
T
ц
и направлена вдоль радиуса от оси к краю.
2
rmF
Сила Кориолиса определяется векторным
произведением:
к
,2 mF
, откуда следует, что
действует она перпендикулярна скорости движения
тела вправо относительно направления движения
.2
(рис. 2.10). Модуль ее равен:
mF
k
Согласно принципу суперпозиции, модуль равнодействующей сил
инерции можно определить как гипотенузу прямоугольного треугольника:
222
.)2()(
mrmF
Используя данные из условия, получим:
F=6,2 Н.
Пример 15. На сколько отклонится от вертикали свободно падающее
тело массой m=1 кг за время τ=6 с при приземлении в точку с
географической широтой φ=60°? Учесть суточное вращение Земли.
Решение
Система отсчета, связанная с Землей является неинерциальной, если мы
учитываем ее суточное вращение. Учтем и покажем все силы, которые
дейтсвуют на тело в этом случае (рис. 2.11).
Сила тяготения направлена к центру Земли и
равна:
F G
где M,
– масса и радиус Земли.
,
Центробежная сила инерции направлена вдоль
радиуса от оси вращения. Величина этой силы
определяется по формуле
r R
З
.
ц
, где
,
Рис. 2.11
После подстановки, получим:
2
mR
F
.
ц
Сила Кориолиса направлена на восток и равна
З
2
F m
k
, где
.
В момент падения
, поэтому:
g m
F
.
k
Для определения отклонения тела при его падении от вертикали учтем,
57
что сила Кориолиса сообщает ускорение:
4 cos
m T
4 cos 2 cos
2 cos 2 cos
60
м с
1,0
S
км
2 sin
2 sin
m
sin
2 2
2
T
7 .
h
см
F gt
k
k
.
a
За время падения t горизонтальная составляющая скорости, направленная
к востоку, будет равна:
t t
a dt tdt
k k
0 0
g gt
T T
2
.
В результате за время τ тело сместится к востоку по горизонтали на
расстояние
s dt t dt
k
0 0
g g
2
T T
3
.
3
После подстановки числовых значений, получим:
s=2,56 см.
Пример 16. Оцените горизонтальное отклонение пули от вертикальной
метке на мишени, обусловленное действием силы Кориолиса. Выстрел
осуществляется строго в северном направлении на широте
пули принять равной
90 0
, расстояние до мишени
. Скорость
.
Решение
Кориолисовая сила инерции действует при поступательном движении
тела во вращающейся системе отсчета и равна:
,2mF
.
Здесь
– скорость пули,
– угловая скорость суточного вращения
Земли.
Как следует из векторного выражения силы Кориолиса, при движении
пули вдоль меридиана она будет направлена с запада на восток и численно
равна:
F m
к
.
Считая, что сила практически не меняется за все время полета, найдем,
создаваемое данной силой, ускорение
F
к
a
Время полета пули
S
t
, а, следовательно, ее смещение в
.
горизонтальном направлении к востоку будет равно:
2 2 2
at S S
h
2 sin
2
.
Угловая скорость вращения Земли
обращения. Проведя расчеты горизонтального отклонения пули на мишени,
найдем:
, где Т=86400 с – период
58
2.4. Тестовые задания, контролирующие усвоение базового уровня знаний
Вариант 1
1. Как изменятся центробежная сила и вес тела при перемещении его с
экватора Земли на широту 600 в северном полушарии?
1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится
Fцб P
2. Установите соответствие между законами изменения импульса тела и
формулами, выражающими зависимости силы от времени действующими на
это тело.
А)
Б)
10 4 2p t i tj k
3 4 6p i tj t k
2
2
1)
2)
20 4F ti j
10
F t i t j tk
3 2
3
2 2
Ответ: А)___; Б)___.
3. Движение материальной точки задано уравнениями x = at
Сила, действующая на точку:
1) изменяется по модулю;
2) изменяется по направлению;
3) изменяется по модулю и направлению;
4) не изменяется.
Ответ:____.
4. Закон Гука для деформации растяжения имеет вид:
1) σ = Еε 2)
Ответ:____.
3)
4)
3) τ = Gγ 4) M = fφ
3 2 6F ti tj tk
4 6F j tk
3
и y = bt2.
5. На рисунке приведена диаграмма растяжения
образца. Выберите два верных утверждения:
1) закон Гука выполняется на участке 0-1;
2) закон Гука справедлив на участке 0-3;
3) жесткость образца на участке 3-4 остается
постоянной;
59
4) жесткость образца на участке 0-1 меньше, чем на участке 2-3;
F
2
m
1
m
m
5) модуль Юнга образца на протяжении всего графика не изменялся.
Ответ:____.
6. На шероховатой горизонтальной
поверхности находится ящик m=20 кг. К нему
60
прикладывают горизонтальную силу, модуль
которой зависит от времени как показано на
40
графике. Коэффициент трения ящика о плоскость
равен μ=0,2. Выберете два верных утверждения:
20
0
5
10
15
20
1) в промежуток времени от 0 с до 10 с ящик
покоился;
2) в промежутке от 10 с до 15 с импульс ящика увеличился на 100 кг·м/с;
3) ускорение ящика в момент времени 10 с равно 1 м/с2;
4) ускорение ящика первые 10 с было постоянным;
5) после 10 с ящик движется равномерно.
Ответ:____.
1. Полый конус с углом 2α=120° при вершине вращается с угловой
скоростью ω = π рад/с относительно земли. На расстоянии L=10 см от вершины
конуса на внешней его поверхности находится небольшая шайба. Определите
при каком коэффициенте трения шайба будет оставаться в покое относительно
конуса.
Ответ:____.
8. Два бруска, лежащих на гладкой
горизонтальной поверхности и соединенные
нитью, тянут с силой F = 2 Н составляющей угол
α = 30° с горизонталью. Массы брусков m1=0,2 кг
и m2 = 0,3 кг. Вычислите силу натяжения нити.
Ответ:____.
9. Определите ускорение свободного падения на Юпитере. Диаметр
Юпитера в районе экватора равен 142800 км, а вторая космическая скорость
для спутника Юпитера составляет 59,54 км/с.
Ответ:____.
10. Тело массой m=400 г соскальзывает по
a
поверхности гладкого клина с углом наклона α=30°,
0
который движется относительно земли с ускорением
a0 =2м/с2. Определите ускорение тела относительно
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]