Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практика решения задач по общей физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
;
Дж
C cM
2
2
2
i
C i
p
1
2
A
где c – удельная теплоемкость вещества, равная количеству теплоты,
Ккг
которое необходимо для нагревания 1 кг вещества на 1К
Дж
– молярная теплоемкость, равная количеству теплоты,
Кмоль
которое необходимо для нагревания 1 моль вещества на 1К.
Уравнение Майера
(6.5)
где
i
C
V
R
R
и
C
p
,RCC
Vp
i
2
– молярные теплоемкости для изохорного и
изобарного процессов.
Показатель адиабаты (коэффициент Пуассона):
С
p
V
, (6.6)
Первое начало термодинамики:
дифференциальная форма: , (6.7)
AdUQ
интегральная форма: . (6.8)
AUQ
Цикл (круговой процесс) – совокупность термодинамических процессов, в
результате которых система возвращается в исходное состояние.
В прямом цикле рабочее тело (газ) совершает положительную работу A за
счет сообщенной ему теплоты Q
(рис. 6.2).
1
0
V
Рис. 6.2
Коэффициент полезного действия тепловой машины:
Q
A
1
QQ
21
. (6.9)
Q
1
В обратном цикле от холодного тела к более нагретому телу передается
некоторое количество теплоты за счет работы внешних сил (рис. 6.3).
171
p
0
1
2
обр
V
Рис. 6.3
Эффективность холодильной машины характеризуется коэффициентом:
Q
A
Q
22
.
(6.10)
QQ
21
Цикл Карно – обратимый круговой процесс с максимальным
коэффициентом полезного действия, состоящий из двух изотерм и двух адиабат
(рис. 6.4).
Рис. 6.4
Коэффициент полезного действия прямого цикла Карно:
TT
21
(6.11)
.
T
1
max
Q
A
1
Второе начало термодинамики определяет направление
термодинамических процессов.
Формулировка Кельвина: невозможен процесс, единственным
результатом которого является превращение всей теплоты, полученной от
некоторого тела, в эквивалентную ей работу.
Формулировка Клаузиуса: невозможен процесс, единственным
результатом которого является передача энергии в форме теплоты от тела
менее нагретого к телу более нагретому.
Энтропия – функция термодинамического состояния системы, равная
приведенному количеству теплоты при обратимых процессах:
Q
T
172
dS
. (6.12)
Изменение энтропии в процессах идеального газа:
2
1
lnVT
M T
2
1
lnpT
M T
2
1
ln
V
M V
0,
S S const
0
U F TS
ln
S k W
V=const p=const T=const Q=0
S C
m
S C
m
S R
m
S
Энтропия замкнутой системы, совершающей обратимый цикл Карно, не
изменяется:
S=const.
обр
0,
.
Неравенство Нернста (третье начало термодинамики) – энтропия
замкнутой системы при любых происходящих в ней процессах не убывает:
S
.
Внутренняя энергия системы равна сумме свободной энергии F и
связанной энергии TS:
. (6.20)
Связанная энергия определяет ту часть внутренней энергии системы,
которая не может быть передана в форме работы в изотермическом процессе.
Связанная энергия тем больше, чем больше энтропия.
Статистическое истолкование энтропии (формула Больцмана):
, (6.21)
где k – постоянная Больцмана, W – термодинамическая вероятность состояния
системы.
6.2. Основные типы задач и методы их решения
1. Определение количества теплоты, полученного газом, работы
расширения газа и изменения его внутренней энергии в заданном процессе
перехода.
Метод решения. Использование первого начала термодинамики,
уравнения состояния идеального газа, формул внутренней энергии, работы
расширения газа и количества теплоты для заданного процесса.
2. Определение теплоемкостей газа или смеси газов по заданной массе,
молярной массе и числу степеней свободы.
Метод решения. Используются: а) формулы для расчета количества
теплоты для заданного процесса; б) связь между удельной и молярной
теплоемкостями газа; в) формулы для определения молярных теплоемкостей
при постоянном объеме и постоянном давлении через число степеней свободы.
3. Нахождение характеристик тепловых и холодильных машин,
определение их эффективности.
Метод решения. Представление тепловой или холодильной машины в
виде соответствующего обратимого цикла на диаграмме ; проведение
pV
энергетических расчетов на основе уравнения состояния для рабочего тела и
173
уравнений процессов перехода для участков цикла.
( )
p const
A p V
R T
p
A R T
2
U R T
2
i
U A
5
i
52U A
5 7
2 2
Q U A A A A
Дж
Дж
290
T K
4. Расчет изменения энтропии идеального газа при переходе из одного
состояния в другое.
2
Q
Метод решения. Применение формулы .
S
T
1
Подсчет изменения энтропии целесообразно проводить по тому пути,
который связан с наибольшей простотой расчета, независимо от реального
процесса перехода из одного состояния в другое.
6.3. Примеры решения задач
Первый тип задач
Пример 1. Определите количество теплоты, которое надо сообщить азоту
при изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу А=2,0 Дж.
Решение
При изобарическом процессе работа газа определяется по
формуле:
.
Из уравнения состояния для данного процесса имеем:
V
,
следовательно:
.
Приращение внутренней энергии:
i
, т.е. .
Для азота число степеней свободы , поэтому:
.
Согласно первому началу термодинамики будем иметь:
Для , теплота .
2,0A
7,0Q
.
Пример 2. Один киломоль идеального газа, имеющего первоначально
температуру нагревают при постоянном давлении до увеличения
объема газа в два раза. Затем, зафиксировав его объем, газ охлаждают до
первоначальной температуры. Определите изменение внутреннней энергии
газа; работу, им совершенную; количество теплоты полученную газом в этих
процессах.
1
174
Решение
M
290
T K
10
1
V
p
1
2
Представим переход газа из одного состояния в
другое графически в системе координат (рис. 6.5).
p
1
При изобарном переходе (прямая 1-2) происходит
pV
повышение температуры, следовательно, увеличение
3
внутренней энергии газа, и, кроме того, совершается
работа, представленная на графике заштрихованной
0
V
Рис. 6.5
V
1
2
площадью. При этом переходе газ получает от внешнего
источника количество теплоты, определяемое первым
началом термодинамики:
AUQ
.
121212
Работа в этом процессе с учетом того, что , будет равна:
2VV
12
m
)( RT
VpVVpA
При изохорном охлаждении газа от температуры до первоначальной
температуры происходит уменьшение внутренней энергии газа за счет
теплоты , отданной газом окружающей среде. Газ в этом процессе работы не
Q
T
1
23
.
11112112
T
2
совершает, следовательно:
023A
, .
UQ
2323
Полное изменение внутренней энергии складывается из изменения
энергии на участке 1-2 и изменения энергии на участке 2-3. Поскольку в
данном случае начальная и конечная температуры совпадают, то:
UU
,
2312
и поэтому:
0
UUU
2312
.
Количество полученного газом тепла в процессе перехода 1-2-3
определяется алгебраической суммой:
.
QQQ
231213
С учетом предыдущего, имеем:
6
Дж.
11213
104,2 RTAQ
Пример 3. Один моль кислорода, имевшего температуру ,
адиабатически сжали так, что его давление возросло в раз. Определите:
n
0
а) работу, которая была совершена над газом; б) температуру газа после сжатия.
Решение
Работа, совершаемая газом при сжатии или расширении, определяется
выражением:
A
12
1
1
VRT
1
V
2
,
175
где − показатель адиабаты, для кислорода .
2
i
i
1,4
1 1
T V T V
0 0 1 1
p V p V
1
1
1
n
290
T K
10
290 10 560
T K
кДж
1
0
V
V
V
V
1 2
2
0
V V
V
V V V V V V
n
Из уравнений адиабатического процесса:
0 0 1 1
и
находим:
V T
0
V T
1 0
1
и .
V V
p
p V V
0 01
0 1 1
n
Отношение объемов, следовательно:
V
0
V
1
,
а, температура газа после сжатия:
1
1
1
n T T n
При и , температура конечного состояния газа:
0
n
T
1
T
0
0,4
1,4
1 0
1
.
.
Работа, совершенная над газом:
1
0
A n
1 1 10 5,6
1 1,4 1
1 8,31 290
RT
0,4
1,4
Пример 4. В горизонтальном, закрытом с обоих концов цилиндре,
находится подвижный поршень, который делит цилиндр на две равные части
объемом V0. В каждой части находится идеальный газ при одинаковой
температуре и давлении p0. Определите, какую работу надо совершить, чтобы
перемещая поршень, изотермически увеличить объем одной части газа в n раз
по отношению к другой.
Решение
При изотермическом расширении газа в одной части цилиндра и сжатии в
другой совершаются работы:
Работа, совершаемая газом в целом:
Теперь учтем, что:
По условию задачи:
Отсюда:
A p V
1 0 0
ln
A A A p V
1 2 0 0
1 0 2 0
V V V
1 0
и .
A p V
2 0 0
ln
,
V VV
02
,
176
2
ln
0
.
.
0
1
n V
V
2 1
V nV
1
V
2
1nVn
2
1
4
n
01
кг кмоль
240 .
кг кмоль
1 2 1 2
, , ,
c c m m
и .
Vn
n
1
,
2
0
1
С учетом этих соотношений, получим:
2
1
A p V p V
ln ln
0 0 0 0
2
V
0
4
n
.
В действительности не газ, а над газом совершается такая работа, поэтому:
n
A A p V
0 0
ln
.
Второй тип задач
M
c
P
Пример 5. Определить удельные теплоемкости и смеси газов,
содержащей кислород массой кг и аргон массой кг. Молярная
масса кислорода , молярная масса аргона
32 M
1
,01m 02,02m
c
V
Решение
По определению, количество теплоты, сообщенное смеси газов при
постоянном объеме, равно:
c
где − удельная теплоемкость рассматриваемой смеси идеальных газов.
V
С другой стороны, выражение для можно записать как сумму:
V
Q
где − удельные теплоемкости и массы кислорода и азота
V V
,
dTmcmcQQQ
)(
VV
,
221121
mdTcQ
соответственно. Приравнивая правые части этих выражений, получим:
)( mcmcmmc
,
221121
VVV
отсюда:
mcmc
c
V
2211
VV
mm
.
21
Проведя аналогичные преобразования, получим выражение, связывающее
удельную теплоемкость смеси при постоянном давлении с удельными
теплоемкостями кислорода и азота:
mcmc
2211
c
p
pp
mm
.
21
В свою очередь, удельные теплоемкости идеальных газов при
постоянном объеме и постоянном давлении определяются формулами:
C
1
1
C
M
V
M
1
1
p
1
c
V
c
1
p
Ri
1
1
2
, ,
2M
1
)2(
Ri
, ,
M
1
c
C
2
c
V
p
V
2
M
2
C
2
p
2
M
2
Ri
2
2M
2
)2(
Ri
2
2
M
2
177
где − число степеней свободы молекулы.
i
0,4
m m
m m
кг моль
кг моль
Дж
кг K
Дж
кг K
1,51
Кислород, как двухатомный газ, обладает пятью степенями свободы, т.е.
51i 32i
, а одноатомный газ аргон, обладает тремя степенями свободы, т.е. .
Учитывая представленные выражения для удельных теплоемкостей
кислорода и азота, для смеси газов получим:
c
V
R
mm
mi
11
)(2 M
M
21
1
mi
22
;
2
M
mi
11
1
c
p
R
)(2 M
mm
21
)2()2(
mi
22
.
2
Подстановка числовых значений дает следующий результат:
424 Дж/(кгК);
c
V
c
649 Дж/(кгК).
p
Пример 5. Найти показатель адиабаты частично диссоциировавшего
газообразного азота, степень диссоциации которого равна .
Решение
Частично диссоциировавший азот представляет собой газообразную смесь,
состоящую из одноатомных молекул массой и двухатомных молекул
массой . Число степеней свободы и молярные массы одноатомных и
2
1
1
двухатомных молекул азота соответственно равны:
3, 14 10 /i M
1 1
и .
5, 28 10 /i M
2 2
3
3
Для нахождения удельных теплоемкостей при постоянном объеме и
постоянном давлении данной смеси газов воспользуемся формулами,
полученными в предыдущей задаче:
1
i
i m i mR R
c i
V
2 2 2
m m M M M
1 2 1 2 1
c i
p
R R
2 2 2
m m M M M
1 2 1 2 1
i m i m i
1 1 2 2 2
1 1 2 2
2 2 1 ( 2)
2
1
0,80
( 2) 1, 21
1
;
.
Показатель адиабаты частично диссоциировавшего азота будет равен:
с
1, 21
p
0,80
c
V
.
Третий тип задач
Пример 6. Определите коэффициент полезного действия цикла,
состоящего из двух изобар и двух изохор, если в пределах цикла давление
изменяется в 2 раза, а объем в 4 раза. Рабочим веществом является один моль
идеального газа с показателем адиабаты .
178
Решение
232
Представим данный цикл в координатах
pV
(рис. 6.6). При обходе контура по часовой стрелке система
работает как тепловой двигатель с коэффициентом
полезного действия:
,
Q
где − теплота, полученная от нагревателя.
1
A
Q
1
Рис. 6.6
Полная работа, совершенная рабочим телом, определяется интегралом по
замкнутому контуру, который может быть заменен суммой работ на каждом
участке и равен:
2
2
1
4
1
3
6))(( VpVVppdVpdVppdVA
.
111212
Найдем теперь теплоту, которую получает или отдает рабочее тело на
каждом этапе цикла. Этапы 1-2 и 3-4 представляют собой изобарические
процессы, поэтому:
p
p
TTCQ
TTCQ
,0)(
1212
3434
.0)(
Для этапов 2-3 и 4-1, являющихся изохорическими, имеем:
,0)(
TTCQ
V
V
2323
TTCQ
1441
.0)(
Следовательно, получаемое тепло от нагревателя определяется суммой
QQQ
, а теплота отдается холодильнику.
41121
QQQ
23342
Используя уравнения состояния идеального газа, определим соотношения
между температурами. Для изобарных процессов 1-2 и 3-4, получим
4//
TTVV
, или , и аналогично .
1212
С другой стороны, для изохорных процессов , или ,
и аналогично .
2TT
32
Общее количество теплоты, получаемое от нагревателя, равно:
Учитывая, что для одного моля идеального газа:
получим окончательно:
4TT
12
i
C
V
6
Vp
V
11
TC
1
179
, и ,
RR
)13(
4TT
43
2//
TTpp
4141
)13(3
TCTCTCQQQ
11141121
VVp
Vp
11
R
T
1
.
2TT
41
4
.
)13(
Пример 7. Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из
2
M
2
1/( 1)
.
изобарного, адиабатного и изотермического процессов. При изобарном
процессе рабочее тело, представляющее идеальный газ, нагревается от
температуры Т1 = 200 К до Т1 = 500 К . Определить коэффициент полезного
действия данного теплового двигателя и сравнить его с максимальным КПД
цикла Карно, работающего при тех же температурах.
Решение
Представим данный цикл в координатах
pV
(рис. 6.7). После изобарного расширения (прямая 1-2), газ
нагревается от температуры до температуры , затем
T
1
T
2
адиабатно (кривая 2-3) расширяется до тех пор, пока его
температура не будет равна начальной , после чего
изотермическим сжатием (кривая 3-1) газ возвращается в
T
1
Рис. 6.7
исходное состояние.
Количество теплоты газ получает только в процессе 1-2, а отдает
Q
1
тепло в процессе 3-1. Процесс 2-3 происходит без теплообмена. В этом случае,
согласно определению коэффициента полезного действия, имеем:
QQ
21
Q
.
1
Количество теплоты, получаемое рабочим телом при изобарном процессе,
2
m
Q
i
где − молярная теплоемкость при постоянном давлении, − число
C
p
2
3
R
TRC
p
iMm
)(
TTR
,
121
i
степеней свободы одноатомного газа.
Количество теплоты, отдаваемое рабочим телом при изотермическом сжатии:
m
Q
RT
M
Для нахождения неизвестного отношения , воспользуемся
V
3
.
ln
12
V
1
/VV
13
уравнениями изобарного и адиабатного процессов.
Для изобарного процесса 1-2:
// TTVV
.
1212
Для адиабатного процесса 2-3, согласно уравнению Пуассона,
1
23
Учитывая, что , получаем:
TT
13
V T
V T
3 2
2 1
.
/)/( TTVV
32
Перемножая почленно первое и последнее равенства, имеем:
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]