Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практика решения задач по общей физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
координатами (1; 2) в точку В с координатами (2; 4).
1 м
60
0
t
t
0
М
М
2 ,
M
кг
100 ,
м с
90
400 ,
м с
1 ?
кг
3
2 ,
U r
кН м
200
F H
1 .
x
см
,
m
0
.
.
Ответ:____Дж.
7. Два шарика с равными массами, подвешены на одинаковых нитях
длиной
и соприкасаются. Один шарик отклонили на угол
и
отпустили. На какую высоту поднимется находившийся в покое шарик, после
абсолютно упругого соударения?
Ответ:____м.
8. Тело брошено под углом к горизонту. Установите соответствие между
графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени
полета тела эти графики могут представлять.
А) Б)
1) кинетическая энергия
2) потенциальная энергия
3) работа силы тяжести
4) мощность, развиваемая силой
тяжести при движении
9. Снаряд массой
летящий со скоростью
Ответ: А)___; Б)___.
разрывается на два осколка. Один осколок летит под углом
к
первоначальному направлению. Под каким углом к этому направлению полетит
второй осколок, если его скорость
, а масса
Ответ:____°.
10. Потенциальная энергия частицы имеет вид:
где r – модуль
радиус-вектора частицы. Найдите силу, действующую на частицу в точке с
координатами (1,2).
Ответ:____Н.
11. Пружина жесткостью
10 k
растянута силой
Определите работу, которую надо совершить, чтобы дополнительно растянуть
пружину еще на
Ответ:____Дж.
12. Бруску массой
наклона , сообщают скорость
плоскостью
Брусок поднимается вверх, а затем возвращается обратно.
, лежащему на наклонной плоскости с углом
Коэффициент трения между бруском и
Выберите два верных утверждения о физических величинах,
описывающих его движение:
1) время подъема бруска больше времени его спуска;
2) брусок остановится в верхней точке при условии sinα < μcosα;
.
101
3) работа силы трения при подъеме бруска больше, чем при спуске;
2
0
;
2
3
F S
,
a
r
20aДж м
2 3 .
F ti t j
3 2
,
a b
r r
,
a b
4) работа силы трения при движении бруска определяется по
формуле
A
тр
5) конечная скорость при спуске бруска равна его начальной скорости.
Ответ:____.
3.5. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
Вариант 1
1. Тело, находящееся на горизонтальной поверхности, приводит в
m
движение сила
. Какую работу совершит эта сила на первых 10 м
перемещения?
2. Частица находится в силовом поле:
вектора частицы,
. Получите зависимость силы F(r), действующей
U r
где r − модуль радиус-
на частицу в этом поле. Какую работу совершит эта сила при перемещении
частицы из точки А (1, 2) в точку В (2, 3).
3. На горизонтальной поверхности происходит неупругое столкновение
шара массой m1=5 кг катящегося скоростью υ1 =2 м/с и покоящегося шара
массой m2 =3 кг. Какая работа совершается при деформации шаров? Удар
считать прямым центральным.
Вариант 2
1. На покоящееся тело массой m = 1 кг начинает действовать сила
2
Опеределите мгновенную мощность, развиваемую силой в
момент времени t=2 с.
2. Потенциальная энергия частицы имеет вид:
U r
где
−
постоянные. Запишите выражение для силы, действующей на частицу.
Определите при каких значениях r потенциальная энергия и сила имеют
минимальные значения.
3. Определите скорости тел после абсолютно упругого столкновения.
Известно, что тело массой 0,4 кг, движущееся со скоростью 12 м/с, налетает
на тело массой 0,8 кг находящееся в покое.
Вариант 3
1. Равномерно возрастающая сила на пути S=20 м изменяется от F1=10 Н
в начале пути до F2=46 Н в конце пути. Вычислите работу данной силы.
2. Определите силу и ее работу в поле, где потенциальная энергия
частицы имеет вид = ()/2 (r – модуль радиус-вектора частицы,
k=const>0), при перемещении ее из точки А(2,3,4) в точку В(3,2,5).
102
3. С какими скоростями будут двигаться после абсолютно упругого
2 3
F kx ax bx
,
F ai
222
10 mг
0,1
M
кг
лобового соударения два тела массы и сокрости которых соответсвенно равны:
m1=5 кг, υ1 =2 м/с , m2=4 кг, υ2 = 5 м/с.
Вариант 4
1. Какова средняя мощность, развиваемая силой тяжести при свободном
падении тела массой m с высоты h? Чему равна мгновенная мощность на
половине пути при таком падении?
2. При деформации растяжения возникающая в теле сила упругости имеет
вид:
. Определите вид потенциальной энергии пружины.
x
3. При встречном движении неупруго сталкиваются два тела, массы и
скорости которых соответсвенно равны: 2 кг и 3 кг, 5 м/с и 7 м/с. На сколько
увеличится внутренняя энергия тел в результате соударения?
Вариант 5
1. Какая работа соврешается силой
где а=const над частицей при
перемещени ее из точки C (1, 2, 3) м в точку D (7, 8, 9) м?
2. Потенциальная энергия частицы в силовом поле имеет вид:
222
,,
zyxU
czbyax
,
где а, b,c – постоянные величины.
Определить силу, действующую на частицу, и работу которую она
совершает при ее перемещении из точки А(1, 2, 3) в точку В(3 ,4, 5).
3. Пуля массой
брусок и застревает в нем. Масса бруска
попадает в подвешенный на нити покоящийся
. Какая доля механической
энергии потеряна при ударе?
103
4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. ЗАКОНЫ
2
.
i i
I m r
,
I r dm r dV
dm dV
2
5
12
СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И МЕХАНИЧЕСКОЙ
ЭНЕРГИИ ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
4.1. Основные понятия, формулы и уравнения
Основными динамическими характеристиками при вращательном
движении являются момент инерции, момент силы и момент импульса.
Момент инерции механической системы относительно неподвижной оси –
сумма произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до оси:
n
1
i
(4.1)
Момент инерции тела – мера инертности при вращательном движении
вокруг неподвижной оси:
где – плотность,
– масса элемента объема, r - расстояние данного
элемента от оси.
Момент инерции тела зависит не только от его массы, формы и размеров,
но и от положения оси вращения.
Моменты инерции простейших тел относительно оси, проходящей через
центр масс:
Тело Момент инерции
Кольцо (тонкостенный цилиндр) радиусом R
Диск (сплошной цилиндр) радиусом R
Шар радиусом R
Прямой стержень длиной
2 2
(4.2)
2
mRI
C
1
C
2
C
C
2
mRI
2
mRI
1
2
mI
Момент инерции тела относительно произвольной оси определяется с
помощью теоремы Штейнера – момент инерции относительно любой оси равен
моменту инерции относительно оси параллельной данной и проходящей через
центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат
расстояния между осями:
C
104
2
.
mdII
(4.3)
Момент силы – характеризует внешнее воздействие на тело, приводящее к
r
F
, ,
M r F
M
r
F
M
, .
Z
, .
L r p
L
,
Z
L r p
.
L m r
:
Z Z Z
L I
Рис.
4.1
m
вращательному движению. Различают момент силы относительно неподвижной
точки О и неподвижной оси.
Момент силы относительно неподвижной
точки О есть векторная величина равная векторному
произведению радиус-вектора
вектор
перпендикулярен плоскости, в которой
расположены векторы
на вектор силы
и
, а его направление
:
(4.4)
определяется правилом правого винта (рис. 4.1).
Модуль вектора момента силы равен
,sin
FFrM
где
sinr
– плечо силы, длина перпендикуляра, опущенного из т.О на
линию действия силы.
Момент силы относительно неподвижной оси Oz – скалярная величина,
равная проекция вектора
на эту ось:
M r F
Z
(4.5)
Момент импульса относительно неподвижной точки
О – векторная величина, определяемая векторным
произведением радиус-вектора материальной точки,
проведенной из точки О, на импульс этой материальной
точки (рис. 4.2):
(4.6)
p
r
O
L
Рис. 4.2
Момент импульса относительно неподвижной оси Oz
– проекция вектора
В частности, момент импульса материальной точки, вращающейся по
окружности:
Для тела, вращающегося относительно оси OZ с угловой скоростью
на эту ось:
Z
. (4.7)
(4.8)
. (4.9)
105
Уравнение моментов:
dt
0,
0 .
L I const
dt
dt
2
.
2
2 2
,
2 2
С
I
С
dL
z
.
M
(4.10)
z
Закон сохранения момента импульса – фундаментальный физический
закон, обусловленный изотропностью пространства. В замкнутой механической
системе
M
z
следовательно:
dL
z
z z
(4.11)
Момент импульса замкнутой механической системы относительно
неподвижной оси не изменяется с течением времени.
Уравнение динамики вращательнго движения:
d
.
I
M
zz
(4.12)
Угловое ускорение, приобретаемое телом относительно неподвижной оси,
пропорционально действующему моменту внешних сил и обратно
пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси:
M
z
. (4.13)
I
z
Кинетическая энергия тела и работа при вращательном движении:
I
z
T
(4.14)
Кинетическая энергия при плоском движении тела:
m I
T
С С
(4.15)
где
– момент инерции тела, относительно мгновенной оси, проходящей
через центр масс, – угловая скорость тела относительно этой оси,
скорость поступательного движения центра масс.
Работа при вращательном движении тела, совершаемая моментом
внешних сил
где – угол поворота тела.
106
,
dMA
z (4.16)
0
–
Аналогия между формулами, характеризующими динамику
m
F
dt
dt
2
2
,
I r dm r dV
dm
dV
поступательного и вращательного движения тела
Поступательное движение Вращательное движение
Динамические характеристики тел
mp
22
dVrdmrI
FrM
,
mrL ,
mp
xx
IL
zz
Законы динамики
pd
amF
dtFpd
dtMLd
Ld
IM
Работа, мощность, энергия
dsFA
T
s
,FN
2
m
T
dMA
z
,MN
2
I
4.2. Основные типы задач и методы их решения
1. Вычисление моментов инерции тел правильной геометрической формы
и простейших систем.
Метод решения. Непосредственное интегрирование выражения для
момента инерции тела относительно оси проходящей через центр масс:
2 2
где и – масса и объем элемента тела, находящего на расстоянии r от оси,
– плотность тела в данной точке.
Вычисление момента инерции тела относительно произвольной оси
производится с помощью теоремы Штейнера.
Момент инерции простейших систем рассчитывается на основе принципа
аддитивности, согласно которому момент инерции системы относительно
произвольной оси равен алгебраической сумме моментов инерции всех тел,
входящих в данную систему.
2. Вращательное и поступательное движение тел и простейших систем.
Действующие силы постоянны. Нахождение сил, ускорений и других
кинематических характеристик.
Метод решения. Динамика твердого тела, совершающего поступательное
и вращательное движение, определяется двумя уравнениями:
107
Fam
A M d
z
.zM const
2
2
2
2
и ,
ic
1i
MI
ziz
1i
a
где – ускорение центра масс твердого тела, – геометрическая сумма
всех внешних сил, действующих на тело, – угловое ускорение тела,
c
относительно подвижной оси, проходящей через центр масс, –
F
i
1i
z
M
zi
суммарный момент действующих сил, относительно соответствующей оси.
Данные уравнения необходимо спроектировать на координатные оси,
получив систему скалярных уравнений, позволяющих найти искомые
величины.
3. Определение работы и энергии при вращательном движении.
Метод решения. Прямое интегрирование выражения для работы
или ,
z
A M
если
Кинетическая энергия твердого тела при его плоском движении
складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного
движения:
2
T
2
Im
cc
,
где – скорость поступательного движения центра масс тела, – момент
c
I
c
инерции относительно оси вращения, проходящей через его центр масс.
Работу при вращательном движении, если известны начальное и конечное
состояния тела, можно определить с использованием теоремы об изменении
кинетической энергии:
2
EA
2
2
II
1
.
4. Упругое или неупругое взаимодействие тел при вращательном
движении.
Метод решения. Применение законов сохранения механической энергии
и момента импульса системы.
В тех случаях, когда характер сил взаимодействия неизвестен, только
законы сохранения позволяют составить уравнения, связывающие параметры
состояния системы, и найти по известным параметрам системы в одном
состоянии ее параметры в другом состоянии.
При использовании законов сохранения следует обращать внимание на
возможность применения того или иного из этих законов в рассматриваемых
условиях.
108
4.3. Примеры решения задач
m
R
dr
b
RmV
2
m
R
ztg
r
z
r
R
z
Первый тип задач
Пример 1. Получить выражение для момента инерции однородного
цилиндра массой и радиусом относительно оси симметрии.
Решение
Представим сплошной однородный цилиндр в виде
множества тонкостенных цилиндров радиусами 0 ≤ r ≤ R,
высоты которых равны высоте рассматриваемого
цилиндра, толщиной стенок (рис. 4.3). Объем одного
такого цлиндра:
,
brdrdV2
а его момент инерции:
32
2
drrbdVrdI
,
где − плотность тела.
После интегрирования по радиусу получим:
R
2 RbdrrbI
3
0
1
2
4
.
По условию цилиндр однородный и тогда его плотность можно
представить:
Рис. 4.3
m
.
2
Учитывая выражение, полученное для плотности, искомый момент
инерции сплошного цилиндра примет вид:
2
mR
I
.
Пример 2. Вычислите момент инерции однородного сплошного конуса
массой и радиусом его основания относительно оси симметрии.
Решение
Расположим конус основанием вверх и выберем ось
Oz вдоль оси его сииметрии с началом отчета в его
вершине. Пусть высота конуса равна h, угол между осью
и образующими конуса . Разобьем конус на множество
тонкох дисков, радиусами 0 ≤ r ≤ R. Рассмотрим один
такой диск на высоте z радиуса и бесконечно
малой толщины (рис. 4.4).
dz
h
Масса этого элемента равна:
222
dzztgdzrdVdm
.
Рис. 4.4
dz
O
109
Плотность конуса выразим через его массу:
R
h
RmV
R
232
10
R
2
2
R
O
d
r
33
m
mtg
.
32
Следовательно, момент инерции выделенного элемента равен
5
1
2
dmrdI
mtg
4
dzz
3
.
Момент инерции конуса найдем интегрированием
mtg
2
R
5
3
4
dzz
0
3
I
3
h
mtg
10
R
5
5
h
3
.
С учетом того, что
R
h
tg
,
получим момент инерции конуса относительно оси, проходящей через его
центр масс
3
2
mRI
.
Пример 3. Однородный диск радиуса , толщиной и
h
плотностью имеет сквозное круглое отверстие радиусом
R
, центр которого лежит на середине радиуса диска
r
2
(рис. 4.5). Найти момент инерции такого диска относительно
оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через
центр диска.
Решение
Рис. 4.5
Момент инерции тела с отверстием или полостью можно
представить в виде:
III
,
1
o
где I0 и I1 − моменты инерции сплошного тела и вырезанной части тела
относительно указанной оси.
Момент инерции целого диска равен:
2
Rm
I
0
0
,
где − масса диска.
0
2
hRm
Так как отверстие смещено относительно оси вращения, то момент
инерции вырезанной части диска найдем с помощью теоремы Штейнера
2
rm
I
2
hrm
где − масса вырезанной части диска; − радиус отверстия;
1
1
1
110
2
dm
,
1
2/Rr
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]