Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практика решения задач по общей физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Задание 16. Рассчитайте радиус кривизны траектории тела, горизонтально
15
м с
2
t c
cos .
2 2 3
0
.
a g g
3
2
.
102 .
м
брошенного со скоростью
0
, на момент времени
после начала
движения. При проведении расчетов сопротивлением воздуха можно
пренебречь.
Решение
Представим в координатах xOy
траекторию тела, брошенного горизонтально
(рис. 1.10). В рассматриваемый момент
времени покажем вектора скорости и
y
0
x
ускорения, а также их составляющие.
a
R
O
a
n
y
g
Рис. 1.10
x
Проекции скорости на координатные
оси определятся в соответствии с
уравнениями:
y
x150
см
,
смgt
20
.
Следовательно, величина скорости
будет равна:
22
yx
0
222
25
смtg
.
0
Нормальное ускорение, согласно векторной диаграмме ускорений,
связано с ускорением силы тяжести соотношением:
a g
n
При этом, из диаграммы скоростей (рис. 1.10) следует, что:
cos
00
.
222
tgo
Для определения радиуса кривизны траектории в данной точке
воспользуемся формулой, определяющей нормальное ускорение, поэтому
имеем:
R
n
cos
После подстановки в данное выражение скорости тела, получим:
2 2 2
g t
R
2 2 2 2 2 2
g t
R
0
g
0
0
g
3 3
2 2
0
15 9,8 2
9,8 15
21
Четвертый тип задач
3
2
3
2
3
2
3
2
323
2
Пример 17. Две материальные точки движутся по одной прямой вдоль
оси Ox, первая начинает движения из точки с координатой
820x
м. Известно, что их скорости изменяются по соответственно законам:
2
ctbt
1
и
2
2
ctbt
, где
2
/1 смb ,
3
/2 смс
. Определите, в какой
410x
м, а вторая
момент времени они встретятся и чему будут равны их ускорения в момент
встречи.
Решение
Определим кинематические уравнения движения материальных точек:
32
2
)( C
111
222
CdtctbtCdtx
1
2
)( C
CdtctbtCdtx
ctbt
,
1
32
ctbt
.
2
2
Из начальных условий константы С1 и С2:
)0( xtx
и С1=x10;
101
)0( xtx
202
и С2= x20.
Тогда:
32
xx
101
ctbt
,
xx
202
32
ctbt
.
Из равенства координат в момент встречи, найдем когда эта встреча
произойдет:
Решив уравнение относительно времени, получим:
Физический смысл будет иметь только положительный корень, поэтому
Ускорения первой и второй точек находим, взяв производные от скорости
по времени:
Подставляя в эти уравнения значение времени встречи, получим ответ:
x
10
1
32
ctbt
x
20
t
в
ctba 2
и
2
/9 смa
1
,
b
сt
2
в
.
2
2
32
ctbt
вввв
.
xx
1020
.
ctba 2
.
2
/7 сма
.
22
Пример 18. Стержень MN длиной = 10 см
x t
2 2 2
( )
y t
2
a
x t
2 2 2
( )
y t
adt
2
0,02 .
см с
1
с
x
0
y
N
M
A
движется так, что его концы скользят вдоль
взаимно перпендикулярных направляющих Ox и
Oy (рис. 1.11).
Конец М движется равномерно со
скоростью
ссм /5
вдоль оси Ox. Найти
скорость и ускорение точки А, расположенной
посередине стержня, через t = 1c.
Решение
Кинематические уравнения движения точек М и N вдоль
соответствующих осей имеют следующий вид:
Рис. 1.11
Расстояния
уравнения:
Для нахождения составляющих скорости точки А продифференцируем
полученные уравнения:
xA
Вычисления дают следующие результаты
xA
Для нахождения ускорения точки А продифференцируем по времени
составляющую скорости
После подстановки числовых значений, получим:
dx
yA
/5,2
A
A
ссм
,
xA
M
,
N
aANMA
. Из подобия треугольников получим
A
5,0
,
:
a
yA
/89,2
,
yA
const
a
yA
2 t
dy
A
dt
ссм
,
22
t
222
.
.
2
t
A
.
3
2
.
222
t
./82,3 ссм
.
скоростями
с запаздыванием относительно первого на время
момент их скорости сравняются и каким будет расстояние между телами в этот
момент времени.
вверх. За начало системы координат примем точку, из которой бросали тела, а
за начало отсчета времени – момент бросания первого тела. При этих условиях
законы движения тел будут иметь следующий вид:
a a
yA
Пример 19. С высокой башни бросают два тела с одинаковыми
0
см/10
. Первое тело бросают вертикально вверх, а второе – вниз,
. Определите, в какой
Решение
В качестве системы отсчета выберем ось Oy, направленную вертикально
23
2
2
( ) ( ) (2 ) 0
2
2
2
Момент времени, когда скорости этих тел сравняются, определим из
уравнения:
02
ty
02
gt
01
,
01
tg
,
2
gt
ty
,
2
tg
.
1 2
g
2
t 5,1
0
2
g
00
tggt
c
.
Скорости тел в данный момент времени будут равны:
,
см521
а расстояние между телами составит:
2
g
s y t y t g t
1 2 0 0
.
Таким образом, через время t=1,5 c тела вновь встретятся, и будут
иметь одинаковую скорость.
Пятый тип задач
Пример 20. Турбина турбокомпрессора за 1 минуту совершает 150 000
оборотов. После выключения остановливается сделав N=15700 оборотов.
Определите угловое ускорение при торможении.
Решение
Равнозамедленное вращательное движение турбины описывается
уравнениями:
2
t
t
0
,
t
.
0
Начальная угловая скорость может быть выражена через число оборотов
в единицу времени
сделанных оборотов за время торможения
получим:
Решая данную систему уравнений относительно , найдем:
Пример 21. Определите сколько оборотов сделает заднее колесо
велосипеда радиусом 50 см за 5 секунд от начала движения, если в момент
n2
0
. Угловой путь пропорционален количеству
=
N
2
. С учетом сказанного,
2
t
22
2
= 1250рад/с.
24
ntN
tn
.
старта велосипедиста угловое ускорение колеса составило = 3,14рад/с.
2
2
2
t
4
2 3
А рад с
60
2
4
r
Каким будет полное ускорение точки на ободе колеса к этому времени?
Решение
Количество оборотов можно определить через угловой путь пройденный
колесом за это время:
N
. Для нахождения углового пути
проинтегрируем угловую скорость по времени с учетом начальных условий:
t t
dt tdt
0 0
.
Тогда:
2
N
t
.5,6
Для определения полного ускорения точки надо прежде найти модули
тангенциального
Ra
и нормального
2
Ra
n
ускорений.
Тогда, модуль полного ускорения:
242242222
./3,1231
n
смtRRRaaa
Пример 22. Угловое ускорение вращающегося неподвижной оси тела
изменятеся по закону:
At
, где
. Определите момент
2 10
времени от начала вращения, когда вектор полного ускорения произвольной
точки тела будет составлять угол
с ее вектором скорости?
Решение
Тангенциальное ускорение точки, удаленной от оси вращения на
расстояние r, определяется выражением:
Линейную скорость этой точки спустя время после начала вращения
найдем интегрированием:
t t
0 0
Нормальное ускорение точки:
a
n
Тангенс угла между векторами
tg
a
a
Отсюда
3
t 7
A
Artra
.
2
Art
tdtArdta
422
и
at
3
rtA
a
3
.
4
102
.
равен:
344
2
n
.
ctg
.
25
Пример 23. По горизонтальному столу без проскальзывания катится
R
RatR
R at
цилиндр радиуса R, так, что его центр масс движется относительно стола с
ускорением аС. Определить скорость и ускорение точек А и В (рис. 1.12) к
моменту времени t после начала движения.
Решение
При поступательно-вращательном движении цилиндра линейная
скорость его точек определяется векторной суммой:
R
,
где
C
− скорость поступательного движения цилиндра,
C
,
− угловая скорость
вращения относительно оси, проходящей через центр цилиндра,
− радиус-
вектор точки относительно центра.
Так как движение центра масс относительно стола равноускоренное, то
его скорость и соответсвенно угловая скорость будут измняться со временем по
законам:
at
,
C
C
.
Линейная скорость вращения точки, удаленной от оси вращения
направлена по касательной и равна
Для точки А
направление, поэтому
и
c
имеют одно
atA2
, тогда как для
точки В они взаимно перпендикулярны
(рис. 1.12) и тогда:
22
atCВ2
.
Вектор полного ускорения в этих точках
относительно земли определяется векторной
.
Рис. 1.12
C
A
C
C
B
суммой трех составляющих (рис.1.13):
Модули нормального и тангенциального ускорений точек на поверхности
цилиндра соответсвенно равны:
a
n
а) б)
aaaa
.
nC
aa
C
a
a
A
a
C
n
a
B
a
C
a
Рис. 1.13
26
RtaR
2
dt
10 Rсм
3
A Bt
3
рад с
n
a
a
2 tс
a
45
dt
dt
a
45
.na a
Bt3
C
2
;
2
a
n
Учитывая направления всех трех составляющих ускорения, полное
ускорение точки А (рис. 1.13, а) равно:
d
a
.)(
ata
.
CC
2
22
222
aaaaa
CnCA
ta
C
R
2
a
C
C
R
44
ta
,4)2()(
2
ускорение точки B равно (рис. 1.13, б):
22
22
CnB
aaaa
ta
C
R
2
2
.)(
aa
.
CC
Пример 24. Для вращающегося диска радиусом
угла поворота радиуса от времени имеет вид:
4 B
. Для точек, расположенных на ободе диска определите значения
нормального
и тангенциального
ускорения для момента времени
зависимость
, где А=2 рад,
Вычислите угол поворота , при котором угол между вектором полного
ускорения
и радиусом колеса составляет
.
Решение
.
Найдем угловую скорость и угловое ускорение диска:
d
d
2
BtBt
23
,3)(
BtBtA
.6)3(
Значения нормального и тангенциального ускорений для точки на ободе
диска получим через связь с угловыми характеристиками движения:
222
,)3(
RBtRa
,6BtRRa
и радиусом колеса
Так как, между вектором полного ускорения
составляет
n
, то справедливо равенство:
Приравнивая выражения тангенциального и нормального ускорений,
получим:
42
3
,
2
BtRRtB 69
.
Подставив время в уравнение вращательного движения диска, найдем
значение искомый угол поворота:
27
2,67 153 .
3
A Bt A B рад
B
15 Rсм
а
см с
2
n
а
16
t c
R
2
2 Rм
3
2
S t
3
2
Пример 25. Материальная точка движется по окружности радиусом
с постоянным тангенциальным ускорением
. В завершении
четвертого оборота после начала движения значение линейной скорости точки
составило
через
2
15
1
после начала движения.
. Рассчитайте значение нормального ускорения
точки
Решение
Материальная точка по условию задачи движется с постоянным
a
тангенциальным ускорением, следовательно, угловое ускорение
.const
Так, как тангенциальное ускорение:
a
1
,
tt
1
то угловое ускорение:
1
.
Rt
1
К моменту времени t1 угловой путь точки составит:
2
t
1
N
.2
1
Исключая время t1 из последних двух уравнений, получим выражение для
углового ускорения:
2
1
4
.
2
RN
1
Нормальное ускорение точки в момент времени t2:
2
n
2
)(
2
RtRa
2
1
4
RN
1
2
.
Rt
2
2
Подставив числовые значения, получим
015,0 смan
2
2
.
Пример 26. Тело совершает движение по окружности радиусом
по закону
. Определите, в какой момент времени тангенциальное и
нормальное ускорения будут равны друг другу. Вычислите значение полного
ускорения, а также угол между вектором скорости и ускорением в этот момент
времени.
Решение
Используя зависимость пути от времени, определим линейную скорость
движения тела по окружности:
28
3
2
6 .
t
dt dt
12 .
a t
dt dt
4
18 .
2 2
a t
R
4
t
M
1
2
4
2
d t
ds
Затем, найдем тангенциальную и нормальную составляющие ускорение
тела:
2
6
d
n
d t
2
2 4
2
6
t
36
t
Для определения момента времени, при котором данные составляющие
полного ускорения будут равны друг другу, приравняем их. В результате
получим:
1812 tt
4
2
3
3
ct 874,0
.
Подстановка времени в соответствующие формулы ускорений дает
следующий результат:
5,10 смaa
n
n
2
,
8,14 смaaa
222
.
Угол между вектором линейной скорости и вектором ускорения равен
arctg arctg
a
n
1
.
a
1.4. Тестовые задания, контролирующие усвоение базового уровня знаний
Вариант 1
1. При прямолинейном равноускоренном движении выполняются
соотношения:
1) an = const, a
= 0 2) an = 0, a
=0
3) an = f(t), a
Ответ:____.
2. На рисунке представлен график
зависимости
движущейся по окржности. Укажите
направление полного ускорения точки М.
Ответ:____.
= f(t) 4) an = 0, a
от времени для точки М
29
= const
5
3
3. Установите соответствие между уравнениями движения материальной
20
м с
точки и формулами, выражающими зависимости проекции скорости от
времени.
А)
Б)
2
5 ttх
2
2410 ttх 1)
2)
tх410
tх44
3)
4)
х
t
25
tх25
Ответ: А)___; Б)___.
4. Какой путь пролетит тело при свободном падении из состояния покоя
за вторую секунду своего движения.
Ответ:____м.
5. Камень бросили под углом к горизонту со скоростью
o
. Как
изменяются модули тангенциального aτ и нормального an ускорения камня при
движении вверх?
1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится
aτ an
6. Материальная точка движется по окружности радиуса R=0,5 м, так, что
модуль ее скорости изменяется по закону:
t32
. Выберите два верных
утверждения о физических величинах, описывающих ее движение:
1) полное ускорение движения не изменяется;
2) нормальное ускорение через 1 секунду движения составит an=50 м/с2;
3) тангенциальное ускорение aτ=6 м/с2;
4) со временем угол между векторами скорости и полного ускорения
уменьшается;
5) вектора угловой скорости и углового ускорения противоположно
направлены.
Ответ:____.
7. Цилиндр радиусом R=1м катится по
горизонтальной плоскости без проскальзывания с
ускорением а=1м/с2. Определить модуль полного ускорения
точки А в момент времени t=1 c.
Ответ: ____м/с2.
8. Тело бросили с высоты h, сообщив скорость в горизонтальном
направлении
0
. Определите радиус кривизны траектории через одну
секунду после броска.
Ответ: ____м.
30
a
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]