Практика решения задач по общей физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие

V









A

p

1

2

4

V

T

3

1

2











T

1





.

)1/(









Тогда:

Q

M

m

RT

12



ln

1 T

T

2

.

1

Выразив коэффициент Пуассона через число степеней свободы, найдем:

2

i



1





iMmQ



2

,

2

RT

T

2

.

ln

12

T

1

После подстановки полученного выражения в формулу для КПД цикла и преобразования, имеем окончательно:

T







T

1

TT

2



T

1

12

.

39,0ln1

Коэффициент полезного действия цикла Карно при тех же температурах будет, как и ожидалось, существенно выше:



TT





K

12

T

2

.

6,0



Пример 8. Тепловую машину, работающему по циклу Карно с

коэффициентом полезного действия , начинают использовать при тех же

%40

условиях как холодильную машину. Найти величину холодильного коэффициента и количество теплоты, которое эта машина может перенести за один цикл от холодильника к нагревателю, если к ней подводится работа, равная 200 Дж.

Решение

В данном случае холодильная машина работает по обратному циклу Карно (рис. 6.8). Эффективность такой машины характеризуется

0

Рис. 6.8

3

отношением отнятой у холодильника теплоты к совершенной для этого работе внешних сил :

V

Q

x2





.



xQ2



Эту величину принято называть холодильным коэффициентом.

Полная работа за цикл, согласно первому началу термодинамики, равна

количеству теплоты, получаемой и отдаваемой за цикл, т.е.:

,

QQA



xx

21

где − количество тепла, переданного окружающей среде.

xQ1

При этом:

m

QQ

x

RT



M

V

3

, .

ln

2232

V

2

QQ

x

m



M

RT

V

4

ln

1411

V

1

Записав уравнения адиабат для процессов 1-2 и 3-4:

181

1











T



V

M



11

с учетом того, что и , получим

TT 

41

1





VTVT

, ,

22

TT 

32

V

3

4

1

,



V

2

1



44

1





VTVT

33

и тогда:

Qx

m

M

RT

V

3

.

ln

11

V

2

Работа внешних сил за один цикл:



QQAA

m

21

xx

M

V

3

R

V

2

.

)(ln

TT



21

Таким образом,

Q

2





x

QQ



21

xx

T

2



.

TT



21

С другой стороны, при прямом цикле:

QQ

A



Q

1



21

Q

.

1



Поскольку машина обратима, она забирает от холодильника столько же

теплоты, сколько передает ему при прямом цикле. Отсюда

)1(

 AQQ

22

x

, .



Q

2



x

A



1



Подстановка числовых значений дает:

1x

300

Дж,

5,1

.

Q

Четвертый тип задач

Пример 9. Найдите изменение энтропии при переходе водорода массой

кг от объема л под давлением Па, к объему л

m

под давлением Па.

006,0

10p

2

V

1

5

20

1

5

105,1 p

Решение

По определению:

Q



S

,



С учетом первого закона термодинамики:

dV

m

AdUQ



dTC

V

m

R



,

после подстановки и интегрирования, получим:

2

C

dT

T

1

m

S

M

m

M

2

dV

R



V

1

m

M

 

 

C

T

2



VV

R

T

1



V

2



lnln

.



V



1

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

60

V

2

182

T

ln ln ln ln ln .

m p m V m V m p V

M p M V M V M p V

 

 

 

2

Дж K

 

TdS dU pdV

 

dU pdV

T T

C dT

T T



ln ln

S C C C n

моль





3

2

С R

Дж моль К

   

( )

p const



RT

V



RdV

T V



2 2

T V

 

 

 

2 2 2

1 1 1

3ln ln 4 ln

T T T

Дж моль К

     

2

T

1

Vp

22



.

Vp

11

Подставляя данное соотношение, найдем:

S C C R C C

     

V V V p

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

Значения молярных теплоемкостей при постоянном объеме и давлении

для водорода соответственно равны:

5

и .

RC

 RC

V

7



p

Подставив числовые значения, получим:

71 S

.

Пример 10. Найдите приращение энтропии одного моля углекислого газа при увеличении его термодинамической температуры в n=2 раза, если процесс нагревания: а) изохорический; б) изобарический.

Решение

В соответствии с первым началом термодинамики:

или .

dS

 

При изохорическом процессе:

V const dS

  

,

dU

V

.

Следовательно,

T

2

  

   

Для углекислого газа и n=2:

1

V V V



T T

T

1

iR

 

V

TdT

2

1

3 ln 2 17, 4 /S R

При изобарическом процессе , имеем:

C dT

p



dS

и .

V

 

В результате интегрирования:



3ln ln

1 1

.

S R

  

Для одного моля газа:

 

S R R

   

   

4 8,31 ln 2 23,2 /S

.

;

183

Пример 11. Два моль идеального газа сначала изохорически охладили, а

V

1 2



2 3



1 2 3

 

1 3



Q pdV RdV

T T V

 

3

1

ln

V

V V

1 1 2 3

pV p V

ln ln

S R R n

20 /

Дж К

 

2



2

M

2M



2

затем изобарически расширили так, что температура газа стала равной первоначальной. Давление в данном процессе изменилось в n=3,3раза. Определите приращение энтропии.

Решение

Представим диаграмму данного процесса (рис. 6.9). Поскольку отрезки пути процесса и являются обратимыми, то весь процесс является эквивалентен изотермическому процессу .

Для изотермического процесса:

Рис. 6.9

dS

  

.

Проведем интегрирование:

V

3

S R R

 

  

Учитывая то, что , получим:



  

dV



V

1

p

 

1

p

2

.

Согласно вычислениям приращение энтропии:

S

.

6.4. Тестовые задания, контролирующие усвоение базового уровня знаний Вариант 1

1. Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме

вычисляется по формуле:

iR

1) 2) 3) 4)

2

Ri

i

R



Ri

2



Ответ:____.

2. При нагревании идеального двухатомного газа в закрытом сосуде все его молекулы диссоциировались. Как изменятся при этом молярная теплоемкость газа и его внутренняя энергия?

3. В цикле Карно температуру нагревателя увеличили, оставив температуру холодильника неизменной. Количество теплоты, отданное холодильнику за цикл, осталось прежним. Как изменились за цикл работа газа и КПД тепловой машины?

1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится

C

U

184

1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится

A



2



4. Установите соответствие между физическими величинами, указанными в первом столбце и формулами из второго столбца.

А) Работа в изотермическом процессе

Б) Внутренняя энергия идеального

двухатомного газа

Ответ: А)___; Б)___.

3

RT



1)

5

pV

2)

3)

RT

V

2

ln

RT



4)

V

1

5. На рисунках приведены графики процессов происходящих с идеальным одноатомным газом. Установите соответствие между графиками из первого столбца и описаниями изменения физических величин из второго столбца.

А) Б)

1) над газом совершают работу, при этом его энтропия уменьшается;

2) внутренняя энергия газа уменьшается, и он отдает некоторое количество теплоты окружающей среде;

3) газ совершает положительную работу и его энтропия увеличивается;

4) газ получает положительное количество теплоты и совершает работу;

Ответ: А)___; Б)___.

6. На рисунке показан график циклического процесса проведенного с одноатомным идеальным газом постоянной массы. Из приведенного ниже списка выберите два правильных утверждения:

1) работа газа при расширении в процессе ВС больше, чем в процессе АD;

2) в процессе АВСDA газ совершает положительную работу;

3) внутренняя энергия газа остается постоянной в процессе АВ;

4) на участке СD газ получает положительное количество теплоты;

5) энтропия газа на участке DA увеличивается.

185

Ответ: ____.

;2iR2;

2

R





;iR

M





.2i R

M





7. Вычислите показатель адиабаты одноатомного идеального газа.

Ответ: ____.

8. В плотно закрытом стеклянном баллоне находится смесь газов, состоящая из 2 кг неона и 1 кг гелия. Определите удельную теплоемкость этой смеси.

Ответ: ____.

9. Определите работу, которую совершил кислород массой m =16 г при постоянной температуре T=300 K, если его объем при расширении увеличился в три раза.

Ответ: ____.

10. При изобарном нагревании одного моля идеального двухатомного газа было сообщено 4,2 кДж теплоты. Насколько при этом изменилась его внутренняя энергия?

Ответ: ____.

11. За один цикл Карно тепловая машина совершает работу 200 Дж. Температура нагревателя 477°С, холодильника 327°С. Какое количество теплоты получает от нагревателя газ за 10 циклов.

Ответ: ____.

12. Объем 2 моль кислорода изотермически увеличился в 2 раза. Найдите изменение его энтропии.

Ответ: ____.

Вариант 2

1. Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении вычисляется по формуле

i

2

1) 2) 3) 4)

Ответ: ____.

2. В сосуде находился идеальный одноатомный газ, в результате разгерметизации часть газа вытекло. Как изменятся в результате внутренняя энергия газа и его удельная теплоемкость?

1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится

U

c

V

3. В цикле Карно температуру нагревателя уменьшили, оставив температуру холодильника неизменной. Количество теплоты, отданное холодильнику за цикл, осталось прежним. Как изменились за полученное от нагревателя количество теплоты и КПД тепловой машины?

186

1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится



2

M

2

Q

н

4. Установите соответствие между физическими величинами, указанными в первом столбце и формулами из второго столбца.

А) Работа в адиабатном процессе

Б) Внутренняя энергия идеального одноатомного газа

3

RT



1)

5

pV

2)

mi

RdT



3)

pdV

4)

Ответ: А)___; Б)___.

5. На рисунках приведены графики процессов происходящих с идеальным одноатомным газом. Установите соответствие между графиками из первого столбца и описаниями изменения физических величин из второго столбца. А) Б)

1) над газом совершают работу, при этом его энтропия уменьшается;

2) газ совершает положительную работу и отдает некоторое количество теплоты окружающей среде;

3) газ совершает положительную работу и его энтропия увеличивается;

4) газ получает положительное количество теплоты и совершает работу.

Ответ: А)___; Б)___.

6. На рисунке показан график циклического процесса проведенного с одноатомным идеальным газом постоянной массы. Из приведенного ниже списка выберите два правильных утверждения:

1) внутренняя энергия газа не изменяется на участке ВС;

2) энтропия газа на участке DA увеличивается;

3) газ не совершает работы на участке АВ;

4) на участке СD газ получает положительное количество теплоты;

5) в процессе АВСDA газ совершает положительную работу.

187

7. Вычислите показатель адиабаты двухатомного идеального газа.

;

dQ

dT

;

dQmdT

M

;

dQ

mdT

.

dQ

MdT

p

c

Ответ: ____.

8. В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под массивным поршнем находится смесь газов: 2 кг водорода и 1 кг гелия. Чему равна удельная теплоемкость этой смеси?

Ответ: ____.

9. На сколько изменилась температура одноатомного идеального газа в количестве 1 моль, если при постоянном давлении p=1,5·105 Па он совершил работу 4,5 кДж?

Ответ: ____.

10. Какую работу совершит азот, если ему сообщить 630Дж теплоты при постоянном давлении?

Ответ: ____.

11. За один цикл идеальная тепловая машина получает от нагревателя количество теплоты 300 Дж. Температура нагревателя составляет 527°С, а холодильника 327°С. Какую полезную работу совершит двигатель за два цикла.

Ответ: ____.

12. Определите изменение энтропии 14 г азота при изохорном нагревании, если его температура увеличилась в 2 раза.

Ответ: ____.

Вариант 3

1. Молярная теплоемкость определяется выражением:

1) 2) 3) 4)

Ответ: ____.

2. В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под подвижным массивным поршнем находится разреженный азот. В результате нагревания он расширился. Как изменятся в результате внутренняя энергия газа и его удельная теплоемкость?

1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится

U

3. В цикле Карно температуру холодильника увеличили, оставив температуру нагревателя неизменной. Количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл, осталось прежним. Как изменились за цикл работа газа и КПД тепловой машины?

188

1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится

A



4. Установите соответствие между физическими величинами, указанными в первом столбце и формулами из второго столбца.

А) изменение энтропии в изохорном процессе

Б) КПД тепловой машины

i

1)

2 T

2)



3)

1

4)

T

2

ln

R



1

V

2

ln

R

V

1

Q

2



Q

1

2

QQQ

21

Ответ: А)___; Б)___.

5. На рисунках приведены графики процессов происходящих с идеальным одноатомным газом. Установите соответствие между описаниями изменения физических величин из первого столбца и графиками из второго столбца.

А) энтропия уменьшается Б) газ не совершает работы

1) 2) 3) 4)

Ответ: А)___; Б)___.

6. На рисунке показан график циклического процесса проведенного с одноатомным идеальным газом постоянной массы. Из приведенного ниже списка выберите два правильных утверждения:

1) внутренняя энергия газа не изменяется на участке DE;

2) энтропия газа на участке АВ увеличивается;

3) на участке СD газ получает положительное количество теплоты;

4) работа газа при расширении в процессе ВС меньше, чем работа внешних сил на участке ЕА;

5) энтропия газа на участке СD уменьшается.

189

Ответ: ____.

;2iR2;

2

R





;iR

M





.2i R

M







7. Вычислите показатель адиабаты трехатомного идеального газа.

Ответ: ____.

8. Чему равна молярная теплоемкость газовой смеси состоящей из 2 моль водорода и 1 моль гелия в сосуде постоянного объема?

Ответ: ____.

9. Определите температуру изотермического процесса, в котором идеальный газ в количестве 2 моль совершил работу 2,5 кДж увеличив объем в 1,5 раза.

Ответ: ____.

10. В изобарном процессе температура 1 моль идеального одноатомного газа уменьшилась на 20 K. Какое количество теплоты газ передал окружающей среде?

Ответ: ____.

11. Газ в цикле Карно с коэффициентом полезного действия 15% совершил работу 675 Дж. Какое количество теплоты было при этом передано холодильнику?

Ответ: ____.

12. Найти приращение энтропии 1 кг льда, имеющего температуру 0°С если он полностью растает (удельная теплота плавления льда λ=3,3·105 Дж/кг).

Ответ: ____.

Вариант 4

1. Удельная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме вычисляется по формуле:

i

2

1) 2) 3) 4)

Ответ: ____.

2. Как изменятся в результате адиабатного расширения внутренняя энергия и показатель адиабаты идеального двухатомного газа?

1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится

U

3. В цикле Карно температуру холодильника уменьшили, оставив температуру нагревателя неизменной. Количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл, осталось прежним. Как изменились отданное холодильнику количество теплоты и КПД тепловой машины?

190