Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практика решения задач по общей физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Рис.
4.7
расстояние между осями.
2(2
ab
ab
С
а
b
dx
x
R
С
b
O
1
m
2
m
2/Rd
С учетом вышесказанного получим:
2
III
0
10
2
rmRm
1
2
)
dm
.
1
После подстановки выражений для m0, m1, r и d в результате
элементарных преобразований, получим:
4,0 hRI
4
.
Пример 4. Найти момент инерции тонкой однородной прямоугольной
пластинки относительно оси перпендикулярной к ее плоскости и проходящей
через центр масс пластинки. Стороны пластинки равны и ,
ее масса .
гm 200
смa 10
смb 20
Решение
Выделим элемент пластины в виде узкой полоски длиной a и шириной dx
(рис. 4.6). Масса данного элемента будет равна:
m
adx
,
где
dsdm
m
– поверхностная плотность массы однородной
пластинки, т.е. масса ее, приходящаяся на единицу
площади.
Момент инерции выделенной полоски
относительно оси, проходящей через центр масс, в
соответствии с теоремой Штейнера равен:
2
1
22
dmxdmadI
a
2
dmx
m
2
a
b
121212
2
dxx
.
Рис. 4.6
Момент инерции всей пластинки относительно
оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через центр масс, найдем
интегрированием
b
2
2
a
m
2
I
b
0
2
dxx
22
bam
1212
.
После подстановки числовых значений, получим момент инерции
пластинки:
103,8 мкгI
24
.
Пример 5. Определить момент инерции физического
маятника, представляющего собой стержень длиной
м6,0
и массой с прикрепленным к нему
посередине диском радиусом , массой
кгm 4,02
. Точка подвеса маятника удалена от его конца
на расстояние (рис. 4.7).
мb 01,0
кгm 5,01
мR 07,0
111
Решение
4
4
4
Согласно принципу аддитивности момент инерции физического
маятника равен сумме моментов инерции стержня и диска:
III
.
21
Момент инерции стержня относительно точки подвеса определим по
теореме Штейнера:
1
01
1
где – расстояние между осью, проходящей через центр масс, и
2
b
2
12
2
1
1
1
2
2
,
bmmmaII
параллельной ей осью, проходящей через точку подвеса маятника.
Аналогичным образом найдем момент инерции диска относительно оси,
проходящей через точку подвеса маятника. Момент инерции диска
относительно оси, проходящей через центр масс и совпадающей с его
диаметром, равен:
1
c
2
RmI
.
2
Тогда, в соответствии с теоремой Штейнера, найдем:
1
4
2
21
1
2
2
2
.
bmRmI
Подставляя численные значения, получим:
1
1
035,004,05,036,05,0
2
мкгI
1
2
016,004,04,00049,04,0
2
мкгI
.
Таким образом, момент инерции физического маятника относительно
точки подвеса равен:
I = 0,051 кг·м2.
. Второй тип задач
Пример 6. Через блок в виде диска массой m0 перекинута нить, к концам
которой прикреплены грузы массами m1 и m2 (m2 >m1). Найдите ускорение
грузов. Трением пренебречь.
Решение
Грузы движутся поступательно под действием сил тяжести и натяжения
нити. Ускорения их движения равны по модулю, так как нить нерастяжима. Так
как блок имеет массу, то силы натяжения, действующие на него слева и справа
разные. Они сообщают ему вращательный момент (рис. 4.8). Запишем для
каждого груза закон динамики поступательного движения в проекции на
направление движения, а для блока уравнение вращательного движения:
112
Рис.
4.9
,
MrmR4
1
T
2
T
2
T
2
m g
2
a
1
m g
1
T
1
a
r
gmTam
111
,
Tgmam
222
).(
TTrI
12
m
0
Если нет проскальзывания нити по блоку, то
линейное и угловое ускорение связаны между собой
соотношением:
./ra
Решая эти уравнения, получим:
mm
a
12
21
.
g
2
/
rImm
Рис. 4.8
Пример 7. Маятник Обербека представляет собой скерещенные под
прямым углом стержни с симметрично расположенными грузами. К шкиву
маятника радиусом r = 3 см (рис. 4.9) прикреплена нить, к которой подвешено
тело массой M = 0,5 кг. Определить время опускания тела с высоты h =1 м.
Каждый груз имеет массу m=250 г и закреплен на расстоянии R = 30 см от оси
вращения. Моменты инерции стержней и шкива не учитывать.
Решение
Составим уравнения динамики для данной системы:
,TMgMa
.TrI
Угловое ускорение шкива связано с ускорением груза
соотношением , а момент инерции грузов креста
Обербека равен .
ra/
2
Rm4I
Подставляя данные выражения и решая систему
уравнений относительно ускорения, получим:
2
a
Mr
.g
22
Время опускания груза определяется из уравнения пути
равноускоренного движения
ht2
.
a
Вычисления дают
t = 4,47 с.
Пример 8. На ступенчатый блок намотаны в противоположных
направлениях две нити (рис. 4.10). На конец одной нити действуют постоянной
силой , а к концу другой прикреплен груз массой . Радиусы блока R1 и R2,
113
момент инерции относительно оси вращения I. Пренебрегая трением, найти
.
2,2rTI
2
2
gm
T
T
2
T
угловое ускорение блока.
Решение
В скалярной форме уравнения для поступательного
движения груза и вращательного движения блока:
Tmgma
, .
FRTRI
12
Угловое ускорение блока связано с тангенциальным
ускорением груза соотношением .
Ra
2
Учитывая это соотношение и, исключая из уравнений
натяжение нити T, получим
FRmgR
12
.
2
mRI
2
Пример 9. Маятник Максвелла, представляет
собой массивный диск радиусом R и массой m ,
туго насаженный на ось радиусом r, которая
подвешивается на двух предварительно
намотанных на нее нитях (рис. 4.11). Не учитывая
силы сопротивления и момент инерции оси,
определить ускорение поступательного движения
маятника и силу натяжения нити.
Решение
Уравнения динамики для поступательного и вращательного движения
маятника Максвелла имеют вид
Tmgma
Учтем, что момент инерции диска:
2
mR
I ra/
, угловое ускорение:
Рис. 4.10
Рис. 4.11
gm
.
Решая уравнения, найдем:
a
g
22
2/1 rR
.
Натяжение нити определим из первого уравнения
T
)( agm
.
Пример 10. Однородный шар скатывается без скольжения с наклонной
плоскости, образующей с горизонтом угол . Найти ускорение центра инерции
шара.
Решение
Рассмотри два подхода к решению задачи: используя уравнения
динамики и законы сохранения.
114
Рис.
4.12
Первый способ
x
5
R
R
5
7
2
2
222
dtdIdtdmdt
dt
7
На шар действует сила тяжести , сила реакции
gm
опоры и сила трения (рис. 4.12). Движение шара
N
F
тр
можно представить как поступательно-вращательное.
Вращательный момент относительно мгновенной оси,
проходящей через центр инерции, ему сообщает сила
трения покоя.
Уравнение динамики поступательного движения
в проекции на ось примет вид:
Fmgma
a
где − ускорение центра масс.
c
sin
,
трc
Уравнение динамики вращательного движения шара относительно его
центра масс:
RFI
Подставим момент инерции шара и угловое ускорение :
I
2
2
mR
a
c
2
трc
mR
RF
.
2
.
тр
Решая совместно уравнения, получим ускорение центра масс
скатывающегося с наклонной плоскости шара:
a
c
5
c
.
sin
ga
Второй способ
Выберем нулевый уровень потенциальной энегрии в вершине наклонной
плоскости. Тогда полная механическая энергия шара в произвольной точке на
плоскости будет равна:
22
E
Im
mgx
sin
Продифференцируем это уравнение по времени:
mg
dx
sin
2
0
После преобразования, с учетом того, что
dx
dt
d
, , , ,
dt
d
a
c
a
c
R
получим
I
ma
c
R
mg
2
.
sin)(
5
sin
ga
Учитывая момент инерции шара, найдем: .
c
115
Рис.
4.13
1
М кг
0,2
R
м0,5
m
кг
1
t c
2
2
I mR
.
a R
,2mg
M m
2 1 2
M m M m
.
R M m R M m
M
T
R
Третий тип задач
Пример 11. На блок массой
и радиуса
намотана нить, к концу которой прикреплен груз массой
(рис. 4.13). Найдите кинетическую энергию данной
системы спустя время , после начала движения.
Решение
a
Уравнения динамики для данной системы будут иметь
вид:
gm
Tmgma
.
.,RTI
1
Здесь − момент инерции блока относительно оси вращения, а
угловое и линейное ускорения связаны соотношением Решение этой
системы уравнений позволяет найти:
2
a
a
R
2
mg
mMR
.
)2(
Приобретенные скорости тел к моменту времени t соответственно равны:
at
2
и
t
2
mgt gt
2 1 2
Кинетическая энергия данной системы тел:
2222
E
к
tmgIm
.
)2/1(222
mM
Проведя численные расчеты, получим:
Ек=12,5 Дж.
Пример 12. Сплошному однородному диску радиуса R сообщили
угловую скорость и опустили основанием на горизонтальную поверхность. В
результате трения о поверхность диск останавливается. Сколько оборотов он
успеет сделать до остановки? Коэффициент трения между основанием диска и
горизонтальной поверхностью равен μ.
Решение
Момент силы трения зависит от расстояния до
оси вращения. Определим сначала момент силы
трения, приложенный к узкому кольцу, выделенному
на этом диске, радиуса r и шириной dr (рис. 4.14).
= = .
Рис. 4.14
116
Рис. 4.1
5
Масса выделенного кольца:
2 ,
dF rh gdr
2 .
dM h gr dr
2 3
2 .
M h g r dr h gR
2
N
,3A Md h gR
2
,
2
2 4
2 2
mR h R
2
.
g
1,0
м
10 Rмм
0
6,0
M
dr
2 ,
dS rdr
2 ,
dM rdr r
= = ℎ = 2ℎ,
где h – толщина диска, ρ – плотность материала диска.
Таким образом:
а момент этой силы трения равен:
2
Суммарный момент сил трения действующий на весь диск получим
интегрированием:
R
0
2
3
Под действием этого момента диск совершит до полной остановки
угловой путь . На этом пути работа силы трения составит:
2
3
с другой стороны, работа силы трения приводит к убыли кинетической энергии
диска:
I
A
где − момент инерции диска.
I
Приравнивая полученные выражения для работы, после преобразования
найдем:
3
R
N
16
Пример 13. Стальной стержень длиной и радиусом
закрепили с одного конца и подвергли деформации кручения, угол
закручивания вдоль оси составил . Найдите приобретенную энергию
упругой деформации этого стержня.
Решение
Первоначально установим связь между крутящим моментом и углом
закручивания стержня.
Выделим в стержне трубку радиусом r, толщиной и
длиной (рис. 4.15). Площадь основания трубки:
а момент упругих сил, действующих на это основание:
где – тангенциальное напряжение в этом основании.
С учетом того, что каждый элемент трубки при
закручивании сдвигается на угол:
117
,
r
.
r
dM r dr
3 4
.
M r dr R
2
.
7 .
U
Дж
2
100 ,
M
кг
3 Rм20 mкг
1
,
2
.
z
L
, 0,
2
M
1 1 2
.
M
то по закону Гука для деформации сдвига, получим:
G G
Таким образом, момент сил, действующих на выделенную трубку, равен:
2.G
3
Полный момент сил, действующих на стержень, найдем интегрированием:
2
R
G G
0
2
Теперь можно приступить к нахождению энергии упругой деформации,
определяя ее через работу крутящего момента:
U A Md d
0 0
4 4
GR GR
2 4
Подстановка числовых значений, дает следующий результат:
Пример 14. Мальчик встал на край неподвижной карусели и пошел вдоль
него по кругу. На какой угол повернется карусель с мальчиком, когда он
пройдет относительно диска угловой путь ? Масса карусели
1
ее радиус , масса мальчика .
Решение
Обозначим угловую скорость мальчика в неподвижной системе отсчета,
когда он начал двигаться по краю карусели через а самого диска − В
отсутствии момента внешних сил, действующего на систему, выполняется
закон сохранения момента импульса. В состоянии покоя момент импульса
системы равен нулю, поэтому:
L L L mR MR
1 2 1 2
z z z
2 2
1
и, следовательно:
20.m
2 1
Угловая скорость мальчика относительно карусели:
*
Учитывая это, получаем равенство:
20,m
2 1 2
118
из которого, находим:
2 1
.
2mm M
.
2 7
m M
об мин
1 1 1 1 2
,
I mR I
2
2
I MR
1 1
2
n
2 2
n
1 21 .
об мин
1 0,13 .
Дж
2 2
кг м
рад с
2 2
кг м
40 .
рад с
2
Умножив последнее равенство на промежуток времени движения ,
найдем соотношение между углами поворотов:
2
2 1
m
Пример 15. В условиях, описанных в предыдущей задаче, карусель
привели во вразщение с частотой . Определите с какой
15 n
1
частотой станет вращаться карусель, если мальчик от края перейдет к центру?
Какую работу он при этом совершит?
Решение
Так как система замкнута, можно применить закон сохранения момента
импульса. В исходном состоянии момент импульса системы складывается из
момента импульса карусели и мальчика, момент инерции которого будем
рассчитывать как для материальной точки. При переходе мальчика к центру его
момент импульса станет равным нулю. Следовательно, уравнение закона
сохранения импульса будет иметь вид:
2
где – момент инерции диска относительно вертикальной оси;
1
1
− угловая скорость вращения диска в исходном состоянии;
2
− угловая скорость вращения диска после перехода мальчика к его центру.
Подстановка данных значений и решение уравнения дает следующий
результат:
2
M
m
n n
2 1
Работу, совершенную мальчиком, при его переходе можно определить по
закону изменения кинетической энергии системы:
2
I mR
I m
1 2
A n n
1 1
2 2
2 2
2 2
2 1
2
M
Четвертый тип задач
Пример 16. Диск с моментом инерции вращающийся с
угловой скоростью падает на другой диск, с моментом инерции
2 10 I
2
, расположенный с ним соосно, и вращающийся в
20
1
1
противоположную сторону с угловой скоростью В результате
5 10 I
2
трения между ними, их относительная скорость стала равна нулю. Найдите
установившуюся угловую скорость вращения дисков и работу, которую при
этом совершили силы трения.
119
Рис. 4.1
6
Решение
,
2,9 .
рад
с
2,85 .
A
Дж
0 1 1 0 2 2
2 2 ,
0
I
2
1
mr
2
2
mr
2
2
Силы трения, действующие между дисками, являются внутренними
силами, поэтому можем воспользоваться законом сохранения момента
импульса:
I I I I
1 1 2 2 1 2
отсюда:
I I
1 1 2 2
I I
1 2
Работу сил трения определим, воспользовавшись теоремой об изменении
кинетической энергии:
2
22
IIIIII
21
2222
II
21
2
.
12
A
2
21
2
11
Согласно расчетам:
Пример 17. В центре скамьи Жуковского, вращающейся с частотой
n1 = 0,8 c-1 стоит спортсмен и держит в руках гантели по 3 кг каждая на
расстоянии = 0,4 м друг от друга. С какой частотой будет вращаться скамья,
1
если спортсмен вытянет руки в сторону и расстояние между гантелями
увеличиться до = 1,6 м (рис. 4.16). Какую работу при этом совершит
2
спортсмен? Суммарный момент инерции спортсмена и скамьи равен
I0 = 1,2 кг·м2.
Решение
Скамья Жуковского представляет собой платформу в форме диска,
который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на шариковых
подшипниках.
Для нахождения частоты вращения скамьи после изменения положения
гирь, воспользуемся законом сохранения момента
импульса:
I mr I mr
2 2
вращения пропорциоанльны частоте вращения, соответсвенно: и
.
2 n
22
После подстановки этих выражений и преобразований получим частоту
вращения скамьи после разведения гантелей в сторону:
где − момент инерции человека и скамьи; и
2
− момент инерции гантелей в первом и втором
2
положениях.
Гири расположены симметрично относительно оси
1
вращения, значит: , . Угловые скорости
120
r
1
2
r
2
2 n
11
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]