Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практика решения задач по общей физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Решая дифференциальное уравнение, получим:
2
kT
RTpMV
h
S
h
E
вер
.
Скорость молекул, соответствующая данной энергии, равна:
kT
m
.
0
Наиболее вероятная скорость, полученная из распределения молекул по
скоростям:
2mkT
в
,
0
а, кинетическая энергия соответствующая данной скорости, равна:
2
m
в
Таким образом,
Е
в
.
)(
EЕ
ввер
0
.
kT
2)(
Третий тип задач
Пример 9. Определите, на какой высоте над уровнем моря плотность
воздуха уменьшается в 2 раза. Температура воздуха K. При проведении
h
273
T
расчетов необходимо считать, что температура и ускорение силы тяжести не
зависят от высоты.
Решение
Исходя из определения плотности и с учетом уравнения Менделеева-
Клапейрона, имеем:
m
.
Давление воздуха на высоте в соответствии с барометрической
h
формулой равно:
Mgh
RT
.
epp
0
Таким образом, плотность воздуха на высоте определяется выражением:
Mgh
RT
.
e
0
После логарифмирования и преобразования данного выражения, получим
окончательно:
ln
RT
h
4,5
км.
0
Mg
Пример 10. Определите массу газа, заключенного в высоком вертикальном
цилиндрическом сосуде. Площадь основания цилиндра , высота . Давление
151
газа на уровне нижнего основания цилиндра , температура , молярная
T
M
RT
RT
p
0
масса газа .
Решение
Поскольку давление, а, следовательно, и плотность газа, заключенного в
вертикальном сосуде, зависит от высоты, то массу газа необходимо находить
путем интегрирования выражения:
h
V
.
dhSdVm
0
Считая, что температура и ускорение не зависят от высоты, а плотность
уменьшается согласно закону:
Mgh
RT
e
0
Mgh
Mp
0
RT
,
e
получим
hRTMgh
m
SMp
RT
0
0
.
dhe
Приведем данный интеграл к табличному виду, используя метод замены
переменной:
u
RT
Mg
u
0
,
due
u
Mgh
где .
m
SMp
RT
0
После интегрирования и преобразования, получим окончательно:
Mgh
m
Sp
0
RT
.
)1(
e
g
Четвертый тип задач
Пример 11. Найдите среднюю длину свободного пробега и частоту
столкновений молекул воздуха при нормальных условиях. Эффективный
диаметр молекулы воздуха м, молярная масса воздуха г/моль.
10
103d
M
29
Решение
Средняя длина свободного пробега молекул газа:
1
.
nd22
Концентрацию молекул воздуха определим через параметры состояния
при нормальных условиях:
p
0
kT
,
0
где Па, К.
0
5
10p
273
T
0
n
С учетом этого, получим:
152
kT
3
2 pd
0
.
2
0
Частота столкновений молекул воздуха, т.е. среднее число соударений,
испытываемых одной молекулой в единицу времени, определится по формуле:
2
,
ndz
2
RT
8
где – средняя арифметическая скорость молекул.
0
M
Подставляя числовые значения в полученные выражения, найдем:
8
105,9
м, .
9
107,4 z
Пример 12. Коэффициент вязкости углекислого газа при нормальных
условиях равен кг/(мс). Вычислить длину свободного пробега и
5
104,1
коэффициент диффузии молекул СО2 при нормальных условиях.
Решение
Коэффициент внутреннего трения (вязкости) газа определяется по
формуле:
1
,
отсюда:
3
.
Средняя арифметическая скорость и плотность молекул углекислого газа
при нормальных условиях определяются по формулам:
RT
8
0
5
где К, Па, кг/моль.
273
T
0
0
100,1 p
, ,
M
m
V
3
1044M
Mp
0
RT
0
Проведя расчеты по данным формулам, найдем:
94,1
кг/м3, м/с, м.
362
109,5
Из сопоставления выражения для коэффициентов диффузии и
внутреннего трения следует:
.
D
С учетом выражения для плотности, имеем:
RT
0
D
.
Mp
0
После подстановки числовых значений, получим:
6
м2/с.
1021,7D
8
Пример 13. Определите, как изменится вязкость двухатомного газа при
уменьшении объема в 2 раза, если процесс перехода был: а) изотермическим,
б) изобарическим, в) адиабатическим.
153
Решение
3
V
V~
V
V
const
i
Вязкость или внутреннее трение газа определяется динамическим
коэффициентом:
1
.
В данную формулу объем не входит в явном виде, поэтому необходимо
установить зависимость от объема каждого из сомножителей.
Средняя длина свободного пробега молекул:
1
обратно пропорциональна концентрации молекул, а с учетом того, что ,
,
nd22
N
n
прямо пропорциональна объему:
.
С другой стороны, величина плотности, равная:
m 1
,
~
обратно пропорциональна объему. Следовательно, коэффициент вязкости
может зависеть от объема только через среднюю арифметическую скорость:
RT
8
а) для изотермического процесса ( ), и поэтому, .
.
M
constT
б) для изобарического процесса, с использованием уравнения
Менделеева-Клапейрона, получим:
Следовательно, , т.е. с уменьшением объема в 2 раза при
V~
RT
M
изобарическом процессе, вязкость уменьшится в раз.
pV
88
m
.
V
~
2
в) адиабатический процесс описывается уравнением Пуассона:
где – показатель адиабаты газа, i – число степеней свободы молекул.
i )2(
,
constpV
Тогда зависимость от объема средней арифметической скорости молекул
газа в адиабатическом процессе можно представить в виде:
1
88
RT
M
pV
V
m
Учитывая, что для двухатомного газа , , зависимость вязкости
2
~
i
.
5
4,1
от объема в адиабатическом процессе имеет вид:
.
2,0~
V
154
5.4. Тестовые задания, контролирующие усвоение базового уровня знаний
z
3
3
3
dn
Вариант 1
1. Идеальный одноатомный газ изохорно нагревается. Как изменяются
при этом средняя длина свободного пробега молекул и среднее число
столкновений в единицу времени?
1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится
2. Установите соответствие между физическими величинами, указанными
в первом столбце и формулами из второго столбца.
А) коэффициент диффузии
Б) коэффициент теплопроводности
1
1)
2)
3)
4)
1
1
c
V
d
S
Ответ: А)___; Б)___.
3. Идеальный одноатомный газ находится в вертикальном
цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под массивным поршнем. Его
нагревают. Установите соответствие между графиками из первого столбца и
физическими величинами, изменение которых могут отображать эти графики
для описанного процесса.
А) Б)
1) давление p
2) объем V
3) концентрация n
4) плотность ρ
Ответ: А)___; Б)___.
4. Выберете график, который верно отображает зависимость
концентрации молекул в атмосфере от высоты.
155
1) 2) 3) 4)
Ответ: ____.
5. На рисунке показан график циклического
процесса проведенного с одноатомным идеальным
газом постоянной массы.
Из приведенного ниже списка выберите два
верных утверждения.
1) наименьшая температура газа в состоянии C;
2) в процессе АВ температура газа изохорно увеличивается;
3) процесс DA – изотермическое сжатие;
4) наибольшая плотность газа в состоянии D;
5) концентрация газа в процессе BC увеличивается.
Ответ: ____.
6. На рисунке показаны графики
)(f
распределения молекул идеального газа по
скоростям при различных температурах.
Масса газа постоянна. Из приведенного ниже
списка выберите два верных утверждения:
1) число молекул, обладающих
скоростями в интервале от до при
0
данной температуре постоянно;
2) площадь под кривой не зависит от температуры;
3) число молекул, обладающих скоростями в интервале от до
при температуре Т1 меньше, чем при температуре Т2 ;
4) температура Т2 меньше температуры Т
1 .
;
5) наиболее вероятная скорость молекул при температуре Т
чем при температуре Т2.
Ответ: ____.
7. Масса неона закаченного в баллон вместимостью V=3 л равна m= 16 г.
T
1
T
2
больше,
1 .
Определите его концентрацию в этом баллоне. Молярная масса неона
М =20 г/моль.
156
Ответ: ____.
z
8. Давление азота в баллоне при температуре t=17°C составляет
p=117 кПа. Вычислите его концентрацию. Ответ запишите с точностью до
одной значащей цифры.
Ответ: ____.
9. В вертикальном сосуде с гладкими стенками под массивным поршнем
находится идеальный одноатомный газ в количестве =2 моль при температуре
Т=300 К. В процессе нагревания, его объем увеличился в 1,2 раза. Определите
конечную температуру газа.
Ответ: ____.
10. На какой высоте давление воздуха уменьшится на 20% от значения
давления на уровне моря при температуре T=300 К? Молярная масса воздуха
29 г/моль. Зависимостью температуры и ускорения свободного падения от
высоты пренебречь.
Ответ: ____.
11. Найдите среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при
нормальных условиях. Эффективный диаметр молекулы воздуха d = 0,3 нм,
молярная масса воздуха М=29 г/моль.
Ответ: ____.
12. Расстояние междуоконными стеклами в стеклопакете составляет
d=2 см. Оцените плотность потока тепла между ними, если температура
воздуха на улице -20°С, а в помещении +20°С. Пространство между стеклами
заполнено воздухом при атмосферном давлении. Коэффициент
теплопроводности воздуха принять равным λ = 0,026 Вт/(м·К).
Ответ: ____.
Вариант 2
1. Идеальный одноатомный газ изобарно расширяется. Как изменяются
при этом средняя длина свободного пробега молекул и среднее число
столкновений в единицу времени?
1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится
157
2. Установите соответствие между физическими величинами, указанными
3
3
3
dn
ln
в первом столбце и формулами из второго столбца.
А) коэффициент динамической
вязкости
Б) сила внутреннего трения
Ответ: А)___; Б)___.
3. Идеальный одноатомный газ находится в герметичном сосуде.
Установите соответствие между графиками из первого столбца и физическими
величинами, изменение которых от температуры могут отображать эти
графики.
А) Б)
1
1)
1
2)
V
c
1
3)
d
4)
1) давление p
2) объем V
S
3) концентрация n
4) плотность ρ
T
4. Выберете график, который верно отображает зависимость плотности
атмосферного воздуха от высоты в полулогарифмических координатах.
ln
1) 2) 3) 4)
Ответ: ____.
ln
Ответ: А)___; Б)___.
ln
158
5. На рисунке показан график циклического
1
2
процесса проведенного с одноатомным идеальным
газом постоянной массы. Из приведенного ниже списка
выберите два правильных утверждения:
1) в процессе АВ концентрация газа растет;
2) в процессе ВС температура газа изохорно
увеличивается;
3) процесс DA – изотермическое сжатие;
4) плотность газа в состоянии D и С одинакова;
5) средняя кинетическая энергия молекул газа имеет наибольшее
значение в состоянии В.
Ответ: ____.
6. На рисунке показаны графики
)(f
распределения молекул для двух разных газов
при одинаковой температуре. Массы газов
равны. Из приведенного ниже списка выберите
два правильных утверждения:
1) число молекул, обладающих
скоростями в интервале от до для этих
0
двух газов равны;
2) площадь под кривой не зависит рода вещества;
3) молярная масса первого газа больше;
.
4) молярная масса второго газа больше;.
5) наиболее вероятная скорость молекул при температуре газа 1 .больше,
чем для газа 2.
Ответ: ____.
7. В сосуд объемом V = 2 л поместили v = 3 моль аргона. Определите его
плотность в этом сосуде. Молярная масса аргона М =40 г/моль.
Ответ: ____.
8. Определите плотность газа, если известно, что при давлении
p =120 кПа средняя квадратичная скорость движения его молекул составляет
= 300 м/с.
..квср
Ответ: ____.
9. В закрытом стеклянном баллоне объемом V = 2 л находится идеальный
газ массой m= 20 г. В результате нагревания его на 300 К, его давление
увеличилось в 2 раза. Определите конечную температуру газа.
Ответ: ____.
159
10. Во сколько раз концентрация азота больше концентрации кислорода
x
z
на высоте h=5 км над уровнем моря при температуре воздуха Т=290 К?
Молярные массы газов соответственно равны 28 г/моль и 32 г/моль.
Зависимостью температуры и ускорения свободного падения от высоты
пренебречь.
Ответ: ____.
11. Вычислите коэффициент диффузии молекул углекислого газа при
нормальных условиях, если известен его коэффициент вязкости при этих
условиях = 1,410
-5
кг/(м·с). Молярная масса углекислого газа М = 44 г/моль.
Ответ: ____.
12. Какая масса воздуха пройдет через площадку S = 1 см2 за время
= 10 с вследствие диффузии при градиенте плотности в направлении,
перпендикулярном площадке = 1,5 кг/м4? Коэффициент диффузии принять
равным D=0,64 см2/с.
Ответ: ____.
Вариант 3
1. Идеальный одноатомный газ испытывает изотермическое сжатие. Как
изменяются при этом средняя длина свободного пробега молекул и среднее
число столкновений в единицу времени?
1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится
2. Установите соответствие между физическими величинами, указанными
в первом столбце и формулами из второго столбца.
А) среднее число столкновений
Б) наиболее вероятная скорость
1)
2)
3)
1
3mkT
nd22
nd22
0
Ответ: А)___; Б)___.
RT2
4)
M
3. Идеальный одноатомный газ находится в вертикальном
цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под массивным поршнем.
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]