Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практика решения задач по общей физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
времени t=2c.
( ) 2 cos( )
t t
dt
( ) 3 sin( )
t t
dt
2
( ) 2 sin( )
a t t
dt
( ) 3 cos( )
a t t
dt
A
A
x
0
y
С
R
a
Рис. 1.6
Прежде всего, находим компоненты радиус-вектора
Проекции вектора скорости на координатные оси находим путем
дифференцирования
Решение
ttx
sin2
dx
x
,
tty
cos3
.
,
y
dy
.
Их значения в момент времени t=2c составят соотвтственно:
2
, 0
Таким образом,
x
2 2
.
x y x
.
y
Проекции вектора ускорения на координатные оси находим также путем
дифференцирования соответствующих проекций скорости
x
y
d
x
d
y
2
2
,
.
Значение полного ускорения в момент времени t=2c равно
2
3 taa
y
.
Пример 3. Движение материальной точки в горизонтальной плоскости
задано уравнениями:
sin
, )cos1( tAy
tAx
, где А и
–
положительные константы. Какой путь пройдет точка за время от начала
движения? Чему равен угол между векторами скорости и ускорения точки?
Решение
Закон движения материальной точки в данном случае представлен в
координатной форме. Найдем уравнение траектории материальной точки,
исключив из представленной системы уравнений время. Перепишем сначала
закон движения в виде:
x
sin
y
t
и
t
cos1
.
Возведем эти равенства в квадрат, сложим и
получим
)( AAyx .
222
Отсюда видно, что точка совершает движение
по окружности радиуса R=А и центром в точке C
(рис. 1.6). Угол поворота точки за время равен
, а путь
ARs
.
11
const
const
0,5
м
с
dt
1 max 0
s x x
0
t t
2 max 1
s x x
t
0
max
x
1t1x0
x
x
t
0
Угловая скорость
, значит
и касательное ускорение
a
. Полное ускорение точки равно нормальному ускорению, следовательно, угол
между векторами
a
и
равен
2/
.
Пример 4. Материальная точка движется прямолинейно вдоль оси Ox
согласно уравнению:
2
5,034 ttx . Сравните среднюю скорость перемещения
и среднюю путевую сокрость точки за первые 0,5 с движения (t0 = 0с, t1 = 0,5 c).
Решение
Средняя скорость перемещения определяется изменением координаты в
единицу времени:
( ) 6,5 4
x x
x
1 0
( ) 5
t t
1 0
.
Средняя путевая скорость определяется отношением пройденного пути на
время движения. Обратим внимание на то, что в некоторый момент времени
точка начнет двигаться в обратную сторону, поэтому надо учесть путь
пройденный вдоль оси Ox до остановки, и путь пройденный в обратном
направлении. Для этого надо найти момент времени, в которой произойдет
изменение направления движения. Для этого найдем выражение мгновенносй
скорости, взяв производную от уравнения даижения и приравняв ее к нулю:
dx
x
03 t
,
откуда t = 3с.
Координата точки в данный момент времени достигает максимального
значения и равна x
= 8,5 м. График зависимости координаты от времени
max
представлен на рис. 1.7. Видно, что путь, пройденный точкой за интервал
времени (t1 - t0), складывается из двух отрезков пути:
прошла за время
и
за время (t1 - t).
, который она
Рис. 1.7
12
м с
dt
dtdxdt
dtdxdt
dt
0,8
t c
Таким образом, среднюю путевую скорость находим из выражения:
8,5 4 8,5 6,5
s s
1 2
t t
1 0
5
1,3
.
Сравнивая полученные значения можем сделать вывод, что средняя
путевая скорость больше средней скорости перемещения, это объясняется тем,
что при движении тело может изменить направление движения.
Пример 5. Частица движется в плоскости xOy по траектрии заданной
2
xxy
уравнением:
, где
и
– положительные константы, с
постоянным ускорением
,a
направленным против оси Oy. Найти скорость
частицы при прохождении начала координат.
Решение
Продифференцируем по времени уравнение траектории:
dy
dx
,
x
2
отсюда следует
)2( x
.
xy
Продифференцируем выражение еще раз с учетом того, что
проекция ускорения на ocь Ox отсутсвует), получим:
d
d
Так как
y
y
Модуль скорости
y
,
a
, отсюда
aa
2
2
x
22
.
yx
22
x
const
x
2
.
xx
2/a
.
(т.к.
Для
0
x
,
и тогда скорость частицы в начале координат
xy
0
x
Пример 6. Движение материальной точки по кривой задано уравнениями
3
tx
и
ty
, где
3
1 см
,
см2
. Найти уравнение траектории точки,
ее скорость и полное ускорение в момент времени
Решение
Уравнение траектории точки получим, исключив время t из системы
представленных уравнений. В результате имеем:
083 xy .
Составляющие скорости точки в произвольный момент времени найдем
дифференцированием ее координат по времени:
13
22
2/)1(1
a
.
.
dt
dx
dt
dt
dt
(2 1)
dx t dt
2 sin( )
dy t dt
3
x
2
,
3 t
dy
y
.
Полная скорость в момент времени
Для нахождения ускорения точки продифференцируем по времени ее
составляющие скорости:
d
a
x
x
t
6
Величина полного ускорения в момент времени
x
Вектор полного ускорения в данный момент совпадает с направлением
оси Ox.
Второй тип задач
Пример 7. Скорость материальной точки изменяется по закону:
2
Определите закон движения, если в момент времени t=0 точка
находилась в начале координат.
Решение
По закону изменения вектора скорости необходимо найти закон
изменения со временем ее радиус-вектора.
Компоненты вектора скорости вдоль координатных осей имеют вид:
ct 8,0
равна:
d
,
a
8,4 смaa
.
y
2
sin212
смyx/77,222
.
y
.
0
ct 8,0
равна:
.
jtitt
x
y
122 t
,
t
sin2 .
С учетом того, что проекции скорости на координатные оси представляют
собой первые производные от соответствующих координат, получим
следующие дифференциальные уравнения:
2
,
.
В результате интегрирования, получим:
3
tx
t
2 Ct
2
cos
,
1
.
Ctty
2
Постоянные интегрирования определим из начальных условий.
Учитывая, что в начальный момент времени (при t=0) x=0 и y=0, получим С1=0
14
и С2 =
0
ai bxj
b
y x
,хa
.ybx
a
dt
bx
dt
,
dx adt
.
dx
a
.
dy bxdt bx xdx
a a
2
.
y xdx xdx x
a a a a
2
.
Окончательно компоненты радиус-вектора имеют вид:
3
t
tx 32
,
t
2
,
1cos
tty
а, закон движения точки:
3
tr
2
t
3
2
jtit
1cos
.
Можно заметить, что решая теперь прямую задачу, на основании этого
уравнения получим исходное выражение скорости:
2
sin212
jtitt
.
Пример 8. Материальная точка совершает движения из начального
положения с координатами
x y
1 1
со скоростью
, где а,
–
некоторые постоянные. Составьте уравнение траектории материальной точки
и определите форму траектории.
Решение
Проекции вектора скорости на оси x и y, исходя из представленного
уравнения, равны:
Учитывая, что
dx
x
,
dy
y
,
получим следующие дифференциальные уравнения
dt
dx b
Интегрируя последнее уравнение с учетом начальных условий
(y=0, x=0), получим уравнение траектории материальной точки y(x):
x x
b b b x b
0 0
2
x
2 2
0
Поскольку в уравнении траектории переменная x входит во второй
степени, траекторией является парабола.
Пример 9. При взлете, самолет разгоняется так, что его скорость из-за
сопротивления воздуха постепенно изменяется по закону:
15
0
t
)1(
e
, где
10
t c
100
b
dt
ds dt s dt
s Ae B dt e Bt
0
см/200
,
1
1,0 с
. Определите какой длины должна быть разгоночная
полоса, чтобы самолет успел взлететь за 10 с.
Решение
Путь при разгоне самолета определим интегрированием скорости в
пределах от нуля до
t
0
:
t t
0 0
t
1)(
t
t
00
0
0
t
0
0
etdtedtdtedttS
.
Произведя вычисления, получим:
S=1260 м.
Таким образом, разгоночная полоса должна быть не менее 1260 м.
Пример 10. При резком торможении, автомобиль не может остановиться
мгновенно. Определите по заданному закону изменения скорости автомобиля:
bt
BAe
, где
A
м/с,
B
80
м/с,
b
1,0
с-1:
1) время движения автомобиля до остановки;
2) ускорение в начальный момент торможения;
3) тормозной путь.
Решение
Время движения автомобиля до остановки найдем, приравняв его
скорость к нулю:
Отсюда
A
ln
t
. После подстановки численных значений получим
B
bt
0
BAe
,
bt
BAe
.
25,1ln
.23,2
ct
1,0
Для нахождения ускорения при торможении продифференцируем
скорость по времени, получим:
d
a
bAe
bt
.
Тормозной путь автомобиля:
t
t
bt bt
0
s = 21,3 м
0
A A
b b
.
Пример 11. Ускорение материальной точки изменяется по закону:
jita
322
. На каком расстоянии от начала координат она будет находиться в
момент времени t =1c, если ее начальная скорость была равна нулю.
16
Решение
2
2
t
dt
3
dt
2 ,
d t dt
3 ,
d dt
3
223
t
3 3
dt t
3 3
dx t t
dx dt
dt
3 3
t dy tdt
dt
4
3 6
t
2
3
2
t
6 2
t t
r t i j
Для нахождения искомой величины, определим закон движения точки
tfr
и найдем модуль радиус-вектора в момент времени t = 1c.
Проекции вектора ускорения на координатные оси равны производным от
соответствующих составляющих скорости, т.е.:
Разделяя переменные и интегрируя, получим компоненты скорости:
x
Для нахождения компонент радиус-вектора решим систему
дифференциальных уравнений:
3 3
x
2 2
В результате интегрирования с учетом начальных условий (x=0, y=0 при
t=0) получим:
2
( )
x t t dt
d
x
x
t
2
t dt
0
t
3
0
2
d
и
,
,
,
y
y
t
y
( ) 3
y t tdt
0
dy
y
t
0
.
.
.
.
Таким образом, закон движения имеет вид:
4 2
3
.
Искомое расстояние материальной точки от начала координат до
положения в момент времени t = 1c равно:
22
1
36
9
.51,1
мyxr
4
Пример 12. При прыжке воздушного десантника из вертолета, зависшего
t
gea
неподвижно, ускорение его снижения изменяется по закону:
g=9,8 м/с2,
. До какого значения будет увеличиваться скорость? Как
с5
, где
быстро скорость станет равной половине от максимальной величины и на
сколько уменьшится высота за это время?
Решение
Получим закон изменения скорости, путем интегрирования выражения
t t
t t
ускорения:
a t dt g e dt g e
0 0
1
.
17
Максимальное значение скорости, которое приобретет парашютист при
t
2
ln 2 3,46 .
t
с
3,46
t
с
2
2
gt
2
Рис.1.8
x
0
y
r t
0
g
x
y
затяжном прыжке, определится из условия
g
max
.
Время достижения половинного значения максимальной скорости
найдем из решения уравнения:
max
1
После преобразования, получим:
Для нахождения расстояния, которое пролетит десантник за это время,
проинтегрируем скорость в пределах от 0 до
t
0
Подставляя числовые значения, найдем, что высота уменьшится на 47 м.
Третий тип задач
teg
.
max
при
, следовательно
:
tt
2
11
egtgdtegs
.
Пример 13. Для камня, запущенного с высокого утеса высотой h=30 м в
горизонтальном направлении с начальной скоростью
=10 м/с, определите:
0
1) уравнение его траектории; 2) скорость в момент приземления у подножия
утеса; 3) угол, под которым он войдет в грунт в момент приземления.
Решение
Свяжем систему отсчета с землей, выбрав начало координат под местом
броска. Покажем на рисунке векторы начальной скорости, ускорения
свободного падения, скорости в момент падения, а также радиус-вектор тела в
произвольный момент падения (рис. 1.8). Уравнение движения тела в
векторной форме имеет вид:
( )
r t r t
0 0
.
Запишем проекции этого уравнения в
проекциях на координатные оси:
2
tx
,
0
gt
hy
.
Исключив из данной системы уравнений
время, получим уравнение траектории тела при
его падении, представляющее собой параболу:
g
2
.
hy
x
2
2
0
Дифференцируя уравнения дыижения, получим проекции скорости на
координатные оси:
через ее проекции:
, = −. Величина скорости в момент падения
0
x
18
22
2
t gt
( ) ( )
dr t dt gt dt
2
2
trt
4
h s
0
Время падения найдем из условия: y = 0, тогда
2
0
gt
h
t 45,22
h
g
Подставив числовые значения, найдем:
222
tgyx
.
c
.
222
./5,2645,21010
см
Угол, который образует эта скорость с горизонтом в точке его падения,
определим из прямоугольного треугольника:
0
222
tg
6,6738,0arccosarccosarccos
.
x
0
Пример 14. Тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью
. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: уравнение движения )(tr;
0
вектор средней скорости
за первые t секунд движения.
Решение
В отсутствии сопротивления воздуха движение тел происходит с
ускорением свободно падения. Уравнение скорости в этом случае имеет вид:
( )
.
0
Закон движения тела найдем интегрированием
t t
0 0
tr
)(
0
2
tg
0
t
.
Вектор средней скорости за первые t секунд будет равен:
r
tg
.
0
Пример 15. Известно, что максимальная высота подъема тела,
брошенного под некоторым углом к горизонту, связана с дальностью его полета
соотношением
. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите угол
броска тела к горизонту.
Решение
Траектория движения тела, брошенного под углом
к горизонту,
представлена на рис. 1.9. Во время движения ускорение свободного падения g
направлено вертикально вниз, поэтому его проекции на координатные оси
равны:
gaa
,0
yx
19
.
x
0
y
0
g
0
y
0
x
h
s
С учетом этого, система кинематических уравнений, описывающих
2
sin
.
2 cos sin
2 2 cos .
4
sin 2 cos sin
.
sin cos .
45 .
движение тела, будет иметь вид:
x
sin
th
0
Время движения тела вверх определим, приравняв проекцию скорости
вдоль оси Oy нулю, откуда получим:
Рис. 1.9
xx
yy
0
gt
,cos
,sin
gtgt
00
,cos
tts
2
.
00
0
t
g
После подстановки данного времени в соответствующее уравнение
высоты, найдем максимальную высоту подъема тела:
22
sin
0
.
gh2
Аналогичным образом, подставляя в соответствующее уравнение время
всего полета, т.е.
, найдем дальность полета:
tt 22
s t t
0 0
x
2
0
g
Подставляя полученные выражения в заданное условие
уравнению:
2 2 2
0 0
2 4g g
Откуда получим:
Следовательно,
s
h
, придем к
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]