Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практика решения задач по общей физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Вариант 4
м с
2
0,8
м с
0
7
t c
км час
2
2
t
30
300 /
n
об мин
1. Закон движения материальной точки представлен уравнением:
sin322
. Определите модуль скорости и ускорения точки в момент
jtitr
времени t = 2 c.
2. Тело брошено горизонтально с высоты 15 м. Траектория движения тела
2
описывается уравнением:
05,015 xy
. С какой скоростью было брошено
тело? Какую скорость оно будет иметь при падении на Землю?
3. Автомобиль, скорость которого равна 10
начинает
притормаживать, так, что ускорение изменятеся по закону
a
. Определите
сколько времени булет он останавливаться и каков при этом тормозной путь.
2
4. Колесо вращается вокруг неподвижной оси по закону:
3,0 t
Найдите полное ускорение точки М на ободе колеса в момент t=2 c, если
скорость точки М в этот момент
.
Вариант 5
2
1. Кинематическое уравнение материальной точки:
Определить за интервал времени от
среднюю путевую скорость
.
t
до
1
2
среднюю скорость
2. Поезд движется прямолинейно со скорость
торможении скорость поезда изменяется по закону:
240
0
. Определите
0
5,048 ttx
и
x
. При
время остановки поезда и его тормозной путь?
3. Камень брошен под углом
к горизонту со скоростью
0
см/10
Определить радиус кривизны траектории, скорость, тангенциальное и
нормальное ускорение спустя время t = 0,5 c.
4. Диск, вращаясь равноускоренно, за промежуток времени
частоты вращения
. Определить угловое ускорение диска и
достиг
с7
число N оборотов, которое он сделал за это время.
.
.
.
41
2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО
m
F
F
m
ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.1. Основные понятия, формулы и уравнения
Инерциальная система отсчета – система отсчета, относительно которой
тело покоится, либо движется равномерно и прямолинейно, если на него не
действуют другие тела или их действие скомпенсировано (первый закон
Ньютона)
n
.0
0
или const, если
F
i
1
i
Динамические характеристики тела при поступательном движении:
масса
импульс тела
– мера инертности тела;
mp
– векторная величина, равная произведению
массы на скорость;
сила
– векторная величина, характеризующая действие одного
тела на другое;
импульс постоянной силы
tF
– произведение вектора силы на
время его действия.
Основной закон динамики (второй закон Ньютона): в инерциальной
системе отсчета ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей
всех сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально массе тела:
1ii
a
. (2.1)
Третий закон Ньютона: сила, с которой первое тело действует на второе,
равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второе
тело действует на первое:
FF
. (2.2)
2112
Радиус-вектор и скорость центра масс системы материальных точек:
11i
rm
, (2.3)
iic
m
. (2.4)
ii
11i
r
m
c
m
Закон движения центра масс: центр масс системы движется как
материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую
действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных
к системе:
n
c
F
. (2.5)
i
i
1
m
d
dt
42
Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского):
dt
dt
F
dm
dt
т
m m
F
0
a
r
r
d
m
dm
uF
, (2.6)
где m и
–
равнодейтсвующая внешних сил
или присоединения частиц вещества.
Выражение
– масса и скорость тела в данный момент времени,
u
,
– относительная скорость отделения
F u
р
носит название реактивной силы, возникающей в
результате изменения массы тела.
Формула Циолковского, позволяющая рассчитать максимальную
скорость ракеты в отсутствие сил тяготения и сопротивления воздуха:
m
0
,
0
mm
конечная масса
т
0
где
m
стартовая масса ракеты,
0
ln
m
u
max
масса топлива,
т
ракеты после сгорания топлива.
Уравнение движения тела в неинерциальной системе отсчета:
где
a
– ускорение относительно неинерциальной системы отсчета,
результирующая всех действующих на тело сил,
FFam
, (2.7)
ин
F
– сила инерции.
ин
–
При поступательном движении с ускорением
относительно
инерциальной системе отсчета:
amF
; (2.8)
ин
0
При вращательном движении с угловой скоростью :
FFF
, (2.9)
кцбин
где rmF
цб
вращения;
2
– центробежная сила инерции,
,2 mF
к
– сила Кориолиса,
– вектор, проведенный от оси
– скорость тела относительно
вращающейся системы отсчета.
Закон всемирного тяготения: между двумя материальными точками
действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению
масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:
mm
21
r
, (2.10)
21
3
где G = 6,67·10
GF
12
-11
Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная.
Сила тяжести – сила, с которой Земля притягивает тело массой m:
Mm
GF
hR
2
)(
,
mg
(2.11)
43
где M, R – масса и радиус Земли, h – высота тела над поверхностью Земли,
n
F
S
F
S
2
2
E
2
2
G
M
Gg
– ускорение силы тяжести.
2
)( hR
Вес тела – сила, с которой тело, находящееся в поле силы тяжести,
действует на неподвижную относительно него опору или растягивает подвес.
Сила упругости возникает при упругих деформациях тел, имеет
электромагнитную природу. Зависимость силы упругости от величины
деформации устанавливает закон Гука:
при упругих деформациях растяжения (сжатия) в интегральной форме:
kxF
x
, (2.12)
где k – коэффициент упругости,
x
– абсолютное удлинение (сжатие);
0
при упругих деформациях растяжения (сжатия) в дифференциальной
форме:
E
, (2.13)
где
– нормальное напряжение,
– относительная деформация, E –
модуль Юнга;
при сдвиге:
G
, (2.14)
где
G
– модуль сдвига;
касательное напряжение, - угол сдвига (относительный сдвиг),
при кручении:
fM
, (2.15)
где М – крутящий момент, – угол кручения , f – модуль кручения.
Объемная плотность энергии упруго деформированного тела:
деформация растяжения (сжатия):
w
деформация сдвига:
w
Сила трения скольжения – сила, возникающая при относительном
движении взаимодействующих тел:
NF
тр
где – коэффициент трения скольжения,
опоры.
44
22
E
(2.16)
22
G
(2.17)
, (2.18)
N
– сила нормальной реакции
Сила трения покоя – сила, возникающая в отсутствии движения
dt
dt
m
dt
dt
взаимодействующих тел:
NF
птр
..
. (2.19)
Сила внутреннего трения – сила, возникающая при движении тела в
жидкой или газообразной среде:
F
в
, (2.20)
где – коэффициент вязкого трения, – скорость тела.
2.2. Основные типы задач и методы их решения
1. Поступательное движение тел и простейших систем под действием
постоянных сил. Движение тел в этом случае будет равнопеременным, т.е. с
постоянным ускорением.
Метод решения. Необходимо показать все силы, действующие на тела
системы и их ускорения на рисунке. Записать второй закон Ньютона в
векторном виде для каждого тела. Выбрав систему координат (для каждого тела
системы можно выбирать свою систему, направляя одну из осей по ускорению
движения тела), перейти от векторных уравнений к скалярным, проецируя их
на соответствующие оси. Решить полученную систему уравнений
относительно неизвестной величины.
2. Движение тела под действием непостоянной силы, которая зависит
либо от времени )(tfF
, либо от скорости
условиях требуется найти кинематические уравнения движения тела
)(tf
.
fF
. При заданных начальных
)(tfr
Метод решения. Учитывая характер изменения силы, действующих на
тело, второй закон Ньютона записывается в виде дифференциального
уравнения в виде
d
m
)(tF
или
d
m
)(
F
. Проводится разделение
переменных:
tFd)(
dt
или
F1)(
1
dt
, и последующее
m
d
интегрирование данных уравнения с учетом начальных условий.
3. Движение тел переменной массы. Нахождение скорости тела.
Метод решения. Любые задачи, связанные с движением тел переменной
массы m(t), решаются с использованием уравнения Мещерского:
d
m
dm
uF
.
4. Движение тел в неинерциальных системах отсчета.
Метод решения. Использование второго закона Ньютона для
неинерциальных систем отсчета (2.7) с учетом всех реально действующих на
тело сил и сил инерции (2.8) и (2.9).
,
45
2.3. Примеры решения задач
0,1
0,15
2
N
1
N
2
тр
F
1
тр
F
2
М g
1
М g
2
T
2
T
1
T
1
T
mg
x
y
a
y
Первый тип задач
Пример 1. На поверхности горизонтального стола лежат два бруска с
равными массами
кгMM 1
21
, связанные нерастяжимой и невесомой нитью.
К одному из брусков посредством такой же нити, перекинутой через невесомый
блок, закрепленный на краю стола, подвешен груз массой m = 0,5 кг.
Определите силу натяжения нити между брусками. Коэффициент трения
первого бруска о стол
1
, второго бруска
2
.
Решение
Силы, действующие на каждое тело
системы и направления их ускорений
показаны на рис. 2.1. Так как все тела
связаны нерастяжимыми и невесомыми
нитями, то модули ускорений и силы
натяжения нитей будут равны:
,11TT
.22TT
Запишем второй закон Ньютона в
векторной форме для каждого из тел:
,
aMgMNFTT
тр
тр
111121
,
aMgMNFT
221222
В проекциях на координатные оси (рис. 2.1):
Учитывая, что
11
g;MN
,
1NFтр
1тр121
11
;aMFTT
2NFтр
; gMF
тр11 1
, находим
Тогда можно переписать систему уравнений
1
Решая систему уравнений, и учитывая, что
T
2
2(
,21aaa
Рис. 2.1
.1amgmT
тр
MN
22
22
gMF
m
)
M
2
g;
ma.mg T-
;
aMFT
222
.
тр22 2
11121
a;MgM-T
2222
)(gM)1(mg
1212
1
;aMgMTT
, получим:
MM
21
.Н3,3
.
mamgT
46
Рис. 2.2
0
m
1 2
и m
0 1
T m a
1 2 1 2 1
( )
T m g m g m m a
1 2 1 2 1
( ) ( )
T m m g m m a
0 1 1 2 0 2 1
( ) ( )
m a m m g m m a
1 2 0
( )
m m g
m m m
1 2 1 2 0
( )( )
m m m m m
0,75
кг
0,5
кг
Пример 2. В представленной на рис. 2.2
системе массы тел равны: m0, m1, m2, массы
блоков пренебрежимо малы, трения нет.
Найдите ускорение тела массой m0
относительно стола и ускорения грузов m1 и m2
относительно подвижного блока.
Решение
Укажем все силы, действующие на грузы.
Если считать нити, связывающие грузы,
нерастяжимыми и невесомыми, а также
пренебречь массой блоков, то силы натяжения
нити с обеих сторон от каждого блока равны
Т1=Т2=Т, Т3=Т4=Т и ускорения тел, связанных
одной нитью по модулю равны
,11aa
.22aa
Выберем положительные
направления координатных осей х и y, запишем в скалярном виде уравнения
движения груза
и системы грузов
m
в соответствии со вторым законом
Ньютона:
;
.
Выразим из последнего уравнения силу Т, получим:
.
Приравняв выражения для Т, найдём:
Отсюда:
a
1
1 2
.
.
Запишем уравнения движения грузов m1 и m2 в проекциях на ось OY:
)('
aamTgm ,
2111
)('
aamTgm .
2122
Решая систему уравнений с учётом, получим:
Пример 3. Cистема, представленная на рис. 2.3, состоит из подвижного и
неподвижного невесомых блоков и тел массами
Найдите ускорения тел и силы натяжения нитей.
( )
m m m g
a
2
2 1 0
.
m
1
и
m
2
.
47
Рис.
2.4.
Решение
2
a g
T g
2
м
с
3,2TН
1 1 1 1
sin ;
тр
m a m g T F
Покажем все силы, действующие на тела данной системы, и направления
ускорений их движения. Направив ось Oy вертикально вверх, составим
уравнения динамики для рассматриваемых тел в проекции на координатную
ось:
,
gmTam
1111
.
gmTam
2222
Отметим, что
TTTT
,
431
где T – искомая сила натяжения нити.
В силу того, что блок невесомый, имеем:
TTTT 2
432
.
Очевидно также, что расстояния, проходимые
при движении этих тел, связаны соотношением:
2SS
,
21
следовательно, продифференцировав это равенство
Рис. 2.3
дважды, получим:
2aa
.
21
Решая систему уравнений динамики двух тел после проведения
соответствующих замен, найдем:
2
m m
2
m
1
1 2
m
1
,
2
34m m
1 2
m m
1 2
.
Вычисления дают следующие результаты:
5,7
a
1
,
.
Пример 4. Два бруска массами m1 и m2 поместили на наклонную
плоскость, составляющую угол с горизонтом (рис. 2.4). Коэффициенты
трения между плоскостью и брусками равны соответственно
. С какой силой взаимодействуют бруски в процессе движения? При
21
1
и
, причем
2
каком угле наклона плоскости движение прекратится?
Решение
На рис. 2.4 показаны силы, действующие на
бруски, ускорение их движения и выбранные оси
координат. В соответствии со вторым законом
динамики в проекциях на координатные оси
уравнения движения тел будут иметь следующий
вид:
48
Рис.
2.5
2 2 2 2
sin ;
тр
m a m g T F
cos ;
cos .
cos
cos
T T T
.
m m m m
sin cos
1 1 2 2
.
m m
sin ,
тр
m a T m g F
, а
1 2
, найдем:
Учитывая, что
F m g
1 1 1
тр
sin cos
a g
N m g
1 1
N m g
2 2
,
F m g
2 2 2
тр
1 2 1 1 2 2
m m
1 2
Искомую силу взаимодействия между брусками в процессе движения
можно определить из уравнения:
T m a m g m g
1 1 1 1
.
Значение угла , при котором не будет скольжения, определим из
условия:
ga
tg
mm
21
m m
1 2
mmmm
221121
mmmm
cos)(sin)(
cos)(sin)(
221121
,0
,
Пример 5. На вершине наклонной плоскости укреплен невесомый блок,
через который перекинута нить, связывающая груз массой m1, лежащий на
наклонной плоскости и груз с массой m2, висящий вертикально. При каком
отношении масс m2/m
, а коэффициент трения между телом
груз m2 начнет опускаться? Угол наклонной плоскости
1
m
и наклонной плоскостью .
1
Решение
Выполним рисунок наклонной
плоскости с грузами, на котором покажем
действующие на них силы и ускорения
движения, в том случае, когда груз m2
опускается (рис. 2.5). Для груза m1
находящегося на наклонной плоскости
выберем систему координат xOy, направив
ось Ox вдоль наклонной плоскости, а ось
Oy – перпендикулярно ей. Для груза m2 ось
Oy направим вниз по направлению
ускорения его движения.
Для рассматриваемого случая составим уравнения динамики в проекциях
на выбранные оси координат:
m a m g T
2 2 2
1 1 1
N m g
1
cos .
49
,
Рис.
2.6
Учитывая, что
cos
sin cos .
a g
0a
sin cos 0,
(sin cos )
1 Mкг
0,5
m
кг
sin
sin
cos
,
A x y
y x b tg
x
T T T
1 2
F N m g
тр
приведем уравнения динамики к виду:
,
1
m a m g T
2 2
m a T m g m g
1 1 1
,
Сложив данные уравнения, найдем ускорение системы:
sin cosm m
m m
, т.е.
1 2
Груз m2 опускается, если
m m
2 1
2 1
отсюда
m
2
m
1
Пример 6. На гладкой горизонтальной поверхности лежит клин с углом
наклона
кладут тело массой
30
и массой
, а на грань клина, также идеально гладкой,
. Определите горизонтальные ускорения клина и
тела.
Решение
Покажем силы, действующие на тело и клин, а также их ускорения
(рис. 2.6).
Ускорение клину в направлении оси Ox может сообщать только сила
давления тела на клин, поэтому:
M a N
1
.
Уравнения динамики для тела в
проекции на координатные оси будут
иметь вид:
.
.
ma N
ma mg N
Для нахождения кинематической
связи между этими ускорениями
рассмотрим, например, точку
тела, соприкасающуюся с клином
(рис. 2.6). Соотношение между координатами данной точки имеет вид:
Продифференцируем это уравнение дважды, и, имея ввиду, что при
движении
и b изменяются, а угол остается постоянным, получим
2
3
,
.
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]