Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практика решения задач по общей физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Рис.
4.17
После подстановки известных значений, получим:
2
2
2
2
L L const
Работу, совершенную спортсменом, можно определить через изменение
кинетической энергии системы:
2
A
22
2
II
11
Подставив значения, получим
Пример 18. Человек, стоящий на неподвижной скамье
Жуковского, получает в руки быстро вращающееся с
угловой скоростью ω1 колесо с вертикально направленной
осью (рис. 4.17). Выразите угловую скорость вращения
скамьи, после того как человек повернет ось колеса на 1800.
Какую работу он при этом совершит? Суммарный момент
инерции человека и скамьи I0, момент инерции колеса I1.
В данном примере необходимо учесть изменение
направления вращения колеса при повороте оси его
вращения на 1800 . Модуль момента импульса колеса не
2
mI
10
.
n
2
2
mI
20
n
2
2
2
n2 = 0,23 c-1.
2
2
0
2
4
2
)2(
2
0
2
1
2
4
2
)2(
nmInmI
1
.
А = 62 Дж.
Решение
изменится, а его проекция станет отрицательной.
Начальный момент импульса определяется только
моментом импульса колеса, конечный моментом импульса скамьи с человеком
и колеса. По закону сохранения момента импульса:
1 2
и
.
III
112011
Отсюда скорость вращения скамьи:
2
I
11
2
.
I
0
Обратим внимание, что кинетическая энергия колеса при повороте оси
вращения не изменится. Следовательно, работа совершенная человеком при
повороте оси вращения колеса идет на приобретение кинетической энергии
скамьи:
2
A
20
22
2
III
110
I
0
212
22
I
1
.
I
0
Пример 19. В горизонтальной плоскости вращается тонкий стержень
массой m и длиной с угловой скоростью ω=10 с-1 вокруг вертикальной оси,
проходящей через его середину. С какой скоростью продолжит вращение
стержень, если ось вращения сместится на его край?
121
Решение
2
12
I m
2
3
I m
1 1 2 2
.
3112
1
2,5 4c
1 2
.
L L
.
2
2
3
I m
2
4
При изменении положения стержня относительно оси вращения,
соотвественно изменяется его момент инерции. Моменты инерции стержня
относительно осей, проходящей через его центр и край перпендикулярно
стержню, известны. Тогда для первого и второго положения можно записать:
1
1
и .
1
2
Момент импульса системы сохраняется:
I I
Подставляя выражения для моментов инерции в закон сохранения
момента импульса, получим:
1
2
1
2
mm
,
2
откуда
1
2 1
.
Пример 20. Однородный стержень длиной =1,5 м и массой m1=10 кг
верхним концом закреплен в шарнире и может вращаться вокруг точки подвеса
без трения в вертикальной плоскости. На какой макисмальный угол отклонится
стержень после попадания в его середину горизонтально летящей со скоростью
=500 м/с пули массой m2=10 г (рис. 4.18)?
Решение
Учитывая малое время взаимодействия при соударении, можно считать
момент импульса системы постоянным:
Перед ударом момент импульса системы определялся моментом
импульса пули относительно точки подвеса:
L m
1 2
Момент импульса системы сразу после неупругого
удара:
2
c
mIL
22
,
4
1
Рис. 4.18
где − момент инерции стержня относительно
точки подвеса, − момент инерции пули, −
c
1
m
2
угловая скорость стержня с пулей непосредственно после удара.
Приравнивая моменты импульса, после элементарных преобразований
получим выражение для угловой скорости:
122
.
(4 3 )
2
2 2
.
m m g
h
2
/
m
90
2 .
g
2
m m
1 2
6
m
Так как после соударения система движется только под действием
потенциальных сил, то выполняется закон сохранения механической энергии.
Из которого следует равенство максимальных значений кинетической и
потенциальной энергии:
mI
c
2
где − высота поднятия центра масс данной системы.
h
22
4/
ghmm
)(
,
21
Отсюда
I m
h
c
2( )
/ 4
2
1 2
Угол отклонения стержня связан с величиной соотношением:
cos
2/
hh 2
1
.
Проведя вычисления, получим:
=0,1=180.
Пример 21. Однородный стержень массы и длины подвешен за
один конец и может вращаться вокруг горизонтальной оси. К той же оси
подвешен на нити шарик такой же длины и массы. Шарик отклонили на угол
и отпустили. Шарик сталкивается со стержнем.
1) считая удар неупругим, определите высоту, на которую поднимется
центр масс системы стержень-шарик после удара;
2) считая удар абсолютно упругим, определите длину нити, при которой
шарик после удара о стержень остановится.
Решение
1. Рассмотрим неупругий удар шарика о стержень.
Длина нити шарика в этом случае совпадает с длиной стержня. Скорость
шарика в момент удара о стержень легко определяется на основании закона
сохранения механической энергии и равна:
стержень-шарик придет во вращение с некоторой угловой скоростью . Ее
величина найдется из закона сохранения момента импульса относительно
данной оси:
При абсолютно неупругом ударе шарик прилипнет к стержню и система
1
3
22
mmm
.
Из написанного уравнения находим, что:
123
3
.
4
2
c
h
8
x
2 .
x
g
3
.
x
2
3
.
3
После начала вращательного движения кинетическая энергия системы
стержень-шарик в отсутствии сил сопротивления воздуха переходит в
потенциальную энергию силы тяжести:
1
3
22
mm
mgh
2
,
c
где − высота поднятия центра масс системы стержень-шарик.
Решение данного уравнения приводит к следующему результату
3
h
c
.
2. Перейдем к рассмотрению абсолютно упругого удара. Обозначим
искомую длину нити подвеса шарика через . Скорость шарика в момент
удара о стержень равна:
Если после удара шарика о стержень он останавливается, то по закону
сохранения момент импульса шарика передается моменту импульса стержня,
следовательно, имеем:
1
2
x
mm
.
Из этого уравнения находим:
3
2
При упругом ударе можно воспользоваться также законом сохранения
механической энергии, при котором энергия шарика полностью переходит в
кинетическую энергию стержня:
1
x
2
2
mmg
.
Решение полученных уравнений дает искомый результат:
x
124
4.4. Тестовые задания, контролирующие усвоение базового уровня знаний
3
4
5
10
Момент импульса
2
кг м
0,1 Rм0,5
m
кг
20 FН
2
рад с
1 mкг
м с
2
m
2
m
3mO
O
m
F
R
Вариант 1
1. Рассчитайте момент инерции системы, состоящей из
двух материальных точек с массами m и 2m и стержня
массой 3m, относительно оси ОО. Численные значения:
m=0,2 кг; =1 м.
Ответ:____
2. Определите во сколько раз увеличится момент инерции
.
обруча при параллельном переводе оси вращения,
перпендикулярной его плоскости и проходящей в через центр масс
в точку O1.
Ответ:____.
3. Установите соответствие между телами и формулами, по которым
можно рассчитать кинетическую энергию при их плоском движении.
А) Шар Б) Цилиндр
3
2
m
3)
2
2
m
4)
7
m
2
1)
2
2
m
2)
Ответ: А)___ Б)___.
4. Диск радиуса и массы может
вращаться относительно горизонтальной оси. На диск намотана
нить, к которой приложена постоянная сила .
Определите угловое ускорение диска.
Ответ:____
.
5. Определите полную кинетическую энергию шара массой ,
катящегося по горизонтальной поверхности со скоростью .
2
Ответ:____Дж.
6. Человек, стоящий на краю вращающейся вокруг вертикальной оси
платформе, переходит к ее центру. Как при этом изменяются момент инерции,
момент импульса и угловая скорость системы платформа-человек?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится
Момент инерции
7. Два диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей
через их центры, в противоположных направлениях. Момент инерции верхнего
диска I, нижнего 2I, а угловые скорости соответственно равны и . После
Угловая скорость
125
падения верхнего диска на нижний, оба диска начали вращаться как единое
1 2
;
I I I
2 1
;
T T T
5 ;
L I
2 FН
3 FН
1 ,
R
м
Н м
2
кг м
1
10
n c
10
t c
Н м
0,1 Rм
5 mкг
2 3
2 0,5 .
t t
3
t c
Н м
1 Mкг
0,2
R
м
10 mг
м с
рад с
90
m
R
A
M
R
m
целое.
Из приведенного списка выберите два правильных утверждения, которые
верно отражают результат эксперимента.
1) установившаяся угловая скорость равна ;
2) суммарный момент инерции дисков
3) кинетическая энергия дисков после их падения равна
4) момент импульса двух дисков после их падения равен
5) работа сил трения между дисками равна .
2
3IAтр
Ответ:____.
8. Определите чему равна сумма моментов двух сил
1
и , приложенных в точке А к диску радиусом
2
F
F
2
1
вращающемуся относительно оси, проходящей через
точку О перпендикулярно плоскости чертежа.
Ответ:____
.
9. Маховик, момент инерции которого , вращается с
0,5 I
частотой . В процессе торможения маховик остановился за время
. Определите чему равен момент сил торможения, действующий на
маховик.
Ответ: ____
.
10. Шар радиусом и массой вращается вокруг оси
симметрии согласно уравнению: Определите вращательный
момент силы в момент времени .
Ответ:____
11. Диск массой и радиусом
может свободно вращаться относительно оси, проходящей
через центр диска. Пуля массой , летящая со
скоростью , попадает в диск и застревает в
200
нем. Какова угловая скорость вращения диска вместе с пулей?
Ответ:____
.
12. Однородный стержень, подвешенный за один
из его концов, отклонили на угол и отпустили.
Вблизи положения равновесия он неупруго сталкивается
с математическим маятником. Массы стержня и
маятника одинаковы и равны , а длина стержня в 2
раза больше длины маятника и равна . Из приведенного
списка выберите два правильных утверждения, которые
верно отражают результат эксперимента:
126
1) моменты инерции маятника и стержня одинаковы;
32g
4
;
7
;
T mg
2
кг м
2
3
12
5
2
м с
m
2
m
3
m
O
O
R
m
m
2) угловая скорость стержня в момент столкновения с математическим
маятником равна ;
3) угловая скорость шарика системы стержень-маятник после
столкновения
4) суммарная кинетическая энергия шарика и стержня непосредственно
после столкновения будет равна
5) в процессе удара выполняетс закон сохранения момента импульса.
Ответ:____.
Вариант 2
1. Рассчитайте момент инерции системы, состоящей из
двух материальных точек с массами m и 2m и стержня длиной
и массой 3m, относительно оси ОО. Численные значения:
m=0,1 кг; = 0,2 м.
Ответ:____
.
2. Во сколько раз увеличится момент инерции диска массой
m радиуса R при параллельном переводе оси вращения,
перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр масс, на
расстояние R/2?
Ответ:____.
3. Установите соответствие между телами и формулами, по которым
можно рассчитать их момент инерции относительно оси, проходящей через
центр масс.
А) шар Б) стержень
1)
mR
2
1
2
2) 3) 4)
m
1
2
m
2
mR
2
Ответ: A)___; Б)___.
4. Однородный диск приводится во вращение
разматывающейся нитью с грузом такой же массы. Определите
ускорение груза.
Ответ:____
.
127
a
5. Определите полную кинетическую энергию диска массой ,
Момент импульса
1 mкг
2
м с
m
R
2
m
2
R
2
1 2
;
T T T
;
1 2 3
, ,
F F F
.
F F F F
10 mкг
0, 2
R
м
1
10
n c
2
5 Iкг м
2
32 4
t t
O
1
F
2
F
3
F
4
F
катящегося по горизонтальной поверхности со скоростью .
Ответ:____Дж.
6. Человек, находящийся на вращающейся платформе, переходит от ее
центра к краю. Как при этом изменяются момент инерции, момент импульса и
угловая скорость системы платформа-человек?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится
Момент инерции
Угловая скорость
7. Два диска один над другим свободно вращаются вокруг вертикальной
оси, проходящей через их центры, в одном направлении. Масса нижнего диска
, радиус , масса верхнего диска , радиус . Угловые скорости дисков
соответственно . и . После падения верхнего диска на нижний, оба диска
начали вращаться как единое целое.
Из приведенного списка выберите два правильных утверждения, которые
верно отражают результат эксперимента:
1) установившаяся угловая скорость равна ;
3
2) моменты импульсов дисков до падения равны друг другу;
3) кинетическая энергия дисков после их падения равна .
4) момент импульса двух дисков после их падения равен
L mR
2
5) работа сил трения между дисками равна разности их кинетических
энергий.
Ответ:____.
8. Диск может вращаться вокруг неподвижной
оси, проходящей через точку О, перпендикулярно
плоскости чертежа. К нему поочередно прикладывают
одну из сил и Под
F
4
1 2 3 4
действием какой из сил угловое ускорение диска будет
наибольшим?
Ответ:____.
9. Маховик в виде диска массой и радиусом
необходимо раскрутить до частоты . Какую работу придется при этом
совершить?
Ответ:____Дж.
10. Обруч, момент инерции которого , вращается
относительно оси симметрии согласно уравнению . Найти среднюю
128
мощность , которую развивают, действующие на обруч силы, до его полной
N
1 м600
m
г
10
м с
10 mград с
m
,
m
90
T mg
0,1 dм0,3
m
кг
2
кг м
5
12
остановки.
Ответ:____Вт.
11.Однородный стержень длиной и массой подвешен на
горизонтальной оси, проходящей через его середину. В конец стержня
попадает, летящий со скоростью , пластилиновый шарик массой
0
и прилипает к нему. Определите угловую скорость вращения стержня
с шариком.
Ответ:____
.
12. Шарик массы , закрепленный на невесомой спице длины и
однородный стержень массы и длины находятся рядом и могут вращаться
относительно горизонтальных осей перпендикулярных плоскости рисунка.
Спицу с шариком отводят на угол и отпускают. Удар шарика о стержень
считать упругим.
Из приведенного списка выберите два правильных утверждения, которые
верно отражают результат эксперимента:
1) моменты инерции шарика на спице и стержня одинаковы;
2) угловая скорость шарика на спице в момент столкновения со стержнем
равна
g2
;
3) стержень и шарик на спице после удара отклонятся в одну сторону;
4) суммарная кинетическая энергия шарика и стержня непосредственно
после столкновения будет равна ;
5) шарик остановится после удара о стержень.
Ответ:____.
Вариант 3
1. Определите момент инерции проволочного квадрата со стороной
и ее массой , относительно одной из его сторон.
Ответ:____
.
2. Во сколько раз увеличится момент инерции пустотелого
цилиндра при параллельном переводе оси вращения, проходящей
через центр масс, в положение ОO1?
Ответ:____.
3. Установить соответствие между телами и формулами, по которым
можно рассчитать их момент инерции относительно оси, проходящей через
центр масс.
А)
2
2
mRI
Б)
1
2
mI
1) диск 2) шар 3) стержень 4) сфера
129
Момент импульса
0,2
R
м
90
2
рад с
0,21
h
м
м с
I
2
I
2
3 ;
I I
1 2
;
T T T
;5L I
2
.
3
I
Ответ: А)___; Б)___.
4. Обруч радиусом , способный вращаться
относительно оси, проходящей через точку О, отклонили
от вертикали на угол и отпустили. Каким будет его
угловое ускорение в начальный момент времени?
Ответ:____
.
5. Шар скатывается с наклонной плоскости высотой .
Определите линейную скорость центра шара после скатывания с наклонной
плоскости.
Ответ:____
.
6. Человек сидит на вращающейся по инерции скамье Жуковского и
держит в руках длинный шест за его середину. Как изменятся при переводе
шеста из горизонтального положения в вертикальное момент инерции, момент
импульса и угловая скорость системы платформа-человек?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится
Момент инерции
Угловая скорость
7. Два диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей
через их центры, в одном направлении. Момент инерции верхнего диска ,
нижнего , а их угловые скорости соответственно равны и . После
падения верхнего диска на нижний, оба диска начали вращаться как единое
целое.
Из приведенного списка выберите два правильных утверждения, которые
верно отражают результат эксперимента:
1) установившаяся угловая скорость равна ;
2) суммарный момент инерции дисков
3) кинетическая энергия дисков после их падения равна
4) момент импульса двух дисков после их падения равен
5) работа сил трения между дисками равна
Ответ:_____.
130
А
ТР
3
9
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]