Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практика решения задач по общей физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Соотношение между давлением и концентрацией молекул:
V
22,4
p
T
nkTp
, (5.7)
N
где – концентрация молекул, – постоянная
n
R
k
N
A
Дж
23
1038,1
К
Больцмана.
Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме
парциальных давлений входящих в нее газов:
n
pp
p
где – давление смеси различных газов, – парциальное давление газа,
см
, (5.8)
iсм
i
1
p
i
входящего в состав смеси. Парциальное давление – давление, которое
производил бы газ, входящий в состав смеси, если бы он один занимал этот
объем при данной температуре.
Нормальные условия:
p0 = 105 Па = 760 мм.рт.ст., Т = 273К.
Один моль любого газа при нормальных условиях занимает объем
Vл
0
.
Изопроцессы в газах – процессы, при которых количество вещества и
один из термодинамических параметров (давление, объем или температура)
остаются неизменными. Разновидности изопроцессов в газах:
1) изотермический процесс (закон Бойля-Мариотта):
T=const, pV=const. (5.9)
Графики изотермических процессов при разных температурах показаны на
рис. 5.1.
TT
12
T
1
0
Рис. 5.1
V
2) изохорный процесс (закон Шарля):
p
V=const, (5.10)
.const
141
Графики изохорных процессов при разных объемах показаны на рис. 5.2.
p
T
T
T
pV const
TV const
p
V
1
VV
12
0
Рис. 5.2
3) изобарный процесс (закон Гей-Люссака):
V
p=const, (5.11)
.const
Графики изобарных процессов при разных давлениях показаны на рис. 5.3.
V
р
1
рp
12
0
Рис. 5.3
4) адиабатический процесс – процесс, протекающий без теплообмена с
внешней средой. Уравнение адиабаты (уравнение Пуассона):
или , (5.12)
1
где – показатель адиабаты.
Графики адиабаты и изотермы для сравнения показаны на рис. 5.4.
Рис. 5.4
142
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) газов
313
232
2
( ) .
dN
u
связывает макропараметры (давление, объем и температуру) с
характеристиками движения его молекул (кинетическая энергия, скорость,
масса молекулы):
где
2
2
m
кв
E
0
к
– средняя кинетическая энергия поступательного движения
kT
nmEnp
2
, (5.13)
0
квк
N
молекулы газа; – средняя квадратичная скорость
N
1
i
31
kT
22
iкв
m
0
поступательного движения молекул газа.
Функция распределения молекул по скоростям, полученная Максвеллом,
показывает долю молекул в единице объема газа, абсолютные скорости
которых заключены в диапазоне скоростей от до :
3
m
0
2
m
f e
dn
nd kT
4
0
2
2
kT
d
2
(5.14)
График функции распределения молекул газа по скоростям приведен на
рис. 5.5
)(f
0
вер
кв
Рис. 5.5
Скорости молекул:
1) средняя квадратичная: ; (5.15)
2) средняя арифметическая: ; (5.16)
3) наиболее вероятная: . (5.17)
кв
kT
m
0
kT
m
0
kT
в
m
0
RT
33
M
RT
88
M
RT
22
M
Закон Максвелла для относительных скоростей молекул:
4
u 2
2
duuNedN
, (5.18)
где – число молекул газа, скорости которых заключены в интервале от до
143
, – относительная скорость молекул, – наиболее вероятная
E
kT
f E kT E e
p
n
dx
3
dx
dS
dt
)( duu
u
/
в
скорость.
Закон распределения Максвелла по кинетическим энергиям:
2
( ) ( )
n
3
2 2
1
. (5.19)
Барометрическая формула:
Mgh
RT
epp
0
, (5.20)
в
где – давление на высоте , – давление на уровне моря ( ).
h
p 0
0
h
Закон распределения молекул в поле тяжести Земли:
ghm
0
kT
, (5.21)
enn
0
где и – концентрации молекул на высоте и , соответственно; –
n
0
h ghm
h
0
0
потенциальная энергия молекулы.
Распределение молекул в потенциальном силовом поле (распределение
Больцмана)
E
п
kT
.
enn
0
(5.22)
Средняя длина свободного пробега:
1
; (5.23)
nd22
среднее число столкновений молекулы в единицу времени:
2
, (5.24)
ndz
2
где
– эффективный диаметр молекулы, n – концентрация молекул; –
d
средняя арифметическая скорость молекул.
При постоянной температуре для данного газа средняя длина свободного
пробега молекул обратно пропорциональна давлению:
p
1
2
1
(5.25)
.
p
2
Уравнение диффузии (закон Фика):
d
Ddm
, (5.26)
dSdt
где – коэффициент диффузии, – градиент плотности в направлении
D
перпендикулярном к площадке, – масса газа, перенесенная через площадку
за время .
Уравнение теплопроводности (закон Фурье):
1
d
dm
dT
dQ
dSdt
, (5.27)
dx
144
где – коэффициент теплопроводности, – удельная теплоемкость
3
dx
dx
3
dx
,udN Ne u du
uu
1
c
V
c
V
газа при постоянном объеме, – градиент температуры, – количество
теплоты, перенесенное газом через площадку
dT
за время .
dS dt
dQ
Сила внутреннего трения, действующая между слоями газа (закон
Ньютона):
F
где – коэффициент динамический вязкости, – градиент скорости
1
d
, (5.28)
dS
d
течения слоев в направлении, перпендикулярном площадке.
5.2. Основные типы задач и методы их решения
1. Определение неизвестных параметров идеального газа и смеси не
реагирующих между собой газов.
Метод решения. Использование уравнения состояния идеального газа
(уравнения Менделеева-Клапейрона), закона Дальтона для смеси газов и
основного уравнения молекулярно-кинетической теории, устанавливающих
связь между значениями макропараметров и средними значениями физических
характеристик молекул.
2. Определение скоростных и энергетических характеристик движения
молекул на основании функции распределения Максвелла.
Метод решения. Прямое использование распределения Максвелла путем
интегрирования выражения
4
2
2
в соответствующем диапазоне скоростей. В том случае, когда искомый
интервал скоростей существенно меньше той скорости, в которой он находится,
т.е. , а следовательно, и , можно считать , а .
udu
NdN
Для нахождения энергетических характеристик молекул необходимо
перейти к распределению Максвелла по кинетическим энергиям
2
E
dN
2
kT
)(
kT
2/3
.
dEENe
3. Определение давления газа на различных высотах и характера
распределения молекул в потенциальном силовом поле.
Метод решения. Использование барометрической формулы и
распределения Больцмана для молекул, находящихся в поле консервативных
сил.
4. Определение эффективного диаметра, средней длины свободного
пробега и числа столкновений молекул; определение неизвестных параметров
145
для конкретного процесса переноса.
M
M
9
9
M
M
9
10329
27C
Исследование зависимости газокинетических характеристик молекул и
коэффициентов переноса от изменения параметров состояния газа.
Методы решения:
1) использование соотношений между эффективным диаметром, длиной
свободного пробега, числом столкновений молекул и их средней скоростью;
2) использование основного уравнения МКТ, устанавливающего связь
между макро- и микропараметрами газа, и формул для коэффициентов
переноса;
3) использование соответствующих уравнений переноса и формул для
коэффициентов переноса.
5.3. Примеры решения задач
. Первый тип задач
Пример 1. В баллоне находится кислород массой
кг. Через
5,01m
некоторое время, в результате утечки газа и уменьшения абсолютной
температуры на 10%, давление газа в баллоне уменьшилось на 20%.
Определите число молекул просочившихся из баллона.
Решение
Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона,
применив его к начальному и конечному состояниям газа в баллоне:
Vp
1
m
1
RT
и .
1
Vp
2
m
2
RT
2
Поделив первое уравнение на второе, получим:
p
1
p
2
По условию задачи , а , следовательно, масса
8/10/21pp 9/10/21TT
m
1
1
.
T
2
2
T
m
кислорода после его утечки из баллона, равна:
8
.
mm
12
В соответствии с этим убыль массы составит:
1
,
mmmm
121
а число молекул кислорода, просочившихся из баллона,
N
m
N
A
Nm
A
1
.
Подставляя числовые значения, найдем
23
1002,65,0
N
3
24
.
1005,1
Пример 2. Определите, сколько молей и молекул воздуха содержится в
объеме 10 л под давлением 2·10
5
Па при температуре . Вычислите
плотность газа.
146
Решение
2 3
10 10
V
л м
RT
0,8 .
моль
23 23
0,8 6,02 10 4,8 10
RTpMV
3
2,33 .
кг м
В начале приведем все численные значения в единицы СИ:
, T=300K, молярная масса воздуха кг/моль.
Число молей , содержащихся при данных условиях, определим на
основании уравнения Менделеева-Клапейрона:
pV
.
Произведя вычисления, получим:
5 2
2 10 10
8,31 300
Используя число Авогадро, находим общее количество молекул:
3
1029M
N N
A
.
Плотность газа также определяем из уравнения Менделеева-Клапейрона:
m
.
Подставляя числовые значения, найдем:
5 3
2 10 29 10
8,31 300
Пример 3. В сосуде объемом 1 м3 находится смесь 4 кг гелия и 2 кг
водорода при температуре 300 К. Определите давление и молярную массу
смеси газов.
Решение
Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его к
гелию и водороду:
m
1
, ,
Vp
1
p
где и представляют собой парциальные давления гелия и водорода в
p
1
2
RT
RT
M
1
m
Vp
2
2
M
2
данном сосуде.
По закону Дальтона для смеси газов с учетом предыдущего, имеем:
Молярную массу смеси найдем по формуле:
Молярные массы гелия и водорода соответственно равны:
Подставляя все значения в формулы давления и молярной массы смеси,
найдем:
21
21
147
RTm
2
VM
2
RTm
21
M
1
VM
1
ppp
3
кг/моль, кг/моль.
104M
1
m
M
m
1
M
1
mmmm
21
m
1
2
2
M
2
1
102M
m
RT
2
M
2
.
V
.
3
6
1, 4 mг5,0 Vл
1800
T K
30%
(1 )
m m
m m
,
mRT
MV MV
.
mRT
M V MV
mRT
MV
28 10 .
моль
7,5 Vл
моль
моль
моль
1 2 3
Па
V V
1 2 3 1 1 2 2 3 3
m m m m M M M
1 1 2 2 3 3
M M M
36,7
гMл
17C
Па, кг/моль.
105p
3
103M
Пример 4. Азот массы находится в сосуде объемом при
температуре . Полагая, что при этой температуре молекул
диссоциировано на атомы, определите давление газа.
Решение
Масса молярного газа в сосуде: , а атомарного: .
1
2
Парциальные давления этих газов:
m RT
p
1
1
1
p
m RT
2
2
( / 2)
2
Общее давление:
3
1
кг
.
p p p
1 2
Молярная масса азота
M
Вычисляя, получим:
1,9 10pПа
5
.
Пример 5. При температуре T=300 K в сосуде объемом находится
смесь газов: кислорода, азота и углекислого
0,1
1
0,2
2
0,3
3
газа. Определите: а) давление смеси газов; б) среднюю молярную массу смеси.
Решение
Общее количество вещества смеси найдем как сумму молей газов:
.
а) давление смеси газов определим из уравнения Менделеева-Клапейрона:
RT
p
1 2 3
RT
1,9 10
5
.
б) общая масса смеси газов:
.
Средняя молярная масса смеси на основании определения равна:
m
M
1 2 3
.
Подставляя числовые значения молярных масс компонент смеси газов,
получим:
0,1 32 0,2 28 0,3 44
m
0,1 0,2 0,3
.
Пример 6. Определите, какая часть молекул воздуха ( кг/моль)
при температуре обладает скоростями, отличающимися не более чем на
0,5 м/с от наиболее вероятной скорости.
Второй тип задач
148
3
1029M
Решение
1
1,04.
300 /
м с
600 /
м с
Наиболее вероятная скорость молекул воздуха в данных условиях равна:
2
в
RT
M
м/с.
430
Относительная скорость, выраженная в единицах наиболее вероятной
скорости, представляет собой безразмерную величину и равна:
.
1вu
Относительный интервал скоростей, скорости которых отличаются на
0,5 м/с от наиболее вероятной, т.е. м/с, будет равен:
вu
1
430
3
.
103,2
Поскольку
можно считать, что , и согласно
uu
udu
NdN
распределению Максвелла:
2
4
N
N
2
u
uue
.
%19,0
Пример 7. Найти отношение числа молекул газа, скорости которых лежат
в интервале от до при температуре к числу молекул, скорости
)(
которых лежат в том же интервале при температуре . Считать, что ,
T
1
2TT
12
в
.
Решение
Для достаточно узкого интервала скоростей, когда , согласно
распределению Максвелла для первого и второго случая, будем иметь:
4
2
u
1
где , ;
u
11
u
в
1
в
1
MRT
/2
1
2
uuNeN
, ,
1
11
4
2
2
u
12
uuNeN
2
22
/2
u
2
2
в
MRT
1
/2
MRT
2
T
T
1
1
2
, .
2
u
2
в
2
MRT
/2
2
Найдем искомое отношение молекул газа для одного интервала
скоростей, но при разных температурах:
N u u
1 1 1
N u u
2 2 2
2 2
( )
u u
2 1
e
2
2 2
e
Пример 8. Определите температуру газообразного азота, при которой
скоростям молекул и соответствуют одинаковые
1
2
функции распределения.
149
Решение
E
1 2
( ) ( )
,
m kT m kT
2 2
2 1
2 1
кг
12
330
T K
( )
f E
вер
E
( ) ( ) .
E
kT
( )
f E
0 ( ) 0.
dE dE
Из заданного условия
f f
2 2
1 2
e e
1 2
/2 /22 2
из которого следует:
2
2 1 2 1
exp
Проведя логарифмирование, получим:
имеем следующее равенство:
2 2
.
2mkT
2ln
2
2mkT
1
.
Отсюда находим искомую температуру:
2 2
m
4 ln
k
2 1
T
.
Массу молекулы азота определяем через молярную массу и число Авогадро:
M
m
N
A
5,33 10
26
.
Для заданных значений и получим температуру .
Пример 9. Используя функцию распределения молекул по кинетическим
энергиям, изобразите примерный график и определите наиболее
вероятное значение кинетической энергии .
Решение
Функция распределения Максвелла по кинетическим энергиям имеет вид:
2
f E kT E e
n
3
2 2
1
следовательно,
E
.
eEEf
~)(
Примерный график представлен на рис. 5.6.
)(Ef
Ee
~
E~
0
Для нахождения наиболее вероятной энергии молекулы приравняем нулю
первую производную данной функции:
df E d
( )
E
вер
Рис. 5.6
150
E e
E
kT
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]