Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие
.pdf
называется членом потока. Введение понятия потока
платежей в финансовый количественный анализ
существенно расширило его рамки и возможности.
В практике встречаются разнообразные потоки
платежей. Причем один и тот же вид потока может быть
использован в анализе различных финансово-кредитных
операций. Поэтому в данных пунктах внимание уделяется
формальным соотношениям, а не конкретным
экономическим показателям, связанным с этими
операциями.
Потоки платежей могут быть регулярными (размеры
платежей постоянные или следуют определённому правилу,
предусматривающему равные интервалы между
платежами) и нерегулярными.
Члены потоков могут быть как положительными
величинами (поступления), так и отрицательными
величинами (выплатами), а временные интервалы между
членами такого потока могут быть равными и неравными.
3.1. Финансовая рента
Поток платежей, все члены которого являются
положительными величинами, а интервалы времени между
последовательными платежами – постоянными, называют
финансовой рентой или просто рентой (rent).
Например, рентой является последовательность
получения процентов по облигации, платежи по
потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых
премий и т.д.
Частным случаем ренты является аннуитет – такой
поток платежей, все члены которого равны друг другу, так
же, как и интервалы времени между ними. Часто
аннуитетом называют финансовый актив, приносящий
фиксированный доход ежегодно в течение ряда лет. В
81
буквальном переводе “аннуитет” (с англ. annuity)
подразумевает, что платежи происходят с интервалом в
один год, однако встречаются потоки с иной
периодичностью выплат. Очевидно, что рента – это более
широкое понятие, чем аннуитет, так как существует
множество денежных потоков, члены которых не равны
друг другу или распределены неравномерно.
Использование в финансово-банковской операции
условий, предполагающих выплаты в виде финансовой
ренты, существенно упрощает их количественный анализ,
дает возможность применять стандартные формулы и
таблицы значений многих, необходимых для финансовых
расчетов коэффициентов.
Рента описывается следующими параметрами: член
ренты – размер отдельного платежа, период ренты–
временной интервал между двумя последовательными
платежами, срок ренты – время от начала первого периода
ренты до конца последнего, процентная ставка – ставка,
используемая при наращении и дисконтировании платежей.
При характеристике некоторых видов рент необходимо
указать дополнительные условия и параметры. Например,
число платежей в году, способ и частота начислений
процентов, параметры, характеризующие закономерность
изменения размеров члена ренты во времени.
Классификация финансовых рент
В практике применяют разные по своим условиям
ренты. В основу их классификации положен ряд признаков.
Рассмотрим некоторые из таких классификаций.
По количеству выплат членов ренты на протяжении
года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и p -
срочные (p – количество выплат в году). В анализе
производственных инвестиций иногда применяют ренты с
82
периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент
называются дискретными. В финансовой практике
встречаются и с такими последовательностями платежей,
которые производятся так часто, что их практически можно
рассматривать как непрерывные.
По числу раз начислений процентов на протяжении
года различают ренты с начислением процентов один раз в
году, ренты с начислением процентов раз в году, ренты с
непрерывным начислением. Моменты начисления
процентов необязательно совпадают с моментами выплат
членов ренты ( p). Однако, расчеты заметно
упрощаются, если указанные моменты совпадают ( = p).
По величине своих членов ренты делятся на
постоянные (с одинаковыми размерами члена ренты) и
переменные. Члены переменных рент изменяют свои
размеры во времени по какому-либо закону, например,
арифметической или геометрической прогрессии, или
несистематично (задаются таблицей). Постоянные ренты –
наиболее распространённый вид ренты.
По вероятности выплат ренты делятся на верные и
условные. Верные ренты подлежат безусловной уплате,
например, при погашении кредита. Число членов ренты
заранее известно. А выплата условной ренты ставится в
зависимость от наступления некоторого случайного
события, число членов её заранее неизвестно. К таким
рентам относятся страховые аннуитеты – последовательные
платежи в имущественном и личном страховании.
Примером страхового аннуитета является пожизненная
выплата пенсии.
По количеству членов различают ренты с конечным
числом членов, или ограниченные ренты (их срок заранее
оговорен), и бесконечные, или вечные ренты. Например, в
качестве вечной ренты логично рассматривать выплаты
процентов по бессрочным облигационным займам.
83
По соотношению начала срока ренты и какого-либо
момента времени, упреждающего начало ренты (например,
начало действия контракта или даты его заключения),
ренты делятся на немедленные и отложенные, или
отсроченные. Пример отсроченной ренты: погашение долга
в рассрочку после льготного периода.
По моменту выплат платежей в пределах периода
ренты. Если платежи осуществляются в конце этих
периодов, то соответствующие ренты называют
обыкновенными, или постнумерандо, если же платежи
производятся в начале периодов, то их называют
пренумерандо. Иногда контракты предусматривают
платежи или поступления денег в середине периодов.
Обобщающие параметры потоков платежей
В большинстве практических случаев анализ потока
платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих
характеристик: наращенной суммы или современной
стоимости потока.
Наращенная сумма – сумма всех членов потока
платежей с начисленными на них к концу срока
процентами. Наращённая сумма показывает, какую
величину будет представлять капитал, вносимый через
равные промежутки времени в течение всего срока ренты
вместе с начисленными процентами.
Современная (приведённая) стоимость потока
платежей – сумма всех его членов, дисконтированных на
начало срока ренты или некоторый упреждающий момент
времени. Современная величина показывает, какую сумму
следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив её на
равные взносы, на которые бы начислялись установленные
проценты в течение срока ренты, можно было обеспечить
получение наращенной суммы.
84
Конкретный смысл этих характеристик определяется
содержанием его членов или их происхождением.
Наращенная сумма может представлять собой общую
сумму накопленной задолженности к концу срока,
итоговый объем инвестиций, накопленный денежный
резерв и т.д. Тогда как современная стоимость
характеризует приведенные к началу осуществления
проекта инвестиционные затраты, суммарный
капитализированный доход или чистую приведённую
прибыль от реализации проекта и т. п.
Данные характеристики широко применяются в
различных финансовых расчетах: при разработке плана
последовательного погашения задолженности, измерении
финансовой эффективности проекта, осуществлении
сравнения или безубыточного изменения условий
контрактов, а также при решении многих других
практических задач.
Прямой метод расчета наращенной суммы и
современной стоимости потока платежей
Рассмотрим общую постановку задачи. Пусть
имеется ряд платежей, выплачиваемых спустя время
после некоторого начального момента времени. Общий срок
выплат лет. Определим наращенную на конец срока
потока платежей сумму. Если проценты начисляются раз в
году по сложной ставке , то, обозначив искомую величину
через , получим по определению
=
.
85
Современную стоимость такого потока также
находим прямым счетом как сумму дисконтированных
платеже
=
,
где – современная стоимость потока платежей,
- дисконтный множитель по ставке .
Итак, современная стоимость потока платежей
представляет собой обобщающую оценку, приуроченную к
некоторому предшествующему моменту времени (у
немедленной ренты – к началу срока). Наращенная сумма
также является обобщением всех членов потока в виде
одного числа, однако эта оценка приурочена к концу срока.
Очевидно, что между величинами и существует
функциональная зависимость. Дисконтируем сумму с
помощью дисконтного множителя
и получим
=
=
= .
Наращивая сумму по той же ставке, получим
= ,
Нетрудно определить через :
=
,
где
– дисконтный множитель.
86
Пример 36. Имеется следующий график выдачи ссуды во
времени:
1 июля 2015 г. – 5 000 руб.;
1 января 2016 г. – 15 000 руб.;
1 января 2018 г. – 18 000 руб.
Определить сумму задолженности на 1 января 2019 года и
её современную стоимость на момент выплаты первой
суммы при ставке наращения 20% годовых.
Решение. График решения представим на Рис. 4.
5 000 15 000 18 000 = ?
01.07.2015 01.01.2016 01.01.2018 01.01.2019
Рис. 4.
Найдем наращенную сумму
= 5000∙
+ 15000∙ + 18000∙ =
= 56 984,65 руб.
Найдем по этим же данным современную стоимость
потока на момент выплаты первой суммы. При прямом
счете получим
= 5 000 + 15 000∙
+ 18 000∙
=
= 30 103,95 руб.,
а по формуле:
= = 56 984,65∙
= 30 103,95 руб.
87
3.1.1. Наращенная сумма и современная стоимость
постоянной ренты постнумерандо
Для частного вида потока платежей — финансовых
рент — разработаны математические методы решения
подобных задач.
В зависимости от вида финансовой ренты
используются различные формулы для вычисления
наращенной суммы и современной стоимости ренты,
которые, как правило, являются основными показателями.
Рассмотрим основные виды рент с примерами расчетов.
1. Годовая рента
Как известно, годовая рента постнумерандо
предусматривает выплаты и начисления процентов один раз
в конце года.
Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
Определим наращенную сумму годовой ренты.
Пусть в течение лет в банк в конце каждого года вносится
по рублей. На взносы начисляются сложные проценты по
ставке % годовых. Таким образом, на первый взнос
проценты начисляются год, на второй взнос проценты
начисляются года и т. д. Изобразим эту ренту на оси
времени (Рис. 5).
R R R R R
.............
Рис. 5
88
Наращенная сумма к концу срока
Если посмотреть на это выражение справа налево, то можно
заметить, что оно является суммой геометрической
прогрессии с первым членом и знаменателем
. Сумма геометрической прогрессии вычисляется
по формуле
,
где – количество членов прогрессии.
Таким образом, наращенная сумма годовой ренты к
концу срока вычисляется по формуле
. (3.1)
Часто эту формулу записывают в виде
, (3.2)
где
=
(3.3)
– коэффициент наращения ренты, табулированная функция.
Нижний индекс указывает на продолжительность
ренты и величину процентной ставки.
Замечание. Если в таблице коэффициентов наращения и
дисконтирования нет требуемых процентных ставок, то
необходимые величины определяются по формулам.
Таблицы коэффициентов наращения и дисконтирования
приведены в различной справочной литературе по
финансовой математике.
89
Пример 37. В фонд ежегодно в течение семи лет в конце
года поступают средства по 10 000 руб., на которые
начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить
коэффициент наращения и величину фонда на конец срока.
Решение. По условию = 10 000 руб., 7 лет, 0,15.
Коэффициент наращения находится по формуле (3.3):
=
=
= 11,066799203125.
Наращенную сумму находим по формуле (3.2):
= 10 000∙11,066799203125 = 110 667,99 руб.
Современная стоимость годовой ренты постнумерандо
Для определения современной стоимости годовой
ренты необходимо каждый платеж дисконтировать на
начало срока ренты и сложить все дисконтированные
платежи. Дисконтированное значение первого платежа
равно , второго - , …, последнего - , где =
Современная стоимость, равная сумме всех платежей,
определяется соотношением
+ + … + = (1 + ++ …+
).
Выражение в скобках является суммой
геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии
и количеством членов . Таким образом, современная
стоимость годовой ренты вычисляется по формуле
=
=
=
.
.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]