Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие
.pdf
=
=
; (2.16)
2) при годовой учетной ставке
=
=
(2.17)
Срок в днях ( =
):
1) при годовой процентной ставке :
=
∙ =
; (2.18)
2) при годовой учетной ставке
=
∙ =
(2.19)
Пример 16. На какой срок клиент банка может взять кредит
в размере 20 000 руб. под простые проценты с условием,
чтобы величина возврата долга не превышала 22 000 руб.,
если процентная ставка равна 34%? В расчет принимаются
точные проценты с точным числом дней и год високосный.
Решение. Используя формулу (2.18), получим
=
=
= 107,65 дней.
Выполним проверку:
= 20 000 (1+
= 21,988 руб. (подходит).
41
= 20 000 (1+
= 22, 007 руб. (не подходит).
Ответ: не более, чем на 107 дней.
Величина процентной ставки
Необходимость в расчете процентной ставки
возникает при определении финансовой эффективности
операции и при сравнении контрактов по их доходности в
случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны.
Решив те же уравнения
S = P·(1 + ) и
относительно и , получим искомые формулы для сроков,
измеренных в годах и днях:
=
=
, (2.20)
=
. (2.21)
=
Пример 17. В контракте предусматривается погашение
обязательств в сумме 110 000 руб. через 120 дней.
Первоначальная сумма долга 90 000 руб. (АСТ/360).
Необходимо определить доходность ссудной операции для
кредитора в виде ставки процента и учетной ставки.
Дано: 90 000 руб.; =110 000 руб.; 120 дней.
Найти: , .
Решение. По формулам (2.20) и (2.21) находим
=
=
360 0,6667 или 66,67%,
42
360 0,5455 или 54,55%.
=
=
Иногда размер дисконта фиксируется в договоре в
виде процента скидки (общей учетной ставки)
за весь
срок ссуды. В этом случае
Имея в виду, что P =
, находим годовую
процентную ставку
=
. (2.22)
Годовая учетная ставка находится элементарно
. (2.23)
Пример 18. Стороны договорились о том, что из суммы
ссуды, выданной на 210 дней, удерживается дисконт в
размере 12%. Необходимо определить цену кредита в виде
годовой ставки простых процентов и учётной ставки
( 360).
Дано: = 210 дн., 360 дн., 0,12.
Найти: , .
Решение. Используя формулы (2.22) и (2.23), находим
= 0,23376 или 23,38%;
=
= 0,20571 или 20,57%.
43
Задачи для самостоятельного решения.
1. В течение первого месяца цена товара увеличилась
на 30%, а в течение следующего месяца новая цена товара
уменьшилась на 10%. На сколько процентов изменилась
первоначальная цена товара за 2 месяца?
Ответ: уменьшилась на 17%.
2. Налог на добавленную стоимость (НДС) равняется 18%
цены товара. Найти цену товара, если товар с учетом НДС
стоит 1652 руб.
Ответ: 1400 руб.
3. Налог на добавленную стоимость (НДС) составляет
20%. На сколько процентов уменьшится цена товара при
отмене этого налога?
Ответ: на 16,7%.
4. Кредит 20 000 руб. выдан 17 февраля 2000 г. под 30%
годовых, начисляемых по простой процентной ставке.
Найти наращенную сумму, если день погашения кредита 20
декабря 2000 г. Использовать три варианта расчетов.
Ответ: 1) (365/365) 25 032,79 руб.; 2) (365/360) 25 116,67
руб.; 3) (360/360) 25 050,00 руб.
5. Ссуда, размером 100 000 руб., выдана 21 января 2002 г.
до 3 марта 2002 г. при ставке простых процентов, равной 20%
годовых. Найти наращенную сумму, если применяются:
1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3) обыкновенные проценты с приближённым числом
дней ссуды.
Ответ: 1) 102 246,58 руб.; 2) 102 277,78; 3) 102 333,33 руб.
6. Клиент поместил в банк 500 000 руб. Чему равна
наращенная сумма вклада за три месяца, если за первый
месяц начисляют проценты в размере 10% годовых, а
каждый последующий месяц процентная ставка возрастает
на 5% с одновременным реинвестированием дохода?
44
Ответ: 518 976,56 руб.
7. Контракт на ссуду в 1 000 000 руб. на 2 года
предусматривает следующий порядок начисления процентов:
первые полгода – под 30% процентов годовых, вторые
полгода – под 40% годовых, второй год – под 100%. Найти
сумму процентов к выплате.
Ответ: 1 350 000 руб.
8. Через полгода после заключения финансового
соглашения о получении кредита должник обязан заплатить
2 140 руб. Какова первоначальная величина кредита, если он
выдан под 14% годовых (простых) и начисляются
обыкновенные проценты с приближённым числом дней
ссуды? Использовать немецкую схему.
Ответ: 2 000 руб.
9. На какой срок необходимо положить в банк 200 руб.,
чтобы накопить 800 руб., если банк принимает вклады под
простые 40% годовых? Использовать английскую схему.
Ответ: 2 738 дней.
10. Ссуда в размере 300 000 руб. выдана на срок 90 дней
под 20% годовых (простые проценты). Определить доход
кредитора. Использовать немецкую схему.
Ответ: 15 000 руб.
11. Найти сумму с начисленными процентами на срочный
депозит. 02.07.1998 г. банк принял в межбанковский депозит
денежные средства в сумме 80 000 руб. сроком на 7 дней по
ставке 24,9%. (Английская схема).
Ответ: 80 382,03 руб.
12. Найти начисленные проценты на сумму выданного
кредита по фиксированной процентной ставке. 11.08.1998
банк выдает юридическому лицу (предприятию) кредит в
сумме 280 000 руб. на 1 месяц по ставке 25%. Срок возврата
суммы кредита и уплаты процентов по нему – 11.09.1998 г.
(Английская схема).
Ответ: 5 945,21 руб.
45
13. Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка
простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых,
а на каждый последующий квартал на 1% меньше, чем в
предыдущий. Определить множитель наращения за весь срок
договора.
Ответ: 1,085.
14. Под какой процент надо отдать капитал, чтобы через
1 год 4 месяца получить прибыль, равную 2/25
первоначального капитала?
Ответ: 0,06.
15. Годовая ставка простых процентов равна 12,5%. Через
сколько лет начальная сумма удвоится?
Ответ: 8 лет.
16. Банк предлагает вкладчикам следующие условия по
срочному годовому депозиту: первое полугодие процентная
ставка 20% годовых, каждый следующий квартал ставка
возрастает на 2,5%. Проценты начисляются только на
первоначальную сумму вклада. Найти наращенную сумму,
если вкладчик поместил в банк на этих условиях 400 000 руб.
Ответ: 487 500,00 руб.
17. Клиент учел 1 февраля 1992 года вексель на сумму
40 000 руб., срок которого 1 июня того же года, и получил за
него 38 790 руб. Какова учетная ставка банка?
Ответ: 9,1%.
18. В банк 6 мая предъявлен для учета вексель на сумму
14 000 руб. со сроком погашения 10 июля того же года. Банк
учитывает вексель по простой учетной ставке 40% годовых,
используя способ 365/360. Определить сумму, которую
получит векселедержатель от банка. За какое время до срока
платежа операция учета векселя по учетной ставке 40%
годовых имеет смысл?
Ответ: 1) 12 989,89 руб.; 2) < 2,5 г.
46
19. За вексель, учтенный за 5 лет по простой учетной ставке
14% годовых, заплачено 4 млн руб. Определить номинальную
величину векселя.
Ответ: 13 333 333, 33 руб.
20. Клиент поместил в банк 16 000 руб. на следующих
условиях: в первые полгода процентная ставка равна 24%
годовых, каждый последующий квартал ставка повышается
на 3%. Найдите наращенную сумму за полтора года, если
проценты начисляются только на первоначальную сумму
вклада. При какой постоянной процентной ставке можно
получить такую же наращенную сумму? Найдите
наращенную сумму за полтора года, если с изменением
ставки происходит одновременно и капитализация
процентного дохода.
Ответ: 1) 22 960 руб.; 2) 0,29.
2.2. Начисление процентов по сложной
процентной ставке
Как уже было указано ранее, в среднесрочных и
долгосрочных финансово-кредитных операциях, если
проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а
присоединяются к сумме долга, применяют сложные
проценты. База для начисления сложных процентов в
отличие от простых не остается постоянной – она
увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная
сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс
увеличения суммы долга происходит с ускорением.
Наращение по сложным процентам можно представить, как
последовательное реинвестирование средств, вложенных
под простые проценты на один период начисления.
Присоединение начисленных процентов к сумме, которая
послужила базой для их начисления, часто называют
капитализацией процентов.
47
Сложная процентная ставка наращения – это
ставка, при которой база начисления является переменной,
т.е. проценты начисляются на проценты.
2.2.1. Формула наращения по сложной процентной
ставке
Найдем формулу для расчета наращенной суммы при
условии, что проценты начисляются и капитализируются
один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется
сложная ставка наращения. Для записи формулы наращения
применим те же обозначения, что и в формуле наращения по
простым процентам:
– первоначальный размер долга (ссуды, кредита,
капитала и т.д.),
– наращенная сумма на конец срока ссуды,
– срок, число лет наращения,
– уровень годовой ставки процентов, представленный
десятичной дробью.
Очевидно, что в конце первого года проценты равны
, а наращенная сумма составит = ).
В конце второго года:
= ) + )
и т.д.
В конце -го года:
=
, (2.24)
где
- множитель наращения по
сложным процентам.
48
Точность расчета множителя в практических
расчетах определяется допустимой степенью округления
наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.)
Формула (2.24) называется формулой наращения по
сложным процентам.
Начисленные проценты за этот же срок составят
= = = 1).
Часть данных процентов получена за счет
начисления процентов на проценты. Она составляет
=
.
Очевидно, что с ростом срока доля процентов на
проценты в общей сумме начисленных процентов
увеличивается.
Рост по сложным процентам представляет собой
процесс, соответствующий геометрической прогрессии,
первый член которой равен, а знаменатель – (1 + ).
Последний член прогрессии равен наращенной
сумме в конце срока ссуды.
Пример 19. Какой величины достигнет долг, равный 6 000
руб., через 4 года при росте по сложной ставке наращения
18,5% годовых?
Дано: .
Решение. Используя формулу (2.24), получим
Примечание. Время при наращении по сложной ставке
обычно измеряется как 365/365.
49
Очевидно, что величина множителя наращения
зависит от двух параметров – и . Следует отметить, что
при большом сроке наращения даже небольшое изменение
ставки заметно влияет на величину множителя. В свою
очередь очень большой срок приводит к устрашающим
результатам даже при небольшой процентной ставке.
Переменные ставки
Формула (2.24) предполагает постоянную ставку на
протяжении всего срока начисления процентов. В случае,
когда в контракте фиксируются изменения размеров ставок,
то наращенная сумма вычисляется по формуле:
∙
∙∙∙
, (2.25)
где , , …,
, , …,
- последовательные значения ставок;
- периоды, в течение которых «работают» эти
ставки;
…+ = – весь период ссуды;
=
∙
∙∙∙
– множитель
наращения.
Пример 20. Контракт предусматривает следующий
порядок начисления процентов в течение 5 лет: первые два
года – 12,5% (сложных), в оставшиеся три года – 12,75%.
Определить множитель наращения за 5 лет.
Дано: = 5 лет; = +
= 1 год (итого 2 года);
= = 1 год (итого 3 года);
;
= 0,125;
= 0,1275.
Найти: .
Решение. Множитель наращения по сложным процентам
равен:
=
∙
= 1,81407273706.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]