Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие
.pdf
формулы простых процентов для каждого интервала
постоянства суммы на счете:
…=
(2.10)
Пример 10. Сумма в размере 250 000 руб. была положена
на счет в банке 14 января 2015 г. под 12 % годовых. 17 марта
на счет добавили 75 000 руб., 20 мая на счет доложили еще
100 000 руб., 12 июня со счета сняли 370 000 руб., а 25
августа счет был закрыт. Определить сумму начисленных
процентов с помощью методики процентных чисел, при
условии, что банк использует французскую практику
расчета.
Решение. Рассчитаем процентные числа, исходя из условия
данной задачи по формуле
.
Первоначальная сумма
= 250 000 руб. находилась
на счете 62 дня, поэтому будет равно:
= 155 000 руб.
После добавления на счет еще 100 000 руб. сумма на
счете стала равной 325 000 руб., которая находилась в
таком объеме 64 дня, поэтому
= 208 000 руб.
31
После добавления на счет еще 100 000 руб. сумма на
счете стала равной 425 000 руб., которая находилась в
таком объеме 23 дня, поэтому
= 97 750 руб.
После снятия со счета 370 000 руб., сумма на счете
стала равной 55 000 руб., которая находилась в таком
объеме на счете 74 дня (до закрытия счета), поэтому
= 40 700 руб.
Далее рассчитаем дивизор и сумму начисленных
процентов за период функционирования сберегательного
счета.
Произведем расчет дивизора по формуле
30.
По формуле (2.9) рассчитаем сумму начисленных
процентов за период действия сберегательного счета. Она
составит
16 715 руб.
С целью проверки правильности расчетов,
рассчитаем сумму процентов по формуле (2.10), используя
схему простых процентов:
32
= 5 166,67 + 6 933,33 + 3 258,33 + 1 356,67 = 16 715 руб.
Результат по схеме простых процентов получился
тот же, что и по методу процентных чисел, следовательно,
расчеты выполнены правильно.
Реинвестирование по простым ставкам
Если по истечении некоторого периода
зафиксированная к данному моменту наращенная сумма
инвестируется вновь с использованием постоянной или
переменной ставок в пределах заданного общего срока, то
такую операцию называют реинвестированием (или
повторным инвестированием, или капитализацией).
В данном случае происходит многократное
последовательное наращение.
Предположим, что в течение периода времени
установлена ставка простых процентов
, тогда к концу
этого периода наращенная сумма составит
Затем эта сумма будет помещена на следующий срок
под ставку простых процентов . К концу периода
наращенная сумма будет равна
33
и так далее.
Таким образом, итоговую наращенную сумму
определяют по формуле:
S = P·(1 + )·(1 + )…·(1 +
). (2.11)
Здесь
наращения,
производится реинвестирование, =
– продолжительность периодов
– процентные ставки, по которым
.
Если сроки начисления и ставки не меняются во
времени, то получим формулу
S = P·1 + n∙i (2.12)
где – количество повторений реинвестирования.
Пример 11. Вкладчик полученную через полгода сумму от
ссуды в 1 000 000 руб. под 8% годовых снова помещает в
банк на год под 12% годовых. Найти сумму процентов к
выплате.
Решение. = 0,08;
= 0,12;
= 0,5 г.;
= 1 г.;
P = 1 000 000 руб.
Используя формулу (2.11), получим
1) S = 1 000 000·(1 + 0,080,5)·(1 + 0,121) = 1 164 800 руб.
2) I = S P = 164 800 руб.
Пример 12. 100 000 руб. положены 1 января 2015 года на
месячный депозит под 20% годовых. Найти наращенную
34
сумму, если операция повторяется три раза. Использовать
английскую и немецкую практики.
Решение.
1. Английская практика:
105 012,93 руб.
2. Немецкая практика:
2.1.2. Дисконтирование по простым процентным
ставкам. Наращение по простой учетной ставке
В финансовой практике часто сталкиваются с
задачей, обратной наращению процентов: по заданной
сумме S, которую следует уплатить через время ,
необходимо определить сумму полученной ссуды P. Такая
ситуация может возникнуть, например, при разработке
условий контракта. Расчет P по S необходим и тогда, когда
проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е.
непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях
говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается,
сам процесс начисления процентов и их удержание
называют учетом, а удержанные проценты – дисконтом
(discount) или скидкой. Необходимость дисконтирования
возникает, например, при покупке краткосрочных
обязательств, оплата которых должником произойдет в
будущем.
35
Термин «дисконтирование» употребляется и в более
широком смысле – как средство определения любой
стоимостной величины, относящейся к будущему, на более
ранний момент времени. Такой прием часто называют
приведением стоимостного показателя к некоторому,
обычно начальному, моменту времени. (Приведение может
быть осуществлено на любой, в том числе промежуточный,
момент времени).
Величину P, найденную с помощью
дисконтирования, называют современной стоимостью или
современной величиной (present value) будущего платежа S,
а иногда текущей, или капитализированной, стоимостью.
Современная величина суммы денег является одним из
важнейших понятий в количественном анализе финансовых
операций. В большинстве случаев именно с помощью
дисконтирования, а не наращения, удобно учитывать такой
фактор, как время.
В зависимости от вида процентной ставки
применяют два вида дисконтирования – математическое
дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В
первом случае применяется ставка наращения, во втором –
учётная ставка.
1) Математическое дисконтирование.
Математическое дисконтирование представляет
собой решение задачи, обратной наращению
первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае
формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды
надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму ,
36
при условии, что на долг начисляются проценты по ставке
? Решив уравнение P( ) относительно P, находим
P =
(2.13)
Известно, что =
– срок ссуды в годах.
Установленная таким путем величина P является
современной величиной суммы , которая будет выплачена
спустя лет.
Дробь
называют дисконтным, или
дисконтирующим, множителем. Этот множитель
показывает, какую долю составляет первоначальная
величина долга в окончательной его сумме.
Пример 13. Через 180 дней после подписания договора
должник уплатит 310 000 руб. Кредит выдан под 16%
годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии,
что = 365?
Решение. P =
=
= 287 328,59 руб.
Разность P = D называют дисконтом с суммы .
2) Банковский учет (учет векселей).
Суть операции такова: банк или другое финансовое
учреждение до наступления срока платежа по векселю или
иному платёжному обязательству приобретает его у
владельца по цене Р, которая меньше суммы , указанной
на векселе, т. е. покупает (учитывает его с дисконтом).
Получив при наступлении срока векселя деньги, банк
37
реализует процентный доход в виде дисконта. В свою
очередь владелец векселя с помощью его учета имеет
возможность получить деньги хотя и не в полном объеме,
однако ранее указанного на нем срока.
Эта операция называется учетом векселя. Как было
уже сказано, при учете векселя применяется банковский,
или коммерческий, учет. Согласно этому методу проценты
за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на
сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом
применяется учетная ставка d.
Размер дисконта, или суммы учета, очевидно равен
d; если d – годовая учетная ставка, то измеряется в
годах. Цена Р рассчитывается по формуле:
Р = d = (1 d), (2.14)
где – срок от момента учета до даты погашения векселя,
(1 d) – дисконтный множитель.
Из формулы (2.14) вытекает, что, если >
, то Р < 0
d
(то есть при большом сроке векселя владелец векселя ничего
не получит при его учете). Например, при d = 20% уже
пятилетний срок достаточен для того, чтобы владелец
векселя ничего не получил при его учете.
При учете векселей обычно применяется
французская практика (АСТ/360).
Пример 14. Тратта (переводной вексель) выдана на 10 000
руб. с уплатой 15 октября того же года. Владелец векселя
учёл его в банке 15 августа по учётной ставке 10%. Сколько
он получил? Сколько он получит, если срок уплаты по
векселю 15 октября следующего года?
Решение. По условию = 10 000 руб., d = 0,1.
38
1. Рассчитаем n лет: точное число дней между 15
августа и 15 октября равно = 61; считая, что в году = 360
дней, имеем n =
Р = 10 000 ∙ (1 -
=
, тогда
∙ 0,1 ) = 9830,56 руб.
2. Число дней между 15 августа и 15 октября
следующего года равно = 360 + 61 = 421 дней, тогда
n =
=
,
Р = 10 000 (1 –
0,1) = 8 830,56 руб.
Наращение по простой учетной ставке
Простая учётная ставка иногда применяется и при
расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает
необходимость при определении суммы, которую надо
поставить в векселе, если задана текущая сумма долга.
Наращенная сумма в этом случае
=
, (2.15)
где
– множитель наращения.
Наращение не пропорционально ни сроку, ни ставке.
Заметим, что при ˃
расчет лишён смысла, так как
наращенная сумма становится бесконечно большим числом.
Такая ситуация не возникает при математическом
дисконтировании: при любом сроке современная величина
платежа больше нуля.
39
Пример 15. Вексель учтен в банке по учетной ставке 18%
годовых за 150 дней до его погашения. При этом владелец
векселя получил 92 500 руб. Определить номинал векселя.
Дано: руб.; ;
г.
Найти: .
Решение. Номинал – это сумма, указанная на векселе,
которую получит владелец векселя при его погашении в
момент наступления срока платежа.
2.1.3. Определение срока ссуды и величины процентной
ставки
При разработке условий контрактов или их анализе и
сравнении возникает необходимость в решении ряда, если
так можно назвать, вторичных задач – определении срока
ссуды и размера процентной ставки в том или ином ее виде
при всех прочих заданных условиях.
Срок ссуды
Необходимые для расчета продолжительности ссуды
в годах и днях формулы получим, решив уравнения
S = P·(1 + ) и
относительно .
Срок в годах:
1) при годовой процентной ставке :
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]