Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие
.pdf
• используя прямой счет или специальные таблицы
порядковых номеров дней года, рассчитывают фактическое
число дней между датами начала и окончания финансовой
операции, - в этом случае получают точное число дней
финансовой операции.
Заметим, что день выдачи и день погашения ссуды
считается за один день.
Таким образом, если срок финансовой операции
выражен в днях, то расчет простых процентов может быть
произведен одним из трех возможных способов.
1. Английская практика расчета, при которой
используют точные проценты с точным числом дней
ссуды (финансовой операции). Этот вариант, естественно,
дает самые точные результаты. Данный способ
применяется ЦБ многих стран и крупными коммерческими
банками, например, США и Великобритании.
В коммерческих документах он обозначается как
365/365 или АСТ/АСТ. Обозначение АСТ есть сокращение
от Actual (действительный), т.е. точного числа дней между
датами.
2. Французская практика расчета, при которой
используют обыкновенные проценты с точным числом
дней ссуды. Этот способ обычно применяется в ссудных
операциях коммерческих банков между странами, а также
внутри стран Франции, Бельгии и Швейцарии. Этот вариант
дает несколько больший результат, чем применение точных
процентов.
Обозначается 365/360 или АСТ/360.
3. Германская практика расчета, при которой
используют обыкновенные проценты с приближенном
числом дней ссуды. Данный способ появился в эпоху до
21
создания первых вычислительных машин и существенно
экономил трудоемкость вычислительных операций в
финансовой практике. Несмотря на то, что благодаря
техническому прогрессу теоретически необходимость в
упрощенных методах отпала, тем не менее, закрепившись в
практике, они по традиции используются и по настоящее
время. Такой метод применяется тогда, когда не требуется
большой точности, например, при промежуточных
расчетах. Этот способ обычно применяется коммерческими
банками в Германии, Дании, Швеции.
Обозначается 360/360.
Чисто формально возможен и четвертый вариант:
точные проценты с приближенным числом дней
финансовой операции, - но он лишен экономического
смысла.
Заметим, что метод начисления процентов с точным
числом дней ссуды обычно дает больший рост, чем с
приближённым.
Таким образом, мы видим, что вычисления
продолжительности периодов в годовой шкале носят
нетривиальный характер и базируются на многообразии
применяемых практик. Происхождение и применение этих
способов зависит от страны, валюты, типа финансового
инструмента и т.д.
Применяя ту или иную практику расчета будущей
стоимости по схеме простых процентов, будем получать
различные по абсолютной величине суммы начисленных
простых процентов.
Для упрощения процедуры расчета точного числа
дней ссуды можно использовать специальные таблицы
порядковых номеров дней года, которые представлены в
приложениях 1 и 2. В этих таблицах все дни в году
последовательно пронумерованы. Точное количество дней
получается путем вычитания порядкового номера первого
22
дня ссуды из порядкового номера последнего дня
финансовой операции.
Пример 4. Ссуда в размере 500 000 руб. выдана 20 января
до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму
должен заплатить должник в конце срока при начислении
простых процентов? При решении применить все три
варианта расчета процентов.
Решение. Определим число дней ссуды.
1) Точное число дней ссуды:
Согласно таблице «Порядковые номера дней в году
«Приложение 1» получим
20 января: = 20, 5 октября: = 278.
Тогда промежуток между датами составит
дней.
2) Приближённое число дней ссуды:
10 + 8∙30 + 5 = 255 дней.
1. Английская практика (365/365):
2. Французская практика (365/360):
23
3. Немецкая практика (360/360):
В общем случае точное число дней между датами
= ( ) и = (
) вычисляется по
формуле:
= 365( ) + ( ) + , (2.3)
где – високосная кратность промежутка, т.е. число
различных високосных дат в нём,
, порядковые номера даты в
стандартном календарном году (см. приложения 1 и 2).
Пример 5. Найти точное число дней между 15 августа 2001
года и 11 марта 2012 года.
Решение. Так как порядковый номер 11 марта = 70,
порядковый номер 15 августа = 227, = 3 (так как
2004, 2008, 2012 гг. – високосные), то получим
= 365∙(2012) + (70) + 3 = 3861 день.
Ответ: 3861 день.
В общем случае приближённое число дней между
датами вычисляется по формуле:
= 360( ) + 30( ) + (
) (2.4)
24
Пример 6. Найти приближённое число дней между 15
августа 2001 года и 11 марта 2012 года.
Решение. По условию: = 2012, = 2001,
по счёту восьмой месяц), = 3 ( март – № 3),
= 11, то
= 8 (август
= 15,
= 360∙(2012 2001) + 30∙(3) + (11) = 3806 дней.
Ответ: 3806 дней.
Особо следует остановиться на случае, когда
начальная или конечная даты ссуды приходятся на 31 число
месяца, а количество дней ссуды определяется
приближённо, на основе 360 – дневного года, т.е. ссуда,
скажем, выдается 31 числа, в день, которого по схеме
«двенадцать 30-дневных месяцев» не существует, а в
реальной действительности сделки могут заключаться и в
этот день.
При этом возможно использование либо
американского, либо европейского метода определения
приближённого числа дней ссуды.
Американский метод определения приближённого
числа дней ссуды. Если начальная дата является 31-м
числом месяца, то она полагается равной 30-му числу того
же месяца. Если конечная дата является 31-м числом
месяца, а начальная дата меньше, чем 30-е число, то
конечная дата полагается равной 1-му числу следующего
месяца, в противном случае конечная дата полагается
равной 30-ому числу того же месяца.
Европейский метод определения приближённого
числа дней ссуды. Начальная и конечная даты, которые
приходятся на 31-е число месяца, полагаются равными 30ому числу того же месяца.
25
Примечание. Если срок ссуды захватывает два смежных
календарных года и есть необходимость в определении
годовых сумм дохода, то общая сумма начисленных
процентов составит сумму процентов, полученных в
каждом году:
- части срока ссуды, приходящиеся на каждый год.
Переменные ставки. Единая формула.
Как показывает практика, процентная ставка,
используемая в финансовых операциях, не всегда является
величиной постоянной. Достаточно часто в силу тех или
иных причин (например, инфляция) в финансовых
контрактах предусматриваются дискретно изменяющиеся
во времени процентные ставки - переменные ставки. Тогда
наращенная на конец срока сумма при начислении простых
процентов имеет вид
S = P·(1 + + +… + P·(1 +
), (2.5)
где
- ставка простых процентов в периоде t,
- продолжительность периода с постоянной
ставкой,
=
q = 1+
– срок всей ссуды,
– множитель наращения.
Формула (2.5) называется формулой наращения
простых процентов с переменными ставками.
26
Пример 7. Контракт предусматривает следующий порядок
начисления процентов: 1-й год – 16%, в каждом
последующем полугодии ставка повышается на 1%.
Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года и
наращенную сумму за этот период, если первоначальная
сумма составила 10 000 руб.
Решение. 1 г.;
0,5 г.;
0,5 г.;
0,5 г.;
= 0,16;
= 0,17;
= 0,18;
= 0,19;
= 1 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 = 2,5 г.
Найдем множитель наращения:
q = 1 +
= 1 + + + + =
= 1 + 10,16 + 0,50,17 + 0,50,18 + 0,50,19 = 1,43.
Тогда наращенная сумма составит
S = 10 000 1,43 = 14 300 руб.
Пример 8. Вклад в сумме 125 000 руб. был положен в банк
25 мая 2014 г. по ставке 15 % годовых, с 1 июля банк снизил
ставку по вкладам до 10 % годовых, а 15 июля вклад был
востребован. Определить сумму начисленных процентов
при английской практике их начисления.
Решение. Количество дней для начисления процентов по
первоначально действующей процентной ставке в размере
15 % годовых рассчитывается точно и составляет 37 дней, а
по измененной ставке 10 % годовых - 14 дней.
Отсюда величина процентов будет равна
125 000 ∙
27
= 2 380,14 руб.
Таким образом, клиенту при закрытии счета банком
будут выплачены проценты в сумме 2 380,14 руб.
Средняя процентная ставка
Среднюю простую процентную ставку за весь
период ссуды найдем по формуле:
+ +… +
=
, (2.6)
где + +… + = .
Пример 9. Контракт предусматривает следующий порядок
начисления процентов: 1-й год – 18%, в каждом
последующем полугодии ставка повышается на 2%.
Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года и
наращенную сумму за этот период, если первоначальная
сумма составила 10 000 руб. Найти среднюю ставку за этот
период, которая дала бы тот же финансовый результат.
Решение. 1. Найдем множитель наращения
q = 1 +
= 1+ + + + =
= 1 + 10,18 + 0,50,20 + 0,50,22 + 0,50,24 = 1,51.
2. Наращенная сумма составит
S = 10 0001,51 = 15 100 руб.
3. Найдем среднюю процентную ставку за весь период
ссуды
1 0,18 + 0,5 0,20 + 0,5 0,22 + 0,5 0,24
=
= 0,204.
4. Сделаем проверку:
28
S = 10 000(1+ 2,50,204) = 15 100 руб.
Начисление процентов при изменении сумм депозита
во времени
Если сумма, на которую начисляются проценты,
изменяет свою величину во времени (размер вклада на
сберегательном счете, текущий счет при периодическом его
пополнении или снятии денег и т. п.), то формула для
расчета начисленных процентов за весь период будет иметь
вид
, (2.7)
где остаток средств на счете в момент после
очередного поступления или списания средств, срок
хранения денег (в годах) до нового изменения остатка
средств на счете.
То есть, общая, начисленная за весь срок сумма
процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую
из постоянных на некотором отрезке времени сумм. Это
касается и дебетовой, и кредитовой части счета. Разница
лишь в том, что кредитовые проценты вычитаются.
Именно в таких случаях для расчета процентов
может быть использована методика расчета с вычислением
процентных чисел. Суть данной методики заключается в
следующем: каждый раз, когда сумма на счете изменяется,
производится расчет «процентного числа» за период, в
течение которого сумма на счете была неизменной; для
определения суммы процентов за весь срок их начисления
все процентные числа складываются и их сумма делится на
29
постоянный делитель, который носит название
«процентный ключ» или «дивизор».
Для нахождения данных величин формулу (2.7)
преобразуем следующим образом: интервалы между
моментами изменений величины остатка счета измерим в
днях, а процентную ставку выразим в процентах (а не в
десятичных дробях, как было выше). Тогда формула (2.7)
будет иметь вид
∙
=
:
, (2.8)
где – временная база (число дней в году), срок в днях
между последовательными изменениями остатков на счете.
Величину
числом, а делитель
– процентным (или постоянным)
называют процентным
делителем или дивизором.
Таким образом, с учетом введённых обозначений,
получим сумму процентов за весь срок их начисления
. (2.9)
Проценты, вычисляемые с использованием
дивизора, рассчитанного исходя из 365 дней в году, будут
меньше, чем проценты по дивизору, где количество дней в
году принято за 360, поэтому при обслуживании
конкретного клиента всегда используется только один из
дивизоров.
Методика с использованием процентных чисел по
своей сути является последовательным применением
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]