Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие
.pdf
проценты по ставке начисляются ежегодно. Рассуждая
так же, как и в предыдущем случае, после замены
множителя на
найдем наращенную сумму
данной ренты к моменту:
=
. (3.50)
Пример 58. Владелец автомастерской кладет в банк в конце
каждых двух лет 10 000 руб. Какая сумма будет на счету
владельца автомастерской через 10 лет, если: 1) на деньги
начисляются ежеквартально сложные проценты по ставке
12%; 2) банк выплачивает непрерывные проценты с силой
роста 12%?
Решение. По условию = 10 000 руб.; = 2; = 10 лет.
1) = 4,
= 0,12
Находим наращенную сумму по формуле:
=
= 10 000
= 84 793,54 руб.;
2) = 0,12
Находим наращенную сумму по формуле:
= 85 534,53 руб.
=
= 10 000
Современная стоимость ренты с периодом платежей,
превышающим год
В случае применения номинальной процентной
ставки к наращенной сумме , получим современную
121
стоимость ренты:
=
=
=
=
. (3.51)
Разделив числитель и знаменатель на
, получим
=
. (3.52)
Современная стоимость ренты при = 1 определяется по
формуле
=
(3.53)
или
=
. (3.54)
Замечание. Указанное в формуле соотношение
коэффициентов приведения и наращения можно
использовать в случаях, когда – целое число лет.
Аналогичным образом получим формулу для
определения современной стоимости финансовой ренты с
непрерывным начислением процентов:
=
(3.55)
122
Пример 59. Какую сумму надо положить в банк, чтобы в
течение следующих 12 лет иметь возможность каждые три
года снимать со счета 2 500 руб., исчерпав к концу этого
срока вложенные деньги. Банк начисляет на находящиеся на
счету деньги проценты по ставке: 1) годовой 5%;
2) номинальной ставке 5% с ежеквартальным начислением
процентов; 3) непрерывной ставке 5%?
Решение. По условию = 2 500 руб.; = 3 года; = 12 лет.
Во всех случаях надо найти современную стоимость ренты
с периодом больше года.
1) = 0,05
Современную стоимость ренты находим по формуле (4.19):
=
= 2 500
= 7 028,75 руб.;
2)
= 0,05
Современную стоимость ренты находим по формуле (4.17):
=
= 2 500
= 6 984,91 руб.;
3) = 0,05
Современную стоимость ренты находим по формуле (4.21):
=
2 500
= 6 969,92 руб.
123
Задачи для самостоятельного решения
1. Вкладчик в конце каждого года вкладывает 10 000
руб. в банк под 13% годовых (сложных). Какая сумма будет
на счете через 5 лет?
Ответ: 64 802,71 руб.
2. Какую сумму должен отец вложить сегодня на
накопительный вклад при ставке 8% годовых (сложных),
чтобы обеспечить сыну ежегодные выплаты в размере
10000 руб. в течение 4 лет обучения в колледже?
Ответ: 33 121,27 руб.
3. Предлагается сдать в аренду участок на 5 лет, выбрав
один из двух вариантов оплаты аренды: 1) 15 000 руб. в
конце каждого года; 2) 130 000 руб. в конце пятилетнего
периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк
предлагает 24 % годовых по вкладам?
Ответ: Вариант 2); 16,152 тыс. руб.
4. Господин Петров в конце каждого месяца
вкладывает 5 000 руб. в банк под 22% годовых (сложных).
Какая сумма будет на счете через 8 лет?
Ответ: 1 169 344,56 руб.
5. Допустим, что проект будет ежегодно в течение 3 лет
приносить доход по 100 000 руб. Найти современную
стоимость будущих доходов при ставке приведения 10%.
Ответ: 248 685,2 руб.
6. Пенсионный фонд предлагает участникам
пенсионную ренту, предоставляющую регулярные выплаты
фиксированной суммы в конце каждого месяца, начиная с
месяца подписания контракта на покупку ренты. Месячная
ставка накопления фонда равна 5%. Какой единовременный
взнос должен сделать участник фонда в начале месяца
подписания контракта, чтобы получать ежемесячную
пенсию в 1 000 руб. в течение 5 лет? Найти минимальную
сумму, необходимую для обеспечения пенсионных выплат,
124
в случае, если бы фонд выполнял функции простого
хранения без инвестиционного роста.
Ответ: 1) 18 929,29 руб.; 2) 60 000 руб.
7. Вкладчик в конце каждого месяца помещает в банк
1 000 руб. Проценты начисляются ежемесячно по годовой
ставке сложных процентов, равной 12%. Определить
наращенную сумму на счете вкладчика через 2 года.
Ответ: 2 247,79 руб.
8. В течение трех лет в конце каждого месяца
поступают платежи равными долями из расчета 480 000
руб. в год, на которые начисляются ежеквартально сложные
проценты 12% годовых. Найти наращенную сумму ренты.
Ответ: 1 719 962,12 руб.
9. Для создания премиального фонда один раз в год
производятся взносы в размере 15 000 руб. На вносимые
средства начисляются проценты под 12% годовых.
Определите размер фонда через 7 лет в следующих случаях:
1) поступление средств в конце года, ежеквартальное
начисление процентов; 2) поступление средств в конце
квартала, начисление процентов 6 раз в году; 3)
ежемесячное поступление средств и ежеквартальное
начисление процентов.
Ответ: 1) 153 812,98 руб.; 2) 161 343,28 руб.; 3) 120 876,85
руб.
10. Фонд создается в течение 5 лет. Средства поступают
в фонд в конце года по 50 000 руб., на них начисляются 13%
годовых. В каком случае сумма фонда станет больше: 1) при
переходе к ежемесячным взносам в конце каждого месяца;
2) при переходе к ежедневной капитализации процентов
(К = 365 дней)?
Ответ: в первом случае: 1) 342 892,89 руб.; 2) 329 714,21
руб. Указание: использовать формулы для р-срочной ренты.
11. Определите размер вклада, который обеспечивает
ежегодное (в конце года) получение дохода величины
125
20 000 руб.: 1) в течение 15 лет; 2) в течение
неограниченного срока, если процентная ставка равна 8%?
Ответ: 1) 171 189,57 руб.; 2) 250 000 руб.
12. Вам предлагают сдать в аренду участок на шесть лет,
выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: 1) 20 000
руб. в конце каждого года; 2) 240 000 руб. в конце
шестилетнего периода. Какой вариант более
предпочтителен, если банк предлагает 30% годовых по
вкладам? При какой оплате в конце каждого года оба
варианта практически эквивалентны?
Ответ: Первый вариант предпочтителен 1) 255 120,60 руб.;
2) R = 18 814,63 руб.
13. Какую сумму необходимо поместить в банк под
номинальную процентную ставку 36% годовых, чтобы в
течение 6 лет иметь возможность в конце каждого года
снимать со счета 8 000 руб., исчерпав счет полностью, если
банком начисляются проценты: 1) ежегодно; 2)
ежемесячно; 3) непрерывно?
Ответ: 1) 18 710,23 руб.; 2) 16 553,00 руб.; 3) 16 332,61 руб.
14. Определить цену -срочной вечной ренты, выплаты
по которой в конце каждого месяца составляют 2000 руб.
при номинальной процентной ставке 12% годовых и при
начислении процентов один раз в году.
Ответ: 210 774,8 руб.
15. Величина ренты составляет 1 000 руб. Срок ренты 4
года. Найти современную величину вносимой ренты при
ежеквартальном дисконтировании платежей сложными
процентами по годовой процентной ставке 10%.
Ответ: 3 143,88 руб.
16. Определить цену годовой вечной ренты, выплаты по
которой в конце каждого года составляют 24 000 руб. при
процентной ставке 12% годовых.
Ответ: 200 000 руб.
17. Найти размер вклада, обеспечивающего получение в
126
конце каждого года 2 000 руб. бесконечно долго при
сложной ставке 14% годовых.
Ответ: 14 285,71 руб.
18. Найти срок ренты постнумерандо, если известны
2 000 000 руб., = 0,15, = 100 000 руб.
Ответ: 9,9 лет.
19. Долг в сумме 500 000 руб. должен быть погашен за
7,5 лет равными выплатами в конце каждого полугодия. На
остаток долга начисляется 8% годовых. Какова будет
величина разовой уплаты по погашению долга?
Ответ: 49 940 руб.
20. Определить величину ежемесячного платежа
ренты, современная стоимость которой за 2 года составит
300 000 руб. Проценты начисляются в конце каждого
месяца по сложной ставке в 12% годовых.
Ответ: 14 122,04 руб.
21. Господин Сидоров должен отдать долг в размере
200 000 руб. Для того, чтобы собрать эту сумму, господин
Сидоров планирует в течение трех лет в конце каждого
полугодия вносить в банк определённую сумму, на которую
каждые полгода будут начисляться сложные проценты по
годовой ставке 15%. Какова должна быть величина
вносимых Сидоровым вкладов? Рассмотреть случай, когда
сумма вносится один раз в конце каждого года и проценты
начисляются по той же сложной процентной ставке.
Ответ: 1) 55 217,96 руб.; 2) 57 595,39 руб.
22. За сколько лет можно накопить 150 000 руб., если в
конце каждого квартала на счет вносится 10 000 руб. и на
данные средства начисляются проценты в конце каждого
полугодия по ставке 6% годовых? На сколько нужно
увеличить годовые выплаты, чтобы срок уменьшился на
полгода?
Ответ: 10,8 года; на 2 620,1 руб.
23. За какой срок долг в сумме 400 000 руб. может быть
127
погашен годовыми платежами в 60 000 руб. в конце
каждого года, если на остаток долга начисляется 7,5%
годовых? Если найденное значение округлить до
ближайшего меньшего числа, то каким должен быть
годовой член R по погашению долга, чтобы долг был
погашен полностью?
Ответ: 9,58 года; R= 62 706,86 руб.
24. Господин Петров хочет накопить 500 000 руб. на
счете за 10 лет, вкладывая 1 раз в два года (в конце периода)
средства в банк под 15% годовых. Определите размер
разового платежа.
Ответ: 52 945,97 руб.
25. Господин Петров хочет накопить 500 000 руб. на
счете за 10 лет, вкладывая 1 раз в два года (в конце периода)
средства в банк под 15% годовых с начислением процентов
3 раза в году. Определите размер разового платежа.
Ответ: 51 189, 27 руб.
26. Какой срок необходим для накопления 100 млн. руб.
при условии, что ежемесячно вносится по 12 млн. руб., а на
накопления ежегодно начисляются проценты по ставке
25% годовых?
Ответ: 4,74 года.
27. В течение 6 лет каждые полгода в банк вносится по
10 000 руб. по схеме: 1) постнумерандо; 2) пренумерандо.
Банк начисляет сложные проценты каждые полгода из
расчета 20% годовых. Какая сумма будет на счете в конце
срока?
Ответ: 1) 213,843 тыс. руб; 2) 235,227 тыс. руб.
28. Клиент хочет накопить на своем счете 80 000 руб.,
осуществляя в конце каждого года равные вклады в банк
под сложную процентную ставку 30% годовых. Какой
величины должен быть каждый вклад, чтобы клиент мог
накопить требуемую сумму за: 1) 5 лет; 2) 10 лет?
Ответ: 1) 8,847 тыс. руб.; 2) 1,877 тыс. руб.
128
29. Предприниматель, заключив на 5 лет контракт с
фирмой, будет получать от нее по 30 000 руб. в конце
каждого полугодия. Эти платежи предприниматель будет
помещать в банк на условиях начисления сложных
процентов по годовой номинальной процентной ставке
32%. Определить современную стоимость суммы, которую
получит предприниматель по данному контракту, если
проценты начисляются: 1) раз в полгода; 2) ежеквартально;
3) ежемесячно.
Ответ: 1) 144,996 тыс. руб.; 2) 141,607 тыс. руб.; 3) 139,182
тыс. руб.
30. Начало выплат годовой ренты со сроком 10 лет, с
процентной ставкой 12,25% годовых, рентным платежом
10 000 руб. отложено на два года. Найти современную
величину отсроченной ренты
.
t
Ответ: 44 387,61 руб.
3.2. Финансовая эквивалентность обязательств и
конверсия платежей
На практике постоянно возникают ситуации, когда
необходимо заменить одно долговое обязательство другим,
например, с более отдаленным сроком платежа или с более
ранним сроком платежа при досрочном погашении
задолженности, или объединить несколько платежей в один
(консолидация платежей) с установлением срока его
погашения и т.п.
В результате любых изменений ни один из
участников не должен терпеть убыток, поэтому в ситуациях
такого рода руководствуются принципом финансовой
эквивалентности, устанавливающим неизменность
финансовых отношений участников до и после изменения
финансового соглашения.
На практике при изменении условий выплат
129
денежных сумм принцип финансовой эквивалентности
реализуется путем составления уравнения
эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых
платежей, приведенных к одному моменту времени,
приравнивается сумме платежей по новому соглашению,
приведенных к тому же моменту времени. Приведение
осуществляется путем дисконтирования (приведение к
более ранней дате) или, наоборот, наращением суммы
платежа (если эта дата более поздняя). Таким образом, две
денежные суммы и
, выплачиваемые в разные моменты
времени, считаются эквивалентными, если их современные
(или наращенные) значения, рассчитанные по одной и той
же процентной ставке и на один момент времени,
одинаковые.
Для краткосрочных контрактов процесс приведения,
как правило, осуществляется на основе простых ставок.
При использовании приведенных значений платежей,
осуществленных на основе простых ставок, необходимо
согласовать дату приведения (ее еще называют базовой), на
которую производят приведение. Ведь от изменения
базовой даты в случае простых процентов меняются (когда
в большей степени, а когда в меньшей степени) значения
новых искомых характеристик. В случае использования
сложных процентов расчет приведенных стоимостей можно
осуществлять на любой момент времени. От изменения
момента приведения в случае сложных процентов значения
новых искомых характеристик не меняются.
Для каждой конкретной ситуации получается свое
уравнение эквивалентности, а в некоторых простых случаях
можно обойтись и без него.
При консолидации (объединении) платежей (в
случаях и сложных, и простых процентов) возникают две
задачи: либо определение величины консолидированного
платежа при известном сроке, когда этот платеж должен
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]