Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие
.pdf
3.1.3. Наращенные суммы и современные стоимости
других видов постоянных рент
Рассмотрим кратко методики расчета наращенных
сумм и современных стоимостей для некоторых
разновидностей дискретных постоянных сумм.
1) Ренты пренумерандо и ренты с выплатами в
середине периодов
Ренты пренумерандо
Напомним, что под рентой пренумерандо
понимается рента с платежами в начале периодов.
При расчете характеристик рент с выплатами в
начале и середине периодов используются характеристики
аналогичных рент постнумерандо.
При выплатах в начале периода (рента
пренумерандо) наращенная сумма годовой ренты
определяется выражением
=
=
где и – наращенная сумма годовой ренты пренумерандо
и постнумерандо соответственно.
Таким образом, наращенная сумма годовой ренты
пренумерандо в
раз больше наращенной суммы
111
=
, (3.35)
,
годовой ренты постнумерандо. Это связано с тем, что число
периодов начисления процентов для ренты пренумерандо
больше на единицу. Можно показать, что аналогичная
зависимость существует между современными
стоимостями рент пренумерандо и постнумерандо, т.е.
, (3.36)
где и – современная стоимость годовой ренты
пренумерандо и постнумерандо соответственно.
Аналогичным путем получим для годовой ренты с
начислением процентов раз в году
. (3.37)
Для – срочных рент, у которых = 1 и ≠ ,
получим:
, (3.38)
, (3.39)
где – соответствующие наращенные суммы рент
постнумерандо.
Такая же зависимость наблюдается и между
современными стоимостями и коэффициентами приведения
рент пренумерандо и постнумерандо.
Пример 53. В фонд ежегодно в начале года поступают
средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые
начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить
величину фонда на конец срока и его современную
стоимость.
112
Решение. По условию = 10 000 руб.; 7 лет; = 1;
= 1; = 0,15.
Величина фонда на конец срока определяется по
формуле (3.35):
=
= 10 000 ∙
=
= 127 268,18 руб.
Современная стоимость фонда находится по формуле (3.36):
= 10 000 ∙
=
= 47 844,83 руб.
Ренты с выплатами в середине периодов
Важной для практики является рента с платежами в
середине периодов. Например, в случаях, когда
поступления от производственных инвестиций
распределяются более или менее равномерно, применение
рент пренумерандо или постнумерандо для описания таких
потоков может привести к некоторым смещениям в
значении получаемых показателей. В таких ситуациях для
уменьшения погрешности рекомендуется суммы
поступлений за период относить к середине периодов.
Наращенные суммы и современные стоимости таких рент
находим умножением соответствующих обобщающих
характеристик рент постнумерандо на множитель
наращения за половину периода.
113
Так, для – срочной ренты с начислением процентов
по номинальной процентной ставке с выплатами в середине
периода наращенная сумма определяется по формуле:
=
, (3.40)
- наращенная сумма ренты
где =
постнумерандо с начислением процентов по номинальной
процентной ставке и с неоднократными выплатами в году.
Аналогично находится формула для определения
современной стоимости ренты:
=
, (3.41)
где =
– современная стоимость ренты
постнумерандо с начислением процентов по номинальной
процентной ставке и с неоднократными выплатами в году.
Пример 54. В фонд ежегодно поступают средства по 10 000
руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты
по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в
середине каждого квартала, а проценты начисляются
ежемесячно. Определить величину фонда на конец срока и
его современную стоимость.
Решение. По условию = 10 000 руб.; 7 лет; = 4;
= 12; = 0,15.
114
Величина фонда на конец срока определяется по
формуле:
=
=
=
= 10 000
=
= 10 000∙12, 10876∙
= 123 365,07 руб.
Современная стоимость ренты постнумерандо с
такими же характеристиками находится по формуле:
=
=
=
= 10 000 ∙ 4,264981
= 43 451,99 руб.
=
=
2) Отложенные ренты
Начало выплат у отложенной (отсроченной) ренты
сдвинуто вперед относительно некоторого момента
времени. Например, погашение задолженности
планируется начать спустя обусловленный срок (льготный
период). Очевидно, что сдвиг во времени никак не
отражается на величине наращенной суммы. Другое дело
современная стоимость ренты.
115
При расчете современной стоимости отложенной
ренты вначале находят современную стоимость исходной
(немедленной) ренты, у которой моментом приведения
является начало выплат, а затем приводят полученный
результат к началу отложенной ренты. Для годовой
отложенной на лет ренты современная стоимость t
рассчитывается по формуле
= =∙
t
∙
, (3.42)
где
– коэффициент приведения ренты к
=
началу выплат;
– современная стоимость исходной ренты, у
которой моментом приведения считается начало выплат;
– время задержки в выплате ренты;
.
Пример 55. Спустя три года после образования фонда в
него начинают поступать средства по 10 000 руб. в конце
каждого года в течение последующих семи лет, на которые
начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить
наращенную сумму и современную стоимость фонда.
Решение. По условию = 10 000 руб.; 7 лет; = 1;
= 1; = 0,15; 3 года.
Величина фонда на конец срока определяется по
формуле:
=
= 110 667,99 руб.
Современная стоимость фонда определяется по
формуле (3.42), которую перепишем в виде
116
=∙
t
∙
= ∙
∙
Подставив сюда данные примера, получим
=10 000∙
t
∙
= 27 355,44 руб.
3) Вечная рента
Напомним, что если срок ренты очень большой или
конкретно не оговаривается, т.е. если , то такая рента
называется вечной (perpetuity).
Примером вечной ренты могут служить некоторые
виды облигаций. Или, например, некоторое
благотворительное общество положило в банк
определённую сумму денег и отчисляет ежегодно проценты
от этой суммы в пользу детского дома. Число платежей,
которые получит детский дом, не ограничено. Эти платежи
могут продолжаться как угодно долго, они образуют
«вечную» ренту.
Наращенная сумма вечной ренты, каждый член
которой равен положительному числу , бесконечно велика,
и говорить об её величине не имеет смысла.
Современной стоимостью
вечной ренты
является сумма, которую надо вложить в начальный момент
под сложные проценты по данной ставке, чтобы в
дальнейшем каждый год (или каждый период начисления
процентов) можно было получать с этого вклада сумму .
Современную стоимость вечной ренты можно
определить, как предел современной стоимости конечной
ренты при неограниченном увеличении числа членов
ренты.
Годовая рента с начислением процентов в конце
каждого года по ставке сложных процентов, равной :
117
=
; (3.43)
срочная рента с начислением процентов раз в году:
=
. (3.44)
Если = , то
=
. (3.45)
Пример 56. Определить цену срочной вечной ренты,
выплаты по которой в конце каждого месяца составляют
2 000 руб. при номинальной процентной ставке 12%
годовых и при начислении процентов один раз в году.
Решение. По условию = 2 000 руб.; = 12; = 0,12;
= 1.
Подставив результаты в формулу, получим
=
=
= 210 774,8 руб.
Пример 57. Определить цену годовой вечной ренты,
выплаты по которой в конце каждого года составляют
24 000 руб. при процентной ставке 12% годовых.
Решение. По условию = 24 000 руб.; = 1; = 0,12;
= 1.
Подставив результаты в формулу, получим
=
=
= 200 000 руб.
118
4) Рента с периодом платежей, превышающим год
0 1 -1 +1 2 3 -2 – лет
В анализе производственных инвестиционных
проектов иногда встречаются с рентами, члены которых
выплачиваются с интервалами, превышающими год.
Определим наращенную сумму и современную
стоимость таких рент.
Наращенная сумма ренты с периодом платежей,
превышающим год
Пусть рента, в которой член, равный
выплачивается через каждые лет ( > 1). Сложные
проценты по годовой ставке начисляются ежегодно.
Изобразим эту ренту на оси времени (Рис. 6):
….. ….. …… …... …… ..…
Рис. 6.
Всего за лет сделано
платежей. Найдём
наращенную к моменту сумму S этой ренты.
Последний платёж входит в наращенную сумму без
изменения, т.е. в размере Rr. Предпоследний платёж сделан
за лет до момента , следовательно, в момент
наращенная на него сумма будет равна R
r
второй от
конца платёж сделан за 2 лет от момента , следовательно,
наращенная на него сумма в момент равна Rr
119
,
;
первый платёж сделан за - лет от момента ,
следовательно, наращенная на него сумма в момент равна
R
r
.
Наращенная за лет сумма этой ренты равна
R
+ R
Rr
r
r
.
Слагаемые этой суммы являются членами геометрической
прогрессии с первым членом
и числом членов
полагать, что
– целое число. По формуле суммы первых
R
и знаменателем
r
. Для простоты будем
членов геометрической прогрессии находим:
=
. (3.46)
или =
=
. (3.47)
Аналогичным образом получим формулы для
определения наращенной суммы ренты с периодом больше
года, если проценты начисляются по номинальной ставке
, т.е. раз в году:
=
, (3.48)
или
=
. (3.49)
Пусть рента, в которой член, равный
выплачивается через каждые лет (> 1). Непрерывные
,
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]