Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие
.pdf
, (3.20)
где
(3.21)
=
- коэффициент приведения ренты, табулированная функция.
Пример 47. В фонд ежегодно в течение семи лет в конце
года поступают средства по 10 000 руб., на которые
начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем
выплаты производятся в конце квартала, а проценты
начисляются в конце каждого месяца. Определить
коэффициент приведения ренты и современную стоимость
фонда.
Решение. По условию = 10 000 руб.; 7 лет; 0,15;
= 4; = 12.
Коэффициент приведения находится по формуле (3.21):
=
=
= 4,2649810460.
Современная стоимость определяется соотношением (3.20):
= 10 000∙4,2649810460 = 42 649,81 руб.
D) Непрерывное начисление процентов
Пусть ряд состоит из ежегодных платежей, равных ,
однако проценты начисляются непрерывно, сила роста равна .
При дисконтировании по этой ставке всех членов ряда
101
получим геометрическую прогрессию с первым членом и
знаменателем
. Сумма членов прогрессии будет равна
∙
= ∙
. (3.22)
Если имеет место срочная рента с непрерывным
начислением процентов, то
∙
= ∙
. (3.23)
Пример 48. Годовая рента постнумерандо характеризуется
параметрами: = 4 млн руб, = 5 лет; = 0,185. Определить
современную стоимость ренты.
Решение. Современная стоимость определяется по формуле
(3.22):
∙
= 4 000 000∙
= 11 878 224,84 руб.
3.1.2. Определение параметров постоянной ренты
постнумерандо
Известно, что постоянная рента описывается
набором основных параметров – , , и дополнительными
параметрами , . Однако при разработке контрактов и
условий финансовых операций могут возникнуть случаи,
когда задается одна из двух обобщающих характеристик –
или , и необходимо рассчитать значение недостающего
параметра.
102
Определение размера члена ренты
При определении величины годовой выплаты ренты
используются полученные выше формулы для расчета
наращенной суммы и современной стоимости различных
рент. При этом должны быть заданы все параметры ренты,
кроме годовой выплаты. Для – срочной ренты с
начислением процентов раз в году величина годовой
выплаты определяется по формулам (3.13) и (3.20):
=
, (3.24)
=
, (3.25)
где и – наращенная сумма и современная стоимость
ренты соответственно;
и
– коэффициенты наращения и
приведения ренты соответственно;
– количество выплат в году;
– количество начислений процентов в году;
– номинальная процентная ставка;
– срок ренты, годы.
Таким образом, если ставится задача накопить за
определенный срок некоторую сумму , то прибегают к
формуле (3.24), если же речь идет о погашении
задолженности в сумме , то следует воспользоваться
формулой (3.25).
Аналогичным образом можно определить и для
других условий ренты. Например, если рента годовая,
103
постнумерандо, с ежегодным начислением процентов, то,
обратившись к (3.2) и (3.4), соответственно получим
=
=
, (3.26)
. (3.27)
Пример 49. В фонд ежегодно в конце периода поступают
средства в течение семи лет, на которые начисляются
проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты
производятся в конце квартала, а проценты начисляются:
1) в конце каждого месяца; 2) в конце каждого года.
Наращенная сумма к концу срока составит 100 000 руб.
Определить коэффициент наращения ренты и годовую
выплату.
Решение. По условию = 100 000 руб.; 7 лет; = 4;
0,15; = 12; 2) = 1.
1) = 12;
Коэффициент наращения ренты при поквартальных
выплатах и начислении процентов ежемесячно находится
по формуле (3.14):
=
=
= 12,1087631375.
Годовые выплаты при начислении процентов ежемесячно
=
=
= 8 258,48 руб.
2) = 1;
104
Коэффициент наращения ренты при поквартальных
выплатах и начислении процентов ежегодно находится по
формуле (3.11):
=
=
= 11,6711873311.
Годовые выплаты при начислении процентов раз в году
=
=
= 8 568,11 руб.
Расчет срока ренты
В практической деятельности возникают задачи
определения срока ренты при прочих известных
параметрах. Срок ренты определяется из формул для
наращенной суммы и современной стоимости ренты,
которые были получены раньше. Наиболее общим случаем
постоянной ренты является рента с начислением процентов
по номинальной процентной ставке и с неоднократными
выплатами в году. Для этой ренты наращенная сумма
определяется формулами (3.13) и (3.14). Перепишем эти
формулы, объединив их в одну:
. (3.28)
= ∙
Представим (3.28) в виде
∙
+ 1 =
.
105
Прологарифмировав правую и левую части этого
равенства, получим
=
.
Решив это уравнение относительно , окончательно
получим
. (3.29)
=
При расчете по этой формуле срок получается, как
правило, дробным. Поэтому количество периодов
округляется до целого числа. Затем уточняется значение
разового платежа по формуле, следующей из (3.28):
=
. (3.30)
Пример 50. В фонд в конце периода поступают средства в
течение семи лет, на которые начисляются проценты по
ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в конце
квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Величина
фонда на конец срока составит 100 000 руб., годовая
выплата – 10 000 руб. Определить срок ренты.
Решение. По условию = 100 000 руб.; = 4; = 12;
10 000 руб.; 0,15.
Срок ренты находится по формуле (3.29):
=
=
=
106
=
= 6,197 лет.
Количество кварталов в полученном сроке составит
6,197∙4 = 24,788. Округляем полученное число до 25,
т.е. количество лет ренты принимается равным 6,25.
Подставив это число в формулу (3.30), получим величину
ежеквартальной выплаты:
=
= 100 000∙
= 2 467,56 руб.
Аналогично находят формулу для срока ренты с
начислением процентов по номинальной процентной
ставке и с неоднократными выплатами в году по её
современной стоимости. Эта формула имеет вид
. (3.31)
=
Формула для уточнения значения разового платежа
. (3.32)
=
Пример 51. Долг в размере 50 000 руб. погашается равными
частями в конце каждого квартала по 2 500 руб. На взносы
начисляются проценты раз в году по ставке 15% годовых.
Определить время погашения долга.
Решение. По условию = 50 000 руб.; = 4; = 1;
10 000 руб.; 0,15.
107
Срок ренты находится по формуле (3.31), которая для
условий примера принимает вид
=
=
= 8,886 лет.
=
Количество кварталов в полученном сроке составит
8,886∙4 = 35,5. Округляем полученное число до 35, т.е.
количество лет ренты принимается равным 8,75. Подставив
это число в формулу (3.32), уточним величину
ежеквартальной выплаты:
=
= 50 000∙
= 2 519,60 руб.
Для годовой ренты постнумерандо с ежегодным
начислением процентов срок ренты при известной
наращенной сумме и современной стоимости ренты
находим соответственно по формулам:
=
, (3.33)
=
. (3.34)
Для других типов рент срок находится аналогичным
образом.
Замечание.1. Расчетные значения срока будут, как правило,
дробные. В этих случаях для годовой ренты в качестве
108
часто удобно принять ближайшее целое число лет. У
срочной ренты результат округляется до ближайшего
целого числа периодов . Например, пусть для
квартальной ренты получено = 6,28 лет, откуда = 25,12
кварталов. Округляем до 25, в этом случае = 6,25 лет.
2. Если округление расчетного срока производится до
меньшего целого числа, то наращенная сумма или
современная стоимость ренты с таким сроком оказывается
меньше заданных параметров. Возникает необходимость в
соответствующей компенсации. Например, если речь идет о
погашении задолженности путем выплаты постоянной
ренты, то компенсация может быть осуществлена
соответствующим платежом в начале или конце срока, или
с помощью повышения суммы члена ренты.
Пример 52. Какой необходим срок для накопления 100 000
руб. при условии, что ежемесячно вносится 1 000 руб., а на
накопления начисляются проценты по ставке 25% годовых?
Решение. По условию = 12 000 руб; = 100 000 руб.;
= 0,25; = 12.
Срок ренты при условии = 1 находится по формуле (3.29):
=
=
=
= 4,736 года.
Если срок округляется до 5 лет, то необходимо несколько
уменьшить размер члена ренты, т.е. найти член ренты для
= 5. В этом случае взнос должен составить 914,79 руб. по
формуле (3.26).
109
Определение размера процентной ставки
Важной проблемой при анализе потоков платежей
является задача расчета процентной ставки ренты. Если
известны все параметры ренты, кроме процентной ставки,
то расчет процентной ставки можно трактовать как
определение эффективности (доходности) финансовой
операции. Процентная ставка определяется из соотношений
для расчета наращенной суммы и современной стоимости
по формулам, полученным выше, для различных типов рент.
В отличие от определения годовой выплаты ренты или её
срока, выражение для расчета процентной ставки, как
правило, нельзя представить в виде формулы. В
простейшем случае задача ставится следующим образом:
решить уравнения
или
относительно .
Очевидно, что алгебраического решения нет. Для
получения искомой оценки раньше прибегали к линейной
интерполяции или какому-либо итерационному методу. В
современных условиях для определения ставки по
заданным параметрам постоянной ренты удобно
воспользоваться пакетом Excel – функция СТАВКА. Однако
эта программа не позволяет определить ставку для
переменных и непрерывных рент, в связи с чем для решения
задачи следует прибегнуть к методу Ньютона-Рафсона или
методу секущей. Что касается общего потока платежей, то в
пакете Excel имеется программа (функция ВСД) расчета
ставки для произвольного потока с равными интервалами
постнумерандо.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]