Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие
.pdf
Часто эту формулу записывают в виде
, (3.4)
где
(3.5)
=
– коэффициент приведения ренты, табулированная
функция.
Пример 38. В фонд ежегодно в течение семи лет в конце
года поступают средства по 10 000 руб., на которые
начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить
коэффициент приведения ренты и современную стоимость
фонда.
Решение. По условию = 10 000 руб., 7 лет, 0,15.
Коэффициент приведения находится по формуле (3.5):
=
=
= 4,1604197338.
Современная стоимость определяется соотношением (3.4):
= 10 000∙4,1604197338 = 41 604, 20 руб.
2. Рента с начислением процентов по номинальной
процентной ставке
Наращенная сумма годовой ренты с начислением
процентов раз в году
Для годовой ренты с начислением процентов по
номинальной процентной ставке проценты начисляются
91
, где
– номинальная
раз в году каждый раз по ставке
ставка. Срок ренты равен лет. Количество начислений на
первую выплату равно
, на вторую - , …,
на предпоследнюю – , на последнюю – 0.
Отсюда следует выражение для наращенной суммы
ренты:
Знаменатель данной геометрической прогрессии равен
, количество членов – . Таким образом,
, (3.6)
где
=
(3.7)
– коэффициент наращения ренты, табулированная функция.
Пример 39. Несколько изменим условия примера 2. Пусть
теперь проценты начисляются поквартально, а не раз в году.
Имеем = 0,15/4, = 28. Определить коэффициент
наращения и наращенную сумму.
Решение. Коэффициент наращения находится по формуле
(3.7):
=
= 11,3663935104.
Наращенная сумма находится по формуле (3.6):
= 10 000 ∙ 11,3663935104 = 113 663,94 руб.
92
Современная стоимость годовой ренты с начислением
процентов раз в году
Для определения современной стоимости ренты
вычислим дисконтные множители каждого платежа.
Дисконтный множитель для первой выплаты равен
для второй -
, для последней -
. Отсюда
следует выражение для современной стоимости ренты
+
+ … +
.
Знаменатель геометрической прогрессии равен
количество членов – . Таким образом,
=
.
Иначе записывают эту формулу в виде
=
, (3.8)
где
=
(3.9)
- коэффициент приведения ренты, табулированная функция.
Пример 40. Несколько изменим условия примера 3. Пусть
теперь проценты начисляются поквартально, а не раз в году.
Определить коэффициент приведения ренты и
современную стоимость фонда.
93
,
,
Решение. Имеем = 0,15, = 28. Тогда коэффициент
приведения находится по формуле (3.9):
=
=
= 4,0546720813.
Современная стоимость ренты находится по формуле (3.8):
= 10 000∙4,0546720813 = 40 546,72 руб.
3. Ренты с неоднократными выплатами в году
( срочная рента)
Напомним, если выплаты производятся раз в году,
то такая рента называется срочной или рентой с
неоднократными выплатами в году.
Рассмотрим методы расчета наращенной суммы и
современной стоимости ренты постнумерандо при условии,
что = 1, = и ≠ .
Наращенная сумма срочной ренты
А) = 1
Пусть рента выплачивается раз в году равными
суммами, процент начисляется раз в конце года. Если
годовая сумма платежей равна , то каждый раз выплачивается
. Общее число членов ренты равно . Последовательность
членов ренты с начисленными процентами представляет
собой геометрическую прогрессию с первым членом
и знаменателем =
. Сумма членов этой прогрессии
94
=
=
, (3.10)
где
=
(3.11)
- коэффициент наращения ренты, табулированная функция.
Пример 41. В фонд ежегодно в течение семи лет в конце
года поступают средства по 10 000 руб., на которые
начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем
выплаты производятся в конце квартала. Определить
коэффициент наращения и величину фонда на конец срока.
Решение. По условию = 10 000 руб.; 7 лет; 0,15;
= 4; = 1.
Коэффициент наращения находится по формуле (3.11):
=
=
= 11,6711873311.
Наращенная сумма находится по формуле (3.10):
= 10 000 ∙ 11,6711873311 = 116 711,87 руб.
В) =
На практике наиболее часто встречаются случаи,
когда число выплат в году равно числу начисленных
процентов: . Для получения необходимой формулы
воспользуемся (4.1), в которой заменено на
95
, а вместо
числа лет берется число периодов выплат ренты , член
ренты равен
. Поскольку , то в итоге получим
= ∙
(3.12)
Пример 42. В фонд ежегодно в течение семи лет в конце
года поступают средства по 10 000 руб., на которые
начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем
проценты начисляются и выплаты производятся в конце
каждого месяца. Определить величину фонда на конец
срока.
Решение. По условию = 10 000 руб.; 7 лет;;
= = 12.
Наращенная сумма определяется по формуле (3.12):
= ∙
= 10 000 ∙
= 122 607,53 руб.
С) ≠
Определим наращенную сумму для наиболее общего
случая - срочная рента с начислением процентов раз в
году. Общее количество членов ренты равно , величина
члена ренты равна
. Члены ренты с начисленными
процентами образуют ряд, соответствующий
геометрической прогрессии с первым членом
знаменателем =
. Сумма членов этой прогрессии
и
96
=
=
, (3.13)
где
(3.14)
=
- коэффициент наращения ренты, табулированная функция.
Пример 43. В фонд ежегодно в течение семи лет в конце
года поступают средства по 10 000 руб., на которые
начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем
выплаты производятся в конце квартала, а проценты
начисляются ежемесячно. Определить коэффициент
наращения и величину фонда на конец срока.
Решение. По условию = 10 000 руб.; 7 лет; 0,15;
= 4; = 12.
Коэффициент наращения находится по формуле (3.14):
=
=
= 12,1087631375.
Наращенная сумма определяется по формуле (3.13):
=10 000∙12,1087631375= 121 087,63 руб.
4. Непрерывное начисление процентов
Обсуждение методов определения наращенных сумм
дискретных рент будет неполным, если не охватить ренты с
непрерывным начислением процентов. Перепишем в
обратном порядке ряд платежей с начисленными
97
непрерывными процентами. Пусть это будут ежегодные
платежи постнумерандо. Получим
, , , …,
Сумма членов прогрессии равна
=
где – основание натуральных логарифмов, сила роста.
Аналогично для срочной ренты находим
.
, (3.15)
=
(3.16)
Пример 44. Для обеспечения некоторых будущих расходов
создается фонд. Средства в фонд поступают в виде
постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет.
Размер разового платежа 4 млн руб. На поступившие взносы
начисляются непрерывные проценты с силой роста 18,5%.
Определить величину фонда на конец срока. А если
происходит ежеквартальная выплата членов ренты?
Решение. По условию = 4 млн руб.; 5 лет; = 0,185;
= 4.
Наращенная сумма при ежегодной выплате членов ренты
находится по формуле (3.15):
= 29 955 318,22 руб.
= 4
Наращенная сумма при ежеквартальной выплате членов
ренты находится по формуле (3.16):
= 4
= 32 150 190,88 руб.
98
Современная стоимость срочной ренты
Как и в предыдущем случае, рассмотрим различные
варианты начисления процентов в году.
А) = 1
Если платежи производятся не один раз, а раз в году,
то коэффициенты приведения находятся также, как это было
сделано для годовой ренты. Только теперь размер платежа равен
, а число членов составит . Сумма дисконтированных
платежей в этом случае равна
=
=
, (3.17)
где
=
. (3.18)
- коэффициент приведения ренты, табулированная функция.
Пример 45. В фонд ежегодно в течение семи лет в конце
года поступают средства по 10 000 руб., на которые
начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем
выплаты производятся в конце квартала. Определить
коэффициент приведения ренты и современную стоимость
фонда.
Решение. По условию = 10 000 руб.; 7 лет; 0,15;
= 4; = 1.
Коэффициент приведения находится по формуле (3.18):
=
=
99
= 4,3876316176.
Современная стоимость определяется соотношением (3.17):
= 10 000 ∙ 4,3876316176 = 43 876,32 руб.
В) =
Число членов ренты здесь равно числу начислений
процентов; величина ренты составляет
. В итоге
=
(3.19)
Пример 46. В фонд ежегодно в течение семи лет в конце
года поступают средства по 10 000 руб., на которые
начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем
выплаты производятся и проценты начисляются в конце
каждого квартала. Определить современную стоимость
фонда.
Решение. По условию = 10 000 руб.; 7 лет; 0,15;
= = 4.
Современная стоимость определяется соотношением (3.19):
= 10 000
= 42 885,03 руб.
С) ≠
Рассуждая аналогичным образом и используя
формулу суммы членов геометрической прогрессии, мы
получим формулу для определения коэффициента
приведения и нахождения современной стоимости –
срочной ренты постнумерандо:
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]