Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие
.pdf
Пусть сила роста изменяется во времени, следуя
некоторому закону, представленному в виде непрерывной
функции времени:
= ().
Тогда наращенная сумма и современная величина
определяются как
= ∙
, = ∙
.
Функция времени может быть различного вида:
а) линейная;
б) экспоненциальная (изменяется по геометрической
прогрессии).
Рассмотрим два её варианта.
а) Линейная функция. Пусть
= + ,
где– начальное значение силы роста (для = 0),
– прирост (или снижение) силы роста в единицу времени;
может быть положительной или отрицательной величиной.
Найдем степень множителя наращения. Вычислим
интеграл
=
+
= +
.
Таким образом, множитель наращения находится
как
=
, (2.56)
а наращенная сумма определяется по формуле
+
. (2.57)
71
Пример 32. Начальное значение силы роста равно 8%,
процентная ставка непрерывно и линейно изменяется, срок
наращения 5 лет. Найти множитель наращения, если
прирост за год составляет 2%:
1) увеличивается ( = 0,02); 2) уменьшается ( = - 0,02).
Дано: = 0,08; = 5 лет; 1) = 0,02; 2) = - 0,02.
Найти: .
+
Решение. Используя формулу =
, получим
1) = 0,02
=
= 1,91554;
=
+
2) = - 0,02
=
+
=
= 1,16183.
2. Экспоненциальная функция (изменяется по
геометрической прогрессии). Пусть
=
где – начальное значение силы роста, – постоянный
темп роста (знаменатель геометрической прогрессии).
Тогда степень множителя равна
=
=
а сам множитель наращения находится так:
=
(2.58)
Тогда наращенная сумма определяется по формуле
72
. (2.59)
Пример 33. Пусть начальное значение силы роста равно
8%, процентная ставка непрерывно и экспоненциально
увеличивается (годовой прирост за год составляет 20%,
= 1,2). Срок наращения 5 лет. Найти множитель
наращения.
Дано: = 1,2
Решение. Находим множитель наращения по формуле
=
=
=
1,92139.
Срок ссуды и размер силы роста
1. Срок ссуды при постоянной силе роста найдем из
формулы
=
:
. (2.60)
2. Срок ссуды при наращении с изменяющейся силой роста
(с постоянным темпом роста ) получим из формулы
=
:
(2.61)
3. При наращении с постоянной силой роста размер
силы роста
=
. (2.62)
4. При наращении с изменяющейся силой роста (с
постоянным темпом роста ) размер силы роста
73
=
. (2.63)
2.4. Эквивалентность процентных ставок
При заключении финансовых контрактов каждый из
участников сделки стремится заключить договор на
наиболее выгодных для себя условиях. При этом различные
контракты могут предусматривать различные виды
начисления процентов и для сравнения таких контрактов
используется разработанный метод поиска эквивалентных
процентных ставок и поиска эффективной процентной
ставки.
Две ставки называются эквивалентными, если при
замене одной ставки на другую финансовые отношения
сторон не меняются. Таким образом, участникам
финансового соглашения безразлично, какая ставка будет
фигурировать в контракте.
Проблема эквивалентности ставок уже затрагивалась
ранее при определении эффективной ставки процента:
сложная годовая ставка эквивалентна ставке при
начислении процентов раз в году, а также при
определении эффективной учетной ставки процента.
В принципе соотношение эквивалентности можно
найти для любой пары различного вида ставок – простых и
сложных, дискретных и непрерывных.
Формулы, связывающие эквивалентные простые и
сложные ставки, зависят от продолжительности периода
начисления. Формулы, связывающие эквивалентные
сложные ставки, не зависят от продолжительности периода
начисления.
Переход от дискретных ставок к соответствующим
эквивалентным непрерывным ставкам позволяет упростить
анализ многих сложных финансовых задач. Осуществив
74
необходимые математические выкладки, полученные
результаты можно представить опять в любых удобных
эквивалентных дискретных ставках, являющихся более
привычными.
Формулы эквивалентности ставок во всех случаях
получим исходя из равенства взятых попарно множителей
наращения. Например, определим соотношение
эквивалентности между простой и сложной ставками. Для
этого приравняем друг к другу соответствующие
множители наращения:
=
,
где и
– ставки простых и сложных процентов. Из
данного равенства определяем искомые величины.
Таким образом получим формулы связи для
различных процентных ставок.
1. Эквивалентность простой ставки и сложной ставки
1)
, 2)
2. Эквивалентность ставок и
:
.
1)
, 2)
.
3. Эквивалентность ставок и :
1)
, 2)
4. Эквивалентность и
:
.
75
:
1)
5. Эквивалентность и
:
, 2)
.
.
:
:
; 2)
:
=
1.
; 2) = 1).
.
1)
6. Эквивалентность и
1)
7. Эквивалентность и
1)
=
8. Эквивалентность и
1)
=
9. Эквивалентность и ( – срок в годах):
=
; 2)
1)
10. Эквивалентность и
=
; 2)
=
1)
Нет необходимости выводить и запоминать весь
набор возможных соотношений между эквивалентными
ставками. Проще каждый раз записывать соответствующее
уравнение эквивалентности и из него получать требуемые
соотношения.
=
:
.
.
76
Пример 34. Какая непрерывная ставка заменит
поквартальное начисление процентов по номинальной
ставке 20%?
Дано:
= 0,2.
Найти: .
Решение. Используя формулу
искомое значение
0,19516 или 19,52%.
, получим
Пример 35. Определить значение простой учетной ставки,
эквивалентной ставке простых процентов, равной 12%
годовых, при сроке ссуды = 1 год.
Дано: = 1 г.;
Найти:
.
Решение. Используя формулу
величину =
= 0,12.
=
, находим искомую
0,10714 или 10,71%.
Задачи для самостоятельного решения
1. Сберегательный банк начисляет ежегодно 19%
сложных. Клиент положил в этот банк 10 000 руб. Какая
сумма будет на счете: 1) через 5 лет; 2) через 6 лет и три
месяца?
Ответ: 1) 23 863,54 руб.; 2) 29 659,82 руб.
2. В банк, начисляющий 8% годовых (сложных),
клиент положил 50000 руб. Какая сумма будет на счете
этого клиента: 1) через 3 года, 2) через 5 лет 6 месяцев?
Ответ: 1) 62 985,60 руб.; 2) 76 348,53 руб.
3. Вкладчик может вложить деньги в банк,
выплачивающий проценты по ставке
= 10%. Какую
сумму он должен вложить, чтобы получить 50 000 руб.
через 4 года 3 месяца?
77
Ответ: 32 915,80 руб.
4. Вкладчик хочет вложить 20 000 руб., чтобы через 5
лет получить 40 000 руб. Под какую процентную ставку
он должен вложить свои деньги?
Ответ: 0,14024.
5. Клиент вложил в банк 30 000 руб. Какая сумма будет
на счету этого клиента через 2 года, если банк начисляет
проценты по ставке: 1) = 8%; 2) = 8%; 3)
4)
= 8%; 5) = 8%?
= 8%;
Ответ: 1) 34 992,00 руб.; 2) 35 168,12 руб.; 3) 35 186,64 руб.;
4) 35 204,70 руб.; 5) 35 205,33 руб.
6. В банке получена ссуда в размере 200 000 руб. на 5
лет на следующих условиях: для первых трех лет
процентная ставка равна 30% годовых, на следующий год
устанавливается надбавка в размере 1%, и на последующие
годы надбавка равна 1,5%. Найдите сумму, которая должна
быть возвращена банку по окончании срока ссуды при
ежегодных начислениях сложных процентов.
Ответ: 762 688,55 руб.
7. Администрация получила кредит на сумму 6 млн.
руб. сроком на 5 лет, процентная ставка для 1-го года –
10,5%; 2-го года предусмотрена надбавка в размере 1,5%;
для 3-го и последующих – в размере 0,75%. Определить
сумму долга, подлежащую возвращению.
Ответ: 10 643 420,06 руб.
8. Определить время, необходимое для увеличения
первоначального капитала в 3 раза, используя простую и
сложную процентную ставку равную 10% годовых.
Ответ: 1) 20 лет; 2) 12 лет.
9. Депозит в размере 500 000 руб. внесен в банк на 3
года под 10% сложных годовых. Определить наращенную
сумму при начислении процентов: 1) ежегодном; 2)
полугодовом; 3) квартальном; 4) ежемесячном; 5)
ежедневном (= 365).
78
Ответ: 1) 665 500,00 руб.; 2) 670 047,82 руб.; 3) 672 444,41
руб.; 4) 674 090,92 руб.; 5) 674 901,67.
10. 1) Определить эффективную ставку при
применении сложных процентов, с тем, чтобы
получить такую же наращенную сумму, как и при
использовании номинальной ставки 18% при
ежеквартальном начислении. Проверить полученные
результаты при = 2 года и = 400 000 руб.;
2) определить, какой должна быть номинальная ставка
при ежеквартальном начислении процентов, чтобы
обеспечить эффективную ставку 12% годовых.
Ответ: 1) 19,25%; 2) 11,49%.
11. Некоторая сумма инвестируется под процентную
ставку 30% годовых. Определите время, необходимое для
увеличения первоначальной суммы при начислении в конце
года сложных и простых процентов: 1) в 4 раза; 2) в 2 раза
Ответ: 1) 10 лет; 5,284 г.; 2) 3,333 г.; 2,642 г.
12. На сумму 600 000 руб. ежеквартально по ставке 12%
годовых начисляются сложные проценты 14 месяцев.
Определить величину наращенной суммы двумя методами.
Ответ: 1) общий метод: 688 744,75 руб.; 2) смешанный
метод: 688 811,39 руб.
13. Какая сумма будет на счету клиента при условии
5% через 8 лет?
Ответ: 149 182,47 руб.
14. Какую сумму надо положить в банк,
выплачивающий непрерывные проценты по ставке = 7%,
чтобы через 10 лет на счету было 50 000 руб.?
Ответ: 24 829,27 руб.
15. Банк начислял на вложенные в него деньги проценты
непрерывно по ставке в 1990 г. — 12%, в 1991 г. — 18%, в
1992 и 1993 гг. — 24%. Какая сумма будет на счету 31
декабря 1993 года, если 1 января 1990 года на этот счёт было
положено 30 000 руб.?
79
Ответ: 65 444,17 руб.
16. Банк выдаёт ссуду на 10 лет или под 7% годовых
(сложных), или под простые проценты. Какую ставку
простых процентов должен установить банк, чтобы
полученный им доход не изменился?
Ответ: 0,09672.
17. Банк выплачивает на вложенные в него деньги 8%
годовых (сложных). Какую ставку
должен установить
банк, чтобы доходы клиентов не изменились, если:
1) = 2; 2) = 6; 3) = 12; 4) = ∞?
Ответ: 1) 0,07846; 2) 0,07746; 3) 0,07721; 4) 0,07696.
18. Банк учитывает вексель за 60 дней до срока его
оплаты по простой учётной ставке = 6%. Какую сложную
учётную ставку должен установить банк, чтобы доход банка
не изменился?
Ответ: 0,05852.
19. Банк учитывает вексель по учётной ставке = 8% и
желает перейти к сложной учётной ставке Какой
величины должна быть ставка
, чтобы доход банка не
изменился?
Ответ: 0,0779.
20. Банк учитывает вексель по сложной учётной ставке
= 8%. Какова реальная доходность этой операции?
Ответ: 0,08417.
Раздел 3. Потоки платежей.
Получение и погашение долгосрочного кредита,
погашение различных видов задолженности, денежные
показатели инвестиционного процесса предусматривают не
отдельные разовые платежи, а множество распределенных
во времени выплат и поступлений, называемых потоком
платежей. Отдельный элемент такого ряда платежей
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]