Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие
.pdf
Сравнение роста по сложным и
простым процентам
Сравним множители наращения по простым и
сложным процентным ставкам:
1 + – множитель наращения по простым процентам;
– множитель наращения по сложным процентам.
При = 1 множители наращения равны.
При < 1 множитель наращения по простым процентам
больше множителя наращения по сложным процентам.
При > 1 множитель наращения по сложным процентам
больше множителя наращения по простым процентам.
Отметим также, что при > 1 с увеличением срока различие
в последствиях применения простых и сложных процентов
усиливается. Графическую иллюстрацию соотношения
множителей наращения см. на Рис. 3.
Рис. 3.
Наиболее наглядно влияние вида ставки можно
охарактеризовать, сопоставляя числа лет, необходимые для
удвоения первоначальной суммы.
51
Формулы удвоения первоначальной суммы
Из формул и
получим
следующие формулы удвоения:
- удвоение по простым процентам:
=
- удвоение по сложным процентам:
=
В общем случае, формулы увеличения
первоначальной суммы в раз имеют вид:
- увеличение в раз по простым процентам:
=
- увеличение в раз по сложным процентам:
=
Пример 21. Найти сроки удвоения для простых и сложных
процентов, если
Решение. 1) Используя формулу удвоения по простым
=
= 22,5%.
процентам, получим
=
=
, (2.26)
. (2.27)
, (2.28)
. (2.29)
4,44 г.
52
2) Используя формулу удвоения по сложным процентам,
получим
=
3,04 г.
Наращение процентов в году. Номинальная и
эффективная ставки.
Номинальная процентная ставка
В современных условиях проценты
капитализируются, как правило, несколько раз в году – по
полугодиям, кварталам и так далее.
При начислении процентов несколько раз в году
можно воспользоваться формулой (2.24), т.е.
=
в которой параметр будет означать число периодов
начисления, а под ставкой следует понимать ставку за
соответствующий период.
Например, при поквартальном начислении
процентов за 5 лет общее число периодов начисления
составит 5 4 = 20. Множитель наращения по квартальной
(сложной) ставке 6% в этом случае равен:
=
= 3,20713547221.
На практике, как правило, в контрактах обычно
фиксируется не ставка за период начисления, а годовая
ставка, и одновременно указывается период начисления
процентов. Например, «12% годовых с поквартальным
начислением» процентов.
,
53
Пусть годовая ставка равна , число периодов
начисления в году – . Каждый раз проценты начисляются
по ставке
обозначают
. Ставку называют номинальной. Иногда ее
.
Выведем формулу наращения:
,
,
.
=
=
=
Таким образом, за лет наращенная сумма равна
. (2.30)
Формулу (2.30) называют формулой наращения по
номинальной ставке.
Замечание. Очевидно, что чем чаще начисляются проценты,
тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс).
Пример 22. Какой величины достигнет долг, равный 15 000
руб., через 5,7 года при росте по сложной ставке 16,5%
годовых, если начисление процентов ежемесячное.
Дано:
Найти: .
Решение. Используя формулу (2.30), находим наращенную
сумму
54
Эффективная процентная ставка
Эффективная (или действительная, или реальная)
ставка измеряет тот реальный относительный доход,
который получают в целом за год. Иначе говоря,
эффективная ставка - это годовая ставка сложных
процентов, которая дает тот же результат, что и разовое
начисление процентов по ставке
Пусть
- эффективная ставка. По определению
.
множители наращения по двум ставкам (эффективной и
номинальной при разовом начислении процентов)
равны друг другу:
=
Откуда получим формулу связи между эффективной
и номинальной процентными ставками:
=
− 1. (2.31)
Эффективная ставка при ˃ 1 больше номинальной.
Например, в рекламе банка утверждается, что
предоставляется кредит всего под 1,25% в месяц. Но
фактически это более 16 % годовых:
=
− 1 = 0,16075 или
= 16,08 %.
55
Пример 23. Банк начисляет сложные проценты по ставке
10% годовых с ежемесячным начислением процентов.
Найти эффективную ставку.
Дано: = 0,1; = 12.
Найти:
.
Решение. Используем формулу (2.31):
=
– 1 =
– 1 0,1047 или 10,47%.
Замена в договоре номинальной ставки
разовом начислении процентов на эффективную ставку
при m-
не изменяет финансовых обязательств сторон. Обе ставки
эквивалентны в финансовом отношении. Отсюда следует,
что разные по величине номинальные ставки оказываются
эквивалентными, если соответствующие им эффективные
ставки имеют одну величину.
Для сокращения дальнейшей записи используем
символ
, означающий размер номинальной ставки и
количество начислений за год. Эквивалентная замена
номинальной ставки имеет место только в том случае, когда
удовлетворяется равенство:
=
Поскольку может иметь только целые значения,
то удобнее определять значение новой ставки, задаваясь
величиной
:
= (
− 1). (2.32)
56
Определить номинальную ставку
заменит ставку
= 25%.
, которая безубыточно
Решение. Используем формулу (2.32):
= 12∙(
− 1) 0,25524.
Таким образом, сокращение количества начислений
потребует увеличения ставки с 25 до 25,524%.
При подготовке контрактов иногда необходимо найти
по заданным значениям и
. Из формулы (2.31) получим
= (
− 1). (2.33)
Начисление процентов при дробном числе лет
Часто срок в годах для начисления процентов не
является целым числом. В правилах ряда коммерческих
банков для некоторых операций проценты начисляются
только за целое число лет или других периодов начисления.
Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же
случаев учитывается полный срок. При этом применяют два
метода – общий и смешанный. Согласно общему методу
расчет ведется по непосредственно по формуле (2.24):
=
.
Второй, смешанный, метод предполагает начисление
процентов за целое число лет по формуле сложных
процентов и за дробную часть срока по формуле простых
процентов:
1+, (2.34)
57
где – срок ссуды, – целое число лет, – дробная
часть года.
Аналогичный метод применяется и в случаях, когда
периодом начисления является полугодие, квартал, месяц.
При выборе метода расчета следует иметь в виду, что
множитель наращения по смешанному методу оказывается
больше, чем по общему, так как для ˂ 1 справедливо
соотношение 1 +
наблюдается при =
.
. Наибольшая разница
Пример 24. Определить двумя методами, какой величины
достигнет долг, равный 8 000 руб., через 4,6 года при росте
по сложной процентной ставке 20% годовых.
Дано: лет.
Решение.
1) Общий метод:
2) Смешанный метод:
2.2.2. Дисконтирование по сложной процентной ставке.
Наращение по сложной учетной ставке
Как и в случае простых процентов, для сложных
процентов рассматриваются два вида дисконтирования:
математическое дисконтирование и банковский (или
коммерческий) учет.
1) Математическое дисконтирование
Применим математическое дисконтирование и
определим первоначальную сумму по значению суммы
58
при заданной сложной ставке процентов. Выразив из
формулы =
величину , получим формулу
математического дисконтирования:
. (2.35)
Множитель
называется дисконтным или
учётным, или дисконтирующим множителем.
Разность , в случае, когда определено
дисконтированием, называют дисконтом с суммы
Для случаев, когда проценты начисляются раз в
году, получим
, (2.36)
– дисконтный множитель.
где
=
Величину Р, полученную дисконтированием S,
называют современной (текущей) стоимостью или
современной величиной . Современная стоимость может
быть рассчитана на любой момент до выплаты суммы .
Пример 25. Через 159 дней должник должен уплатить 8 500
руб. Кредит выдан под сложные проценты 19% годовых.
Какова первоначальная сумма долга и дисконт при условии,
что временная база равна 360 дней?
Дано:
Найти: .
59
Решение. Используя формулу
, находим
2) Банковский (коммерческий) учет по сложной
процентной ставке
При использовании сложной учетной ставки процесс
дисконтирования происходит с замедлением, так как
каждый раз учетная ставка применяется не к
первоначальной сумме, как при простой учетной ставке, а к
сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге
времени. Дисконтирование по сложной учетной ставке
осуществляется по формуле:
, (2.37)
где – сложная учетная ставка.
Пример 26. Вексель на сумму 20 000 руб., срок платежа по
которому наступает через 1,8 года, учтен по сложной ставке
18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем
векселя при учете, и дисконт при ежегодном
дисконтировании.
Дано: = 20 000 руб.; = 0,18; = 1,8 г.
Найти: .
Решение. Используя формулу
, находим
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]