Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие
.pdf
Если применить простую учетную ставку того же
размера, то получим
(1) = 20 000 ∙ (1 ) = 13 520,00 руб.
Очевидно, что дисконтирование по сложной учетной
ставке выгоднее для должника, чем дисконтирование по
простой учетной ставке.
Номинальная и эффективная учетные ставки
Дисконтирование может производиться не один раз,
а раз в году, то есть каждый раз учёт производится по
ставке
. В этом случае
, (2.38)
где
– номинальная годовая учетная ставка.
Эффективная учетная ставка
характеризует
степень дисконтирования за год. Определим ее на основе
равенства дисконтных множителей:
=
,
откуда
= 1
. (2.39)
В свою очередь из последнего равенства получим:
= (1
). (2.40)
61
где – номинальная годовая учетная ставка.
Пример 27. Вексель на сумму 20 000 руб., срок платежа по
которому наступает через 1,8 года, учтен по сложной ставке
18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем
векселя при учете, и дисконт при ежемесячном
дисконтировании.
Дано: = 20 000 руб.; = 0,18; = 1,8 г.; = 12.
Найти: .
Решение. Используя формулу
, находим
Наращение по сложной учетной ставке
Формулу для наращенной суммы получают из
формулы дисконтирования, т.е. из формулы
Наращенную сумму находят, используя равенство:
=
=
, (2.41)
где – сложная годовая учетная ставка,
– множитель наращения.
Кроме того, наращенную сумму находят
=
=
, (2.42).
где
– номинальная годовая учетная ставка,
.
62
- множитель наращения.
2.2.3. Определение срока ссуды и величины
процентной ставки
Срок ссуды
Выведем формулы расчета срока ссуды для
различных условий наращения процентов и
дисконтирования.
1) =
– наращение по сложной годовой ставке :
=
;
= ∙
;
(2.43)
2)
–наращение по номинальной ставке
= ∙
=
;
;
. (2.44)
63
:
3)
– дисконтирование по сложной годовой
учетной ставке:
=
;
= ∙
;
. (2.45)
4)
учетной ставке
- дисконтирование по номинальной
:
=
;
= ∙
;
. (2.46)
Величина процентной ставки
Приведем формулы для расчета ставок ,, ,
для различных условий наращения процентов и
дисконтирования. Они получены аналогичным способом
при решении уравнений, связывающих и .
1) При наращении по сложной годовой ставке
процентов получим
(2.47)
64
2) При наращении по номинальной ставке процентов
получим
=
. (2.48)
3) При дисконтировании по сложной учетной ставке
получим
= 1
(2.49)
4) При дисконтировании по номинальной учетной
ставке
получим
(2.50)
Пример 28. Финансовый инструмент куплен за 25 000 руб.,
его выкупная цена через 1,8 года составит 35 000 руб.
Определить доходность операции в виде годовых сложных
процентов.
Решение. Используя формулу (2.47), находим
или 21%.
Средняя процентная ставка
Если усредняются сложные переменные во времени
ставки сложных процентов, то из равенства множителей
наращения
=
∙
∙∙∙
получим
65
=
∙
∙∙∙
(2.51)
где …+ =
Пример 29. В банке получена ссуда в размере 40 000 руб.
на 8 лет на следующих условиях: для первых трех лет
процентная ставка равна 28% годовых, на следующий год
устанавливается надбавка в размере 1%, и на последующие
годы надбавка равна 1,5%. Найдите сумму, которая должна
быть возвращена банку по окончании срока ссуды при
ежегодных начислениях сложных процентов. Найдите
среднюю процентную ставку, которая дала бы тот же
финансовый результат.
Решение.
= 4 г., = 0,305; = 40 000 руб.
Найти: ,
= 3 г., = 0,28; = 1 г.,
.
= 0,29;
1. Найдем наращенную сумму:
=
∙
∙∙∙
=
= 40 000
∙
∙∙∙
=
= 313 849,66 руб.
2. Найдем среднюю процентную ставку за 8 лет по
формуле (2.51):
=
0,29369740867.
3. Выполним проверку:
=
= 40 000
66
= 313 849,66 руб.
Расчеты верны.
2.3. Непрерывное наращение и дисконтирование.
Непрерывные проценты
Начисление процентов на первоначальный капитал
или дисконтирование наращенных сумм может
производиться так часто, что этот процесс рассматривается
как непрерывный.
В этом случае используют непрерывные проценты,
суть которых заключается в том, что количество периодов
наращения или дисконтирования стремится к
бесконечности, а временной интервал между периодами – к
нулю.
В финансово-кредитных операциях непрерывные
проценты применяются редко. Непрерывные проценты
используются при обосновании и выборе инвестиционных
проектов, при финансово-экономическом анализе сложных
хозяйственных процессов.
С помощью непрерывных процентов удается учесть
сложные закономерности процесса наращения, например,
использовать изменяющиеся по определенному закону
процентные ставки.
При непрерывном начислении процентов
применяют особый вид процентной ставки - силу роста
(force of interest). Сила роста характеризует относительный
прирост наращенной суммы за бесконечно малый
промежуток времени. Она может быть постоянной или
изменяться во времени.
Постоянная сила роста
67
Известно, что при дискретном начислении
процентов раз в году по номинальной ставке
наращенная сумма находится как
=
Чем больше , тем меньше промежуток времени
между моментами начисления процентов.
Пример 30. Банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент
положил в этот банк 10 000 руб. Какая сумма будет на его
счете через 5 лет? Решить ту же задачу при
= 8% и
= 8%.
Дано: = 10 000 руб.; = 5 л.; 1) 0,08; 2)
= 0,08;
3) = 0,08.
Найти: .
Решение. 1) 0,08
=
= 10 000 ∙
= 14 693,28 руб.;
(Заметим, что если бы банк выплачивал 8% простых, то
через 5 лет на счете была бы cумма:
= (1 +) = 10 000 ∙ (1 + 0,08∙5) = 14 000 руб.)
2)
= 0,08
=
= 10 000∙
= 14 859,47 руб.;
3) = 0,08
=
68
14 898,47 руб.
Мы видим, что при увеличении числа периодов
начисления процентов при той же годовой процентной
ставке наращенная сумма, полученная за одно и то же
время, увеличивается.
Покажем, что при неограниченном увеличении m
наращенная сумма стремится к конечному пределу:
,
где – основание натуральных логарифмов. Мы
использовали второй замечательный предел
.
Для того чтобы отличать непрерывную ставку от
дискретной, ее обозначают буквой .
Таким образом, получаем формулу для нахождения
наращенной суммы при непрерывном начислении
процентов:
, (2.52)
где – непрерывная годовая процентная ставка.
Из формулы непрерывного начисления процентов
выведем формулы для нахождения срока ссуды и силы
роста:
69
=
=
;
=
=
;
;
= ;
, (2.53)
. (2.54)
Пример 31. Банк начисляет непрерывные проценты по
ставке = 8%. Клиент положил в этот банк 10 000 руб.
Какая сумма будет на его счете через 5 лет?
Дано: = 10 000 руб., = 5 л., = 0,08.
Найти: .
Решение. Находим наращенную сумму по формуле (2.52):
= 10 000
= 10 000
= 14 918,25 руб.
Как видно, сумма, полученная при непрерывном
начислении процентов, лишь немного больше суммы,
полученной при использовании ставки
.
Формула дисконтирования капитала при
непрерывном начислении процентов имеет вид:
=
=
, (2.55)
где
- дисконтный множитель.
Переменная сила роста
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]