Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
Федеральное
«Самарский
Кафедра «Теоретические
АНАЛИТИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
И ТЕРМОУПРУГОСТИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
СВОЙСТВАМИ
Под редакцией
Самарский государственный
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
учреждение высшего образования
О «СамГТУ»)
математических наук
университет
(ФГБОУ В
ИМИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
-
профессора В.А. Кудинова
Самара
2016
1
Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ
УДК 536.24 (075.8)+621.1(075.8)
ББК 31.3973
К 64
Кудинов И.В.
К 64
Аналитические решения задач теплопроводности и термоуп-
ругости с переменными физическими свойствами среды: учеб. посо-
бие / И.В. Кудинов, Е.В. Стефанюк, А.В. Еремин, Е.В. Котова; под ред.
проф. В.А. Кудинова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2016. – 168 с.: ил.
ISBN 978-5-7964-1943-4
Излагаются инженерные методы построения решений задач нестационарной теплопроводности, позволяющие получать эффективные точные и приближенные аналитические решения. При определении собственных чисел вводятся дополнительные граничные условия, получаемые
из основного дифференциального уравнения путем его дифференцирования в граничных точках. С помощью интегрального метода теплового баланса на основе введения фронта температурного возмущения и при использовании дополнительных граничных условий получены аналитические решения задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды. Представлены результаты получения и анализа точных аналитических решений. Учебное пособие предназначено для научнотехнических работников, специализирующихся в области математики, теплофизики, а также для преподавателей и студентов технических вузов.
УДК 536.24 (075.8)+621.1(075.8)
ББК 31.3973
К 64
ISBN 978-5-7964-1943-4
© И.В. Кудинов, Е.В. Стефанюк,
А.В. Еремин, Е.В. Котова
© Самарский государственный
технический университет, 2016
2
СОДЕРЖАНИЕ
3.2. Точные аналитические решения задач термоупругости для
Введение 5
Глава 1. Дополнительные граничные условия в краевых задачах
теплопроводности с переменными физическими свойствами среды
1.1. Коэффициент теплопроводности – линейная функция коор-
динаты
1.2. Коэффициент теплопроводности – экспоненциальная функ-
ция координаты
1.3. Задачи теплопроводности для многослойных конструкций 40
1.4. Аналитические решения краевых задач
Штурма – Лиувилля
1.5. Получение аналитических решений задач обратных задач
теплопроводности
Глава 2. Ортогональные методы взвешенных невязок в задачах
теплопроводности для однослойных и многослойных тел с переменными физическими свойствами среды
2.1. Аналитические решения задач теплопроводности на основе
определения фронта температурного возмущения
10
14
27
45
53
57
57
2.2. Использование ортогонального метода Л.В. Канторовича в
задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами
среды
2.3. Многослойная пластина с переменными в пределах каждого
слоя физическими свойствами среды
2.4. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для мно-
гослойных конструкций
2.5. Стационарная нелинейная теплопроводность в многослой-
ной пластине
2.6. Метод сведения задач теплопроводности для многослойных
конструкций к однослойным
Глава 3. Задачи термоупругости для однослойных и многослойных конструкций с переменными физическими свойствами среды
3.1. Задачи термоупругости для диска и цилиндра с переменны-
ми свойствами
62
69
82
108
113
120
121
3
многослойных конструкций 128
3.3. Приближенные аналитические решения задач термоупруго-
сти с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды
Глава 4. Аналитические решения задач теплопроводности на основе введения дополнительной искомой функции и дополнительных
граничных условий в интегральном методе теплового баланса
4.1. Аналитические решения задач теплопроводности для ци-
линдра при граничных условиях первого рода
4.2. Аналитические решения задач теплопроводности для пласти-
ны с переменными физическими свойствами среды
Заключение 160
Библиографический список 164
138
146
148
154
4
ВВЕДЕНИЕ
Точные аналитические решения получены только для задач в упрощенной математической постановке, когда не учитываются многие
важные характеристики процессов (нелинейность, переменность
свойств и граничных условий и прочее). Все это приводит к существенному отклонению математических моделей от реальных физических процессов, протекающих в конкретных энергетических установках. К тому же точные решения выражаются сложными бесконечными функциональными рядами, которые в окрестностях граничных точек и при малых значениях временной координаты являются медленно сходящимися.
Такие решения непригодны для инженерных приложений, главным образом в тех случаях, когда решение температурной задачи
представляет собой промежуточный этап решения каких-либо других
задач, например, задач термоупругости, обратных задач, задач управления и др. В связи с этим большой интерес представляют методы,
позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме, с точностью, во многих случаях достаточной для
инженерных приложений. Эти методы значительно расширяют круг
задач, для которых могут быть получены аналитические решения, по
сравнению с классическими методами. Отметим, что в ряде случаев с
их помощью можно получать и точные аналитические решения,
представляемые в форме бесконечных рядов [21, 25, 37].
Классическим точным аналитическим методом применительно к
решению краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса является метод разделения переменных (Фурье), который лежит в основе всей аналитической теории краевых задач переноса. Однако при
его использовании возникает необходимость нахождения функций,
удовлетворяющих дифференциальным уравнениям краевой задачи,
полученным после разделения переменных в исходном уравнении.
Такие функции известны лишь для классических дифференциальных
уравнений (Бесселя, Лежандра и др.). Собственные числа находятся
5
из граничных условий краевой задачи путём решения трансцендентных уравнений. При сложных дифференциальных уравнениях, когда
неизвестны функции, удовлетворяющие им, трудности метода Фурье
настолько возрастают, что во многих случаях он оказывается практически неприменимым.
В настоящей книге для решения краевых задач совместно с методом Фурье используются методы взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова – Галеркина). Важной особенностью является
введение дополнительных граничных условий, необходимость которых объясняется появлением дополнительного неизвестного параметра µ после разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении. Дополнительные граничные условия выводятся из
основного дифференциального уравнения путём его дифференцирования в граничных точках. Использование метода Бубнова – Галеркина позволяет находить высокой точности приближённые аналитические решения для всех тех краевых задач, уравнения которых допускают разделение переменных. Такой подход значительно расширяет круг задач, решаемых с использованием метода Фурье, что связано с универсальностью метода Бубнова – Галеркина, при использовании которого на вид дифференциальных операторов не накладывается практически никаких условий. Это могут быть задачи с несимметричными и неоднородными граничными условиями первого, второго и третьего рода, с переменным начальным условием и физическими свойствами среды, задачи теплопроводности для многослойных конструкций и другие задачи.
Особое место среди приближенных аналитических методов, позволяющих получать аналитические решения на начальном участке
временóй (параболической) координаты, занимают методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения. Согласно этим методам весь процесс нагрева или охлаждения тел формально разделяется на две стадии. Первая из них характеризуется постепенным распространением фронта температурного возмущения от
поверхности тела к его центру, а вторая – изменением температуры
6
по всему объему тела вплоть до наступления стационарного состояния. Такое разделение теплового процесса по времени на две стадии
позволяет осуществлять поэтапное решение задач нестационарной
теплопроводности и для каждой из стадий в отдельности, как правило, уже в первом приближении находить удовлетворительные по точности достаточно простые и удобные в инженерных приложениях
расчетные формулы. В то же время эти методы обладают и существенным недостатком, заключающимся в необходимости априорного
выбора координатной зависимости искомой температурной функции.
Обычно принимается квадратичная или кубическая парабола. Эта неоднозначность решения порождает проблему точности, так как, принимая заранее тот или иной профиль температурного поля, всякий
раз будем получать различные конечные результаты.
Среди методов, в которых используется идея конечной скорости
перемещения фронта температурного возмущения, наибольшее распространение получил интегральный метод теплового баланса
[1,4, 5, 17 – 25, 34, 35 – 38]. С его помощью уравнение в частных производных удается свести к обыкновенному дифференциальному
уравнению с заданными начальными условиями, решение которого
довольно часто можно получить в замкнутом аналитическом виде.
Интегральный метод, например, можно использовать для приближенного решения задач, когда теплофизические свойства не являются
постоянными, а определяются сложной функциональной зависимостью, и задач, в которых совместно с теплопроводностью приходится
также учитывать и конвекцию. В то же время интегральному методу
присущ отмеченный выше недостаток – априорный выбор температурного профиля, что порождает проблему однозначности решения и
приводит к низкой его точности.
Многочисленные примеры применения интегрального метода к
решению задач теплопроводности приведены в работе Т. Гудмена [4].
В этой работе наряду с иллюстрацией больших его возможностей показана и его ограниченность. Так, несмотря на то, что многие задачи
успешно решаются интегральным методом, существует целый класс
7
задач, для которых этот метод практически не применим. Это, например, задачи с импульсным изменением входных функций. Причина обусловлена тем, что температурный профиль в виде квадратичной или кубической параболы не соответствует истинному профилю
температур для таких задач. Поэтому, если истинное распределение
температуры в исследуемом теле принимает вид немонотонной
функции, то получить удовлетворительное решение, согласующееся с
физическим смыслом задачи, ни при каких условиях не удается.
Очевидный путь повышения точности интегрального метода –
использование полиномиальных температурных функций более высокого порядка. В этом случае основные граничные условия и условия плавности на фронте температурного возмущения не являются
достаточными для определения коэффициентов таких полиномов. В
этой связи возникает необходимость поиска недостающих граничных
условий, которые совместно с заданными позволили бы определять
коэффициенты оптимального температурного профиля более высокого порядка, учитывающего все физические особенности исследуемой
задачи. Такие дополнительные граничные условия могут быть получены из основных граничных условий и исходного дифференциального уравнения путем их дифференцирования в граничных точках по
пространственной координате и по времени [17 – 25, 35 – 38].
При исследовании различных задач теплообмена предполагают,
что теплофизические свойства не зависят от температуры, а в качестве граничных принимают линейные условия. Однако если температура тела изменяется в широких пределах, то ввиду зависимости теплофизических свойств от температуры уравнение теплопроводности
становится нелинейным. Его решение значительно усложняется, и
известные точные аналитические методы оказываются неэффективными. Интегральный метод теплового баланса позволяет преодолеть
многие трудности, связанные с нелинейностью краевых задач как в
основном уравнении, так и в граничных условиях. Этот метод эффективен применительно к решению краевых задач с переменными по
пространственной координате физическими свойствами среды, с пе-
8
ременным начальным условием, с переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты, задач гидродинамики и теплообмена для жидкостей, включая динамический и тепловой пограничные слои и других задач. Результаты исследований, связанные с
получением аналитических решений некоторых перечисленных выше
задач, представлены в настоящей книге.
9
Глава 1
τ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ФИЗИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ
СРЕДЫ
Краевая задача нестационарной теплопрововдности включает в
себя такое число начальных и граничных условий, которое требуется
для вычисления неизвестных констант, возникающих после интегрирования основного диффиеренциального уравнения задачи.
Таким образом, в случае одномерного уравнения нестационарной
теплопроводности по причине того, что уравнение содержит первую
производную от искомой функции по времени и вторую производную
по пространственной переменной, будем иметь одно начальное и два
граничных условия.
Получить точное аналитическое решение это значит определить
такую аналитическую зависимость искомой функции от пространственной переменной и времени, которая бы точно удовлетворяла основному дифференциальному уравнению и краевым условиям задачи.
Решение классического параболического уравнения нестационарной теплопроводности существует, оно единственно и удовлетворяет принципу максимального значения, т.е. значение искомой функции не выходит за пределы начального и граничных условий.
Применительно к телам конечных размеров точное аналитическое решение представляет собой бесконечный ряд, это можно связать со следующими обстоятельствами:
В начальный момент времени требуется в одной и той же точке
пространственной переменной х = 0, сразу выполнить начальное и
граничное условие, которые, в свою очередь, являются максимальным и минимальным значением искомой функции в рассматриваемой
задачи. Реализовать данное положение физически невозможно, но к
их выполнению можно приблизиться при
→0 и x → 0.
Сходимость бесконечного ряда решения обеспечивается увели-
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]