Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
где
221
1
−==−=
=
C
1
σ
r
σ
σ
2
=
1
=
2
=
σ
σ
1
1
To,
75
50
25
baba
.625;375,53;2880;32,140
0
10 20
30
r, мм
Р и с. 3.5. Распределение температуры в двухслойном полом
цилиндре
Графики распределения окружных
ний даны на рис
. 3.6, 3.7.
Их анализ позволяет заключить, что на
θ
)(
rrr −=
и
радиальных
напряже
внутренней и наружной поверхностях цилиндра радиальные напря
жения отсутствуют. Окружные напряжения
)(
ев
при
rr
имеют разрыв, причем, в первом слое напряжения сжатия
rr
переходят в напряжения растяжения
не второго слоя имеют место напряжения растяжения
r
в
точке контакта сло
θ
rr
. По
всей толщи
.
θ
-
-
-
-
Р и с. 3.6 Распределение радиаль-
ных напряжений в двухслойном
)(
полом цилиндре
rrr −=
Р и с. 3.7. Распределение ок-
ружных напряжений в двухслой-
ном полом цилиндре
131
)(
rrr −=
θ
σ
σ
r
σ
=
C
1000
;
750
;
500
;
250
°
Р и с. 3.8. Распределение окружных напряжений и температуры в од-
нослойном цилиндре. − напряжения σθ (расчёт по формуле (3.36));
− распределение температуры
50
σ
r
МПа
30
20
10
0
,
0,02
0,026
0
0
0
1
=
1
T
0
5
7
0
0
5
250
0,032
r
2
r, м
1000
T,°C
500
250
0
0,050,0440,038
Р и с. 3.9. Распределение радиальных напряжений и температуры в
однослойном цилиндре. − напряжения σr (расчёт по формуле (3.35));
− распределение температуры
На рис
и
радиальных
θ
ловия первого рода) различной интенсивности на внешней
. 3.8 – 3.12
напряжений при тепловом ударе (граничные ус
приведены графики распределения окружных
rr
3
-
)(
поверхности цилиндра. И, в частности, для различных вариантов рас
чёта
температура
на
поверхности
.
При этом распределение температуры во вто
принималась
равной
ром слое принималось линейно изменяющимся от нуля в точке кон
132
-
-
-
такта
2
=
C0°
2
=
σ
)(
rr
до
величины температуры на поверхности при соответ
-
ствующем варианте расчёта. Температура по всей толщине первого
слоя принималась одинаковой и равной
. В
соответствии с изме
нением положения фронта температурного возмущения изменяется и
)(
положение точки контакта
rr
между первым и вторым слоем
которая всегда находится на фронте температурного возмущения и
перемещается вместе с ним
θ
.
-
,
Р и с. 3.10. Распределение окружных напряжений и температуры в
однослойном цилиндре. − напряжения σθ (расчёт по формуле (3.36));
− распределение температуры
Р и с. 3.11. Распределение радиальных напряжений и температуры в
однослойном цилиндре. − напряжения σr (расчёт по формуле (3.35));
− распределение температуры
На рис
. 3.8 – 3.11
представлены варианты расчёта напряжений
при одинаковых физических свойствах слоёв. То есть в данном слу
чае определялось распределение напряжений при движении внутри
133
-
однослойного тела фронта температурного возмущения. Анализ по
=
σ
1
=
σ
-
лученных результатов позволяет заключить, что на внешней поверх
)(
ности цилиндра
окружные
)(
θ
температурные напряжения сжатия, уровень которых
rr
,
подверженной тепловому удару, возникают
3
определяется величиной теплового удара. На внутренней поверхно
)(
сти цилиндра
ния растяжения (см. рис
rr
возникают окружные температурные напряже
. 3.8, 3.10).
Соотношение напряжений сжатия
и растяжения (по абсолютной величине) определяется глубиной про
никновения фронта температурного возмущения. При незначитель
ной его глубине напряжения сжатия на верхней поверхности имеют
максимальные значения и они значительно превосходят напряжения
растяжения на внутренней поверхности. В процессе движения фронта
температурного возмущения от внешней поверхности к внутренней
окружные напряжения сжатия на внешней поверхности уменьшаются
-
-
-
-
-
(
при неизменной величине теплового удара
), а
напряжения растяже
ния на внутренней возрастают. При этом минимальные напряжения
сжатия на внешней поверхности и максимальные напряжения растя
жения на внутренней наблюдаются в момент времени, когда фронт
температурного возмущения достигает внутренней поверхности ци
линдра
.
θ
-
-
-
Р и с. 3.12. Распределение окружных напряжений и температуры в
двухслойном цилиндре.
− напряжения σθ (расчёт по формуле (3.36));
− распределение температуры
134
Распределение радиальных температурных напряжений для тех
2
1162
1
−
−
2
=
МПа
1000
241152
−−−
−
σ
же самых температурных режимов теплового нагружения приведено
на рис
ет из граничных условий
нулю. Внутри цилиндра они имеют положительный знак
. 3.9, 3.11. На
внутренней и наружной поверхностях, как следу
(3.30), (3.31),
радиальные напряжения равны
(
растяже
ние) с некоторым максимумом, который отмечается вблизи располо
жения фронта температурного возмущения
.
Исходные данные для получения напряжений, приведённых на
рис
. 3.8 – 3.11,
EEK ⋅==⋅=α=α
На графиках рис
. 3.12, 3.13
приведены результаты расчёта ок
4
были
МПа
.105,19;1015
следующие
ружных и радиальных напряжений в случае, когда физические свой
ства слоёв различны. Их анализ позволяет заключить, что окружные
)(
напряжения в точке контакта
rr
имеют разрыв
(см.
рис
. 3.12).
-
-
-
:
-
-
Как и в случае однослойного цилиндра, на внешней поверхности на
блюдаются окружные напряжения сжатия, превышающие
а на внутренней
–
растяжения. Особенностью радиальных напряже
ний является наличие излома кривых в точке контакта слоёв (см. рис
3.13).
следующие
Физические свойства слоёв для двухслойного цилиндра были
:
16
EKK ⋅=⋅=⋅=α⋅=α
МПа
E
4
МПа
0,050,044
1000
T,°C
750
500
250
0
120
,
r
МПа
72
48
24
0
0
0
1
=
1
T
0
5
7
0
0
5
250
0,0260,02
0,032
0,038
r
2
r, м
,
.
.105,40;105,10;103;1015
Р и с. 3.13. Распределение радиальных напряжений и температуры в
двухслойном цилиндре. − напряжения σr (расчёт по формуле (3.35));
− распределение температуры
135
600
σ
σ
C0°
МПа
240
60
?120
?300
?480
,
θ
T1=1000
750
500
250
250
500
1000
T,°C
500
0
?660
?840
2
750
0
0
0
1
=
1
T
0,0440,0380,0320,0260,02
r, мr
0,05
Р и с. 3.14. Распределение окружных напряжений и температуры в
двухслойном цилиндре. − напряжения σθ (расчёт по формуле (3.36));
− распределение температуры
160
,
r
МПа
96
64
32
0,02
0,026
0
0
0
1
=
1
T
0
5
7
0
0
5
250
0,032
r
0,038
2
0,044
r, м
1000
0,05
T,°C
750
500
250
0
Р и с. 3.15. Распределение радиальных напряжений и температуры в
двухслойном цилиндре. − напряжения σr (расчёт по формуле (3.35));
− распределение температуры
На рис
. 3.14, 3.15
приведены окружные и радиальные напряжения
для двухслойного цилиндра в случае, когда температура в пределах
второго слоя
ной и равной
температуре первого слоя. Такое распределение
одинаковой по его толщине при неизмен
температуры может наблюдаться при существенно отличающихся
коэффициентах теплопроводности слоёв, когда теплопроводность
второго слоя значительно превышает теплопроводность первого (на
пример, металлическая стенка топливного коллектора авиационного
136
-
-
двигателя при наличии слоя коксовых отложений на внутренних по
−
i
α
-
верхностях трубопроводов
).
Анализ температурных напряжений для этого слоя позволяет за
ключить, что окружные напряжения в точке контакта слоёв имеют
значительный скачок (см. рис
. 3.14).
При этом на внешнем слое ци
линдра наблюдается окружные напряжения сжатия, а на внутреннем
–
растяжения. Радиальные напряжения имеют положительный знак
при изломе кривых в точке контакта слоёв. Исходные данные для
этого варианта были такие же, как и для варианта расчётов, приве
дённых на рис
. 3.12, 3.13.
3.3. Приближенные аналитические решения задач
термоупругости с переменными в пределах каждого слоя фи-
зическими свойствами среды
-
-
-
На основе использования ортогонального метода Бубнова
– Га-
леркина, а также изложенного в настоящей работе метода построения
систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным
условиям и условиям сопряжения, получено аналитическое решение
задачи термоупругости для двухслойного полого цилиндра (плоская
деформация) с переменными в пределах каждого слоя физическими
свойствами среды
.
Система дифференциальных уравнений относительно радиально
го перемещения для случая, когда модуль упругости и коэффициент
линейного расширения в пределах каждого слоя являются произволь
ными функциями радиуса (рассматривается длинный полый цилиндр
–
плоская деформация
d
dr
dU
rE
i
dr
),
имеет вид
+
1
ν
dE
ii
dr
ν−
i
[27, 60] (см.
E
ii
U
−
r
=
i
1
−
ν+
рис
i
v
i
r
)1(
. 4.8)
d
( )
α
dr
TE
, (3.40)
iii
-
-
где
i
;,1(
)(r
)(rU
i
,
)(rT
i
),1( mi =
–
радиальное перемещение
),1( mi =
−
соответственно модуль упругости, коэффици
137
<<=
rrrmi
)
1
+
ii
го слоя
;
)(rE
,
i
-
ент линейного расширения и температура
−
i
ν
=
=
α
i
i
i
i
i
σ
σ
−
i
го слоя
;
i
),1( mi =
−
коэффициент Пуассона
Для случая, когда
(3.40)
приводится к виду
2
Ud
dr
1
r
; r −
i
dU
dr
радиальная координата
constE
U
r
и
1
ν+
−−+
22
1
iiii
ν−
;,1(
i
i
const
dT
i
dr
≤≤=
,
(3.41)
.0
=α
rrrmi
)
1
+
ii
; m −
число слоев
система уравнений
.
Р и с. 3.16 – Схема многослойного полого длинного цилиндра
Напряжения в каждом слое по известному перемещению опреде
ляются по формулам
=σ
ri
( )( )
=σ
Θ iii
i
( )( )
.
,
iri Θ
где
слое
i
i
211
),1( mi =
( ) ( )
ν−ν+
211
dUE
i
ν−ν+
–
dr
радиальное и окружное напряжения в
dUE
i
i
dr
i
( ) ( )
U
i
i
11
r
U
i
i
11
αν+−ν−+ν
r
αν+−ν+ν−
T
iii
;
T
, (3.43)
-
(3.42)
м
С целью упрощения математических преобразований основную
138
идею метода рассмотрим на примере решения задачи термоупругости
)2(=m
222
1
=
1
1
ν−=
2
2
ν−=
1
1
ν+=
2
2
ν+=
[
]
111
ν−ν+=
η
[
]
222
ν−ν+=
η
1
=
=
2
=
м
3
3
3
3
1
для двухслойного длинного полого цилиндра
с
постоянными
в пределах каждого слоя физическими свойствами среды. При этом
отметим, что без каких
–
либо изменений этот метод может быть
применен и к решению задач термоупругости для многослойных кон
струкций с переменными свойствами
.
Граничные условия применительно к двухслойному полому ци
линдру имеют вид
dU
a
a
2
1
dU
1
dr
2
dr
U
1
1
r
U
2
2
r
dU
aE
1
111
1
dr
α−ν+
U
; (3.44)
0
Tc
111
=
=
rr
1
; (3.45)
0
α−ν+
Tc
222
1
r
=
=
rr
3
Tc
α−ν+η
111
rr
=
2
-
-
1
2
rUrU
U
2
α−ν+η=
r
,)()(
(3.47)
;
; (3.46)
0
1
=
=
rr
2
1
;
c
.
Tc
222
c
)21)(1(/1
следует, что радиальные напряже
)(
rr
поверхностях цилиндра
3
представляют условия со
dU
aE
222
;
dr
a
)(
rr
и
1
где
a
Из соотношений
ния на внутренней
;
)21)(1(/1
(3.44), (3.45)
равны нулю. Соотношения
2
внешней
(3.46), (3.47)
пряжения между слоями, записанные в виде равенства радиальных
напряжений
(3.47)) в
(
соотношение
(3.46)) и
точке контакта слоёв
перемещений
rr
.
(
соотношение
С целью упрощения процесса получения решения приведем зада
чу
(3.41) – (3.47) к
безразмерному виду. Для этого введем следующие
;
-
-
-
безразмерные переменные и параметры
U
i
=ϑ
i
;
U
r
;
=ρ
r
r
1
;
=ρ
1
=ρ
2
r
139
:
r
2
;
r
r
3
3
;
1
==ρ
r
E
1
1
;
1
==ε
E
1
1
α
1
α
м
м
*
м
2,1=i
−
σ
222
1
ρϑ=ρϑ
+
=
2,1=i
1
=
1
−
=
2
=
2
−
=
E
2
=ε
2
;
1
E
1
=µ
=
;
1
2
α
2
=µ
;
α
T
i
=Θ
i
;
T
σ
*
ri
ri
=σ
;
*
Θ
σ
σ
i
Θ
=σ
i
;
σ
, (3.48)
где
U
T
,
м
,
м
масштабные перемещение и температура
м
С учетом принятых обозначений задача
принимает вид
2
ϑ
d
ϑ
d
1
+
ρ
ρ
d
ϑ
d
a
1
ρ
d
ϑ
d
a
2
d
εη
d
1
ν+
1
2
ν+
ρ
ϑ
d
a
111
ρ
d
ρ
ϑ
iii
−
22
ρ
−
1
ϑ
αµ
U
U
1
−
ϑ
1
−
ρ
ϑ
2
2
ρ
1
ν+
ρ
.
(3.41), (3.34) – (3.37)
Θ
d
T
αµ
U
м
r
31
U
м
Θ
1
Trc
м
Θ
Trc
3111
м
αµβ−
ii
Trc
3111
м
м
αµ
3122
м
i
ρ
d
=
ρ=ρ
1
; (3.49)
0
=
; (3.50)
0
2
1
=ρ
м
Θ
1
; (3.51)
0
=
=
ρ=ρ
2
Θ
2
)()(
, (3.53)
Trc
31
м
Trc
м
31
м
; (3.52)
ρ=ρ
2
м
ρΘ
i
; (3.54)
м
σ
ρΘ
/)(
. (i = 1, 2)
i
м
где β
Формулы
= (1 +
i
*
*
Θ
εη=
ν
i
ϑ
d
a
222
d
)/(1 −
2
ρ
ν
); i = 1, 2.
i
(3.42), (3.43)
d
a σ
εη=σ /)(
νεη=σ
i
iiiri
d
d
i
iiii
d
ρ
ρ
ϑ
2
ν+
2
−
ρ
для безразмерных напряжений будут
ρϑ
ν+
i
ρϑ
a
+
i
ρ
ρ
αµ
Trc
3122
м
U
м
ρϑ
)()(
−
αµ
iii
U
ρϑ
)()(
−
αµ
iii
U
(3.55)
Температура в каждом слое описывается следующей функцией
)(
rRDrT
, (
iii
) (3.56)
где
D
Соотношение
32,140
;
R
(3.56) в
2880
;
D
375,53
;
R
625
.
безразмерном виде для каждого слоя будет
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]